Файл: sem3.pdf

Семинар 3

3.5

Кубит

Простейшим Гильбертовым пространством является пространство двух квантовых

состояний

H

2

. Обозначим ортонормированный базис такого двумерного пространства

состояний

{|

0

i

,

|

1

i}

или сокращенно

{|

i

i}

i

= 1

,

2

i

j

=

δ

ij

, ij

∈

1

,

2

. В соответствии

с принципом суперпозиции наиболее общее нормированное состояние в

H

2

может быть

представлено в виде:

|

ψ

i

=

a

|

0

i

+

b

|

1

i

,

ψ

ψ

=

|

a

|

2

+

|

b

|

2

= 1

,

(3.1)

где

a

и

b

–

комплексные числа. Состояние (3.1) в теории квантовых вычислений называется

кубитом

(quantum bit

≡

qubit). Проектируя состояние кубита на ортонормированный базис

{|

i

i}

, i

= 1

,

2

, получим

0

ψ

=

a

;

1

ψ

=

b,

(3.2)

где

|

a

|

2

–

вероятность обнаружить в состоянии

|

ψ

i

состояние

|

0

i

, а

|

b

|

2

–

вероятность

обнаружить в состоянии

|

ψ

i

состояние

|

1

i

. Общая фаза кубита, в соответствии с постулатами

квантовой теории физического смыла не имеет, т.е. состояния

|

ψ

i

и

exp(

iα

)

|

ψ

i

тождественны.

|

ψ

i ≡

e

iα

|

ψ

i

,

α

–

Re

.

(3.3)

После проектирования на ортонормированный базис состояние кубита

|

ψ

i

переходит или в

состояние

|

0

i

(

|

ψ

i → |

0

i

)

или в состояние

|

1

i

(

|

ψ

i → |

1

i

)

.

В квантовой теории информации кубит определяется как единица квантовой информации,

аналогично тому, как бит (0 или 1) определяется как единица классической теории
информации.

рис.2.1

Однако в отличие от понятия бит информации в
классической теории, которая может быть считана
(измерена) без разрушения состояния бита, кубит при
считывании (измерении) переходит в одно из двух своих
базисных состояний

|

0

i

или

|

1

i

.

Понятие

кубита

имеет

формально

простую

"геометрическую"

интерпретацию

в

воображаемом

пространстве состояний. Два комплексных числа

a

и

b

в (3.1) содержат 4 действительных параметра. В силу
условия нормировки независимыми являются три из них.
С учетом свойств квантовых состояний (3.3) достаточно
два действительных параметра для описания кубита.
Таким образом, если представить выражение (3.1) в виде:

|

ψ

i

= cos

θ

2

|

0

i

+

e

iϕ

sin

θ

2

|

1

i

,

(3.4)

то действительные параметры

θ

и

ϕ

определяют

точку на сфере, как показано на рис.2.1. Вектор,

19

соединяющий начало координат этого воображаемого пространства с точкой на сфере задает
геометрическую интерпретацию вектора состояния

|

ψ

i

или кубита. Геометрическое место

точек "конца" вектора состояния образуют сферу единичного радиуса.

Эта сфера часто называется сферой Блоха. Как видно при

ϕ

= 0

и

θ

= 0

вектор

|

ψ

i

направлен по оси

x

3

. Соответственно при

θ

=

π

–

вектор направлен против оси

x

3

. То есть при

такой интерпретации "ортогональными" являются векторы противоположного направления.
Можно задать весьма интересный вопрос о том, сколько информации может быть записано
в одном кубите? Если на сфере Блоха за точками сферы закрепить какую-то определенную
"информацию", то как это не парадоксально в кубит можно записать бесконечное число
информации! Однако считать из кубита можно только или состояние

|

0

i

или

|

1

i

, то есть две

единицы классической информации. Таково содержание постулата об измерении в квантовой
теории. Нет необходимости отвечать на вопрос почему так устроена природа, тем более, что
это никому в настоящее время неизвестно. Принципы квантовой теории можно принимать
или не принимать, однако предсказания и следствия вытекающие из квантовой теории пока
согласуются с наблюдаемыми экспериментальными результатами.

3.6

Спин

1

/

2

Спин

—

это векторное свойство ряда частиц (аналогичное заряду или массе), которое

проявляется во внешнем поле. Спин

—

это внутренний (то есть неотъемлемый от частицы)

механический момент, который ориентируется в пространстве строго дискретным образом по
отношению к выделенному направлению.

Первоначально спин был открыт у электрона в опытах Штерна-Герлаха. Спин электрона,

обозначаемый

~

s

(внутренний момент) ориентируется в пространстве только двояко, так что

проекция спина на направление поля (ось

z

) принимает одно из двух значений

s

z

=

±

~

/

2

.

В последствии спин с аналогичными свойствами был обнаружен и у ряда других частиц,
например, протон, нейтрон и т.п. В дальнейшем было установлено, что существуют частицы,
проекция внутреннего момента которых принимает значения

0

,

±

~

, или

±

1

/

2

~

,

±

3

/

2

~

. В то

же время экспериментально установлено, что у ряда частиц данное свойство отсутствует.
В этом смысле частицы делятся на спиновые (обладающие спином) и бесспиновые. В свою
очередь частицы, обладающие спином делятся на частицы с целой (в единицах

~

) проекцией

спина (бозоны) и полуцелой проекцией (фермионы). Принято говорить о "величине" спина,
связывая его с максимально возможной проекции на направление поля (в единицах

~

). То есть

частицы со спином

1

/

2

,

1

,

3

/

2

,

2

. . .

