ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 982
Скачиваний: 8
1
К У Р С
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Часть 1
2
Оглавление
3
Введение в курс математического анализа
Понятие о логической символике
На ряду со специальными символами и терминами, которые будут вводиться в курсе
математического анализа, рассмотрим распространенные символы математической логики.
- знак отрицания; знак
A
означает «не
А
» (отрицание высказывания
А
);
- знак конъюнкции, заменяет союз «и»;
- знак дизъюнкции, заменяет союз «или»; запись
B
A
означает, что имеет место
хотя бы одно из высказываний
А, В;
- знак следования (импликация);
- знак равносильности (эквивалентности).
Данные символы записаны в порядке приоритета.
В записи высказываний о множествах часто используют логические операторы:
- знак (квантор) существования. Заменяет слова: «для любого», «для каждого»,
«для всех». Заметим, что
- перевернутая буква английского слова
All
(все).
: - «такой что».
- знак (квантор) существования. Заменяет слова: «существует», «найдется».
- перевернутая первая буква английского слова
Exists
(существует).
Примеры.
Пусть
и
некоторые высказывания, тогда:
1.
- имеет место высказывание
и
одновременно.
2.
- имеет место высказывание
или
.
3.
x
- для любого
x
имеет место высказывание
.
4.
x
- существует
x
, для которого имеет место высказывание
.
5. запись
- означает, что
влечет
или
следует из
. Иначе:
-
необходимое условие (признак)
,
- достаточное условие (признак)
.
6. Запись
- означает, что
следует из
и
следует из
. Иначе:
равносильно
;
необходимо и достаточно для
;
тогда и только тогда, когда
.
7.
def
(или
:
Def
) – утверждение
является определением понятия
.
Значок
def
означает, что сформулированное утверждение справедливо по
определению (от английского
definition –
определение).
Аналогичное обозначение
:
Основные понятия о множествах
Наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Основатель
теории множеств немецкий математик Георг Кант (1845-1918гг).
Множество элементов (объектов) - одно из первичных (неопределенных) понятий
математики, является одним из самых фундаментальных в математике.
Синонимы
: множество, совокупность, собрание, коллекция объектов, объединяемых
по какому-то правилу, характеристическому свойству).
Вообще, всеобъемлющего определения множества не существует.
Множества
обозначаются заглавными буквами
A, B, C,….
Объекты
множеств
назовем его элементами и будем обозначать маленькими буквами:
a, b, c,…
Множества определяются некоторым свойством
а
, которым должен обладать или не
обладать каждый из рассматриваемых объектов: те объекты, которые обладают свойством
а
,
образуют множество
А.
Будем в дальнейшем рассматривать множества, входящие в некоторое определенное
«универсальное» множество объектов
М
. Тогда множества объектов
A, B, C,…
и т.д.
4
некоторые подмножества из
М.
Если
а
– элемент множества
А
, то пишут
A
a
(
а
принадлежит множеству
А
) или
a
A
(множество
А
содержит элемент
а
).
Факт непринадлежности элемента «
а
» множеству
А
обозначается так
A
a
(т.е. не
обладает свойством
а
).
Частные случаи множеств:
конечное – состоящее из конечного числа элементов;
бесконечное – состоящее из бесконечного числа элементов;
- пустое множество. Множество, не содержащее ни одного элемента.
Два множества называются равными, если состоят из одних и тех же элементов:
)
(
)
(
)
(
A
B
B
A
B
A
def
Отрицание равенства
B
A
.
Отношение между множествами
B
A
называется отношением включения.
Запись
)
(
A
B
B
A
означает: любой элемент множества
А
является элементом
множества
В.
или:
А
– является подмножеством множества
В
.
или:
В
содержит
А.
или:
В
включает
А.
Итак,
B
x
A
x
B
A
def
,
)
(
)
(
)
/(
:
)
(
B
x
A
x
M
x
B
A
или
Очевидно, что для любого множества
А
А
.
Замечание:
Если
x
– объект,
Р
– свойство, а
Р(х)
- обозначение того, что
х
обладает
свойством
Р
, то через
/ ( )
x P x
- обозначают класс объектов, обладающих свойством
Р
.
Простейшие операции над множествами.
Пусть
A
и
B
- подмножества множества
М
, т.е.
M
A
и
M
B
.
Определение 1.
Объединением (соединением, суммой) множеств
A
и
B
называется
множество, состоящее из все тех и только тех элементов
М
, которые содержатся хотя бы в
одном из множеств
A
или
B
.
Обозначают
:
B
x
A
x
M
x
C
B
A
/
Пример.
1, 2,3
1,3, 4,5
1, 2,3, 4,5
A
B
C
В
M
A
B
A
B
A
M
5
Обобщение. Если
A
- совокупность множеств
A
из
М
,
то
A
есть объединение
всех
A
так, что
/
,хотя бы для одного
A
x
M x
A
, бесконечный набор
1
2
3
1
2
1
...
...
/
,...,
...
n
n
n
n
A
A
A
A
A
x
M x
A
x
A
x
A
Определение 2.
Пересечением (произведением) множеств
A
B
называется
множество, образованное всеми теми элементами и только теми элементами множества
М
,
которые принадлежат одновременно множествам
A
B
.
Обозначение.
:
/(
)
(
)
A
B
C
x
M
x
A
x
B
.
Пример.
1, 2,3
1,3, 4
1,3
.
Замечание.
Если у множеств
A
B
нет общих элементов, то
A
B
.
Обобщение.
Если
A
- совокупность множеств из
М
, то
/
при каждом
A
x
M x
A
.
Если бесконечный набор
1
/
для любого
n
n
n
A
x
M x
A
n
N
.
Непосредственно из
1 2
Df
следующие предположения:
1.
A
A
,
объед
A
A
A
,
пересеч.
A
A
A
,
A
A
,
A
.
2.
A
B
B
A
(коммутативность объединение);
3.
A
B
B
A
(коммутативность пересечения);
4.
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(ассоциативность объединения);
5.
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(ассоциативность пересечения);
6.
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
B
C
и вообще
7.
(
)
A
B
A
B
(дистрибутивность
пересечения
относительно
объединения);
8.
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A C
B
C
и вообще
9.
(
)
A
C
A
C
(дистрибутивность
объединения
относительно
пересечения)
10.
A
M
M
(вытекает из
Определения
)
11.
Отношение
A
B
эквивалентно каждому из двух отношений
A
B
B
,
A
B
A
12.
,
A
B B
C
, то
A
C
свойство транзитивности вытекает непосредственно из
Определение.
13.
,
A
B B
A
, то
A
B
Определение 3.
Разностью между
B
A
называется множество, состоящее из всех тех
элементов множества
А,
которые не содержаться в множестве
В
.