ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2020
Просмотров: 710
Скачиваний: 5
К У Р С
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Часть 2
2011
Оглавление
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
................................................................................ 3
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
........................................................................ 3
Односторонние производные функции в точке.
Основные правила дифференцирования.
Производные и дифференциалы высших порядков.
............................................................................................. 15
Представление некоторых элементарных функций
........................................................................................... 18
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
......................................................................................... 22
Исследование функций с помощью производной.
................................................................................................. 24
Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.
................................................................................. 24
Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.
.............................. 27
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
...................................................................................... 27
Уравнения некоторых типов кривых в параметрической
................................................................................. 34
Производная функции, заданной параметрически.
............................................................................................. 36
Исследование функций, заданных параметрически.
........................................................................................... 36
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение.
Производной
функции
x
f
в точке
0
x
x
называется предел
отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
Пусть
x
f
определена на некотором промежутке
b
a
,
. Тогда
x
f
tg
тангенс
угла наклона секущей МР к графику функции.
tg
x
f
x
f
tg
x
x
)
(
lim
lim
0
0
0
,
где
- угол наклона касательной к графику функции
x
f
в точке
0
0
,
x
f
x
.
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными,
проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой:
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y
Доказательство.
Известно, что уравнение прямой имеет вид
b
kx
y
.
Но так как эта прямая является касательной к графику функции
x
f
y
в точке
0
0
,
x
f
x
, то ее угловой коэффициент
k
должен быть равен
0
x
f
. Чтобы найти
b
,
воспользуемся тем, что касательная проходит через точку
0
0
,
x
f
x
. Значит
0
0
0
0
0
x
x
f
x
f
kx
x
f
b
Подставляя в уравнение прямой
b
kx
y
найденные значения
k
и
b
, получим
уравнение касательной к графику функции
x
f
в точке
0
0
,
x
f
x
:
)
)(
(
0
0
0
x
x
x
f
y
y
Уравнение нормали к кривой:
)
(
)
(
1
0
0
0
x
x
x
f
y
y
.
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции,
как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной.
Пусть функция
t
f
- закон движения (изменения координат) материальной точки,
t
– время. Тогда
t
f
t
f
t
0
lim
- мгновенная скорость движения материальной точки в момент
времени
t
Соответственно, вторая производная функции – скорость изменения скорости, т.е.
ускорение.
Производные основных элементарных функций.
1)
const
C
С
,
0
;
9)
x
x
cos
sin
2)
,
1
x
x
;
10)
x
x
sin
cos
3)
x
x
2
1
11)
x
tgx
2
cos
1
4)
2
1
1
x
x
12)
x
ctgx
2
sin
1
5)
x
x
e
e
13)
2
1
1
arcsin
x
x
6)
a
a
a
x
x
ln
14)
2
1
1
arccos
x
x
7)
x
x
1
ln
15)
2
1
1
x
arctgx
8)
a
x
x
a
ln
1
log
16)
2
1
1
x
arcctgx
Пример.
Найти угловые коэффициенты касательных к параболе
2
2
2
x
y
в
точках, абсциссы которых соответственно равны
2
,
1
2
1
x
x
.
Решение.
Вычислим производные функции
x
f
в точках
2
,
1
2
1
x
x
. Так как
x
y
4
, то
8
2
,
4
1
y
y
. Значит, искомые угловые коэффициенты соответствующих
касательных будут равны
8
2
,
4
1
k
k
.
Пример.
Написать уравнение касательных к параболе
1
2
x
y
в точках
2
,
1
и
1
,
0
.
Решение.
Находим угловые коэффициенты касательных в соответствующих точках
0
0
,
2
1
2
1
y
k
y
k
. Тогда имеем уравнения касательных
1
2
2
x
y
и
0
1
y
.
Определение.
Функция
x
f
y
называется дифференцируемой в точке
x
, если
приращение
y
функции
x
f
в точке
0
x
x
, отвечающее приращению аргумента
x
,
может быть представлено в виде
x
x
x
A
x
f
0
где
A
- постоянное число (для точки
0
x
x
), не зависящее от
x
;
x
- бесконечно
малая функция
x
, т.е.
0
lim
0
x
›
Иначе говоря, приращение
0
x
f
имеет вид
x
o
x
A
x
f
0
Далее покажем дифференцируемость некоторых функций.
1.
2
2
x
y
.
Решение.
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
y
,
x
x
x
A
,
2
.
2.
x
y
ln
.
Решение.
x
o
x
x
x
x
x
x
x
y
1
ln
ln
ln
,
x
A
1
3.
x
y
sin
Решение.
2
cos
2
sin
4
sin
2
cos
2
sin
4
sin
2
cos
cos
2
cos
cos
2
2
2
cos
2
2
2
cos
2
sin
2
sin
sin
x
o
x
x
x
x
x
x
o
x
x
x
x
x
x
x
o
x
x
x
x
x
x
o
x
x
x
x
o
x
x
x
x
x
x
x
y
Теорема.
Для того чтобы функция
x
f
была дифференцируемой в точке
0
x
x
,
необходимо и достаточно чтобы
x
f
имела в этой точке производную.
Доказательство.
1.
Необходимость.
Пусть
x
f
y
в т.
x
дифференцируема, тогда
x
o
x
A
x
f
y
0
Разделим
y
на
x
и вычислим предел частного
x
y
при
х
0:
A
x
x
o
A
x
y
x
x
0
0
lim
lim
.
С другой стороны
0
0
lim
x
f
x
y
x
. Значит,
0
x
f
существует и равна А.
2.
Достаточность.
Пусть функция
x
f
y
имеет производную, т.е.
0
0
lim
x
f
x
y
x
,
Тогда разность функции
x
y
и предела
0
x
f
есть величина бесконечно малая при
0
x
,
т.е.
x
x
f
x
y
0
;
0
x
при
0
x
,
Следовательно
x
x
x
x
f
x
f
y
0
0
.
Положим
A
x
f
0
для точки
0
x
x
, тогда
x
x
x
A
x
f
y
0
.
Теорема доказана.
Теорема.
Дифференцируемая в точке
0
x
x
функция
x
f
y
непрерывна в этой
точке.
Доказательство.
Так
как
x
x
x
A
x
f
y
0
-
условие
дифференцируемости, то при
0
x
получаем
0
y
. Последнее означает
непрерывность функции
x
f
в точке
0
x
x
.
Замечание.
Дифференцируемая в точке
0
x
x
функция
x
f
y
имеет в точке
(х
0
; f(x
0
)) касательную прямую.
Односторонние производные функции в точке.
Определение.
Правой (левой) производной функции
x
f
в точке
0
x
x
называется
правое (левое) значение предела отношения
x
f
при условии, что это отношение существует.
x
f
x
f
x
0
0
lim
)
(
x
f
x
f
x
0
0
lim
)
(