.

Совокупность частиц, в которую входят

–

электрон, протон, нейтрон и ряд других,

образуют группу частиц со спином

1

/

2

.

Квантовомеханическое описание частиц со спином

1

/

2

основано на использовании

оператора спина электрона

ˆ

s

. Так как оператор спина является внутренним механическим

моментом, его компоненты удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и
компоненты оператора момента импульса (или в общем случае оператора углового момента):

[

s

i

, s

j

] =

i

~

ε

ijk

s

k

,

i, j, k

= 1

,

2

,

3

(3.5)

ε

ijk

–

тензор Леви-Чивита.

20

В классической электродинамике установлено, что для заряженной частицы с зарядом

e

и

массой

m

связь между механическим

~

`

и магнитным моментом

~

µ

имеет вид:

~

µ

≡

1

2

c

Z

[

~

r

×

~j

]

dv

=

e

2

mc

·

~

`

=

e

2

mc

[

~

r

×

~

p

]

.

(3.6)

Здесь

c

–

скорость света,

~

p

–

импульс частицы

~

p

=

m~

v

,

~

v

–

скорость,

~j

–

плотность тока,

~j

=

%~

v

,

%

–

плотность заряда. Для точечной частицы

%

=

eδ

(

~

r

−

~

r

`

)

,

~

r

`

–

радиус вектор заряда в

пространстве.

В квантовой теории с внутренним механическим моментом

~

s

связан магнитный спиновый

момент

~

µ

s

. Связь между этими векторами была установлена экспериментально в опытах

Эйнштейна-де Гааза и имеет вид:

~

µ

s

=

e

mc

·

~

s.

(3.7)

Выражение (3.7) отличается от (3.6) множителем

2

, что подчеркивает неклассические

свойства спина. И спин, и магнитный спиновый момент частиц играют существенную роль
как в области микромира, так и в поведении макротел. Поэтому исследование этого свойства
является важной задачей квантовой теории.

Для построения вида оператора спина

1

/

2

(или спина электрона) можно опереться на

основное его свойство

–

наличие только двух значений проекций спина

s

z

, которые могут

быть экспериментально измерены. Так как в своем собственном представлении оператор
физической величины есть диагональная матрица, размерности равной числу собственных
значений, на главной диагонали которой стоят собственные числа, то в

s

z

-представлении (то

есть представлении, когда ось квантования спина есть ось

z

) оператор

ˆ

s

z

равен:

ˆ

s

z

=

~

/

2

0

0

−

~

/

2

=

~

2

1

0

0

−

1

.

(3.8)

Для определения вида операторов

ˆ

s

x

и

ˆ

s

y

в

s

z

-представлении выберем их в виде матриц

размерности

2

×

2

:

ˆ

s

x

=

a

11

a

12

a

21

a

22

;

ˆ

s

y

=

b

11

b

12

b

21

b

22

,

(3.9)

где

a

ij

и

b

ij

–

произвольные

комплексные

числа.

Используя

коммутационные

соотношения (3.5) и условие эрмитовости оператора

~

s

, можно установить явный вид

матриц

ˆ

s

x

и

ˆ

s

y

–

в

s

z

-представлении:

ˆ

s

x

=

~

2

0 1
1 0

;

ˆ

s

y

=

~

2

0

−

i

i

0

.

(3.10)

Вместо матриц операторов проекций спина удобно ввести безразмерные матрицы

~

σ

, которые

называются матрицами Паули

(

~

s

=

~

/

2

~

σ

)

:

σ

x

=

0 1
1 0

,

σ

y

=

0

−

i

i

0

,

σ

z

=

1

0

0

−

1

.

(3.11)

Ниже для проекций матриц Паули тождественно будут использованы алгебраические
обозначения

σ

x

≡

σ

1

,

σ

y

≡

σ

2

,

σ

z

≡

σ

3

.

21

3.7

Свойства матриц Паули

Как следует из определения матриц Паули (3.11) данные матрицы:

–

Эрмитовы

и

унитарны

σ

i

=

σ

−

1

i

=

σ

†

,

i

= 1

,

2

,

3

.

(3.12)

–

Сумма диагональных элементов матриц Паули равна нулю:

Sp σ

i

= 0

,

i

= 1

,

2

,

3

.

(3.13)

–

Определитель матриц Паули равен:

−

1

det

k

σ

i

k

=

−

1

,

i

∈

1

,

2

,

3

.

(3.14)

–

Матрицы Паули удовлетворяют перестановочным соотношениям:

σ

i

σ

k

−

σ

k

σ

i

= 2

iσ

`

,

i, k, `

∈

1

,

2

,

3

.

(3.15)

–

Матрицы Паули

антикоммутативны

σ

i

σ

k

=

−

σ

k

σ

i

,

i

6

=

k

(3.16)

–

Квадрат любой матрицы Паули равен единице:

σ

2

i

= 1

,

i

= 1

,

2

,

3

(3.17)

–

Вместе с единичной двумерной матрицей

I

матрицы

σ

i

, i

= 1

,

2

,

3

образуют полный

набор в пространстве матриц размерности

2

×

2

. То есть любая двумерная матрица

A

может быть представлена в виде:

A

=

λ

0

I

+

3

X

k

=1

λ

k

σ

k

,

(3.18)

где

λ

k

–

числа

(

k

= 0

,

1

,

2

,

3)

;

–

Произведение всех трех матриц Паули есть единая матрица размерности

2

×

2

:

σ

x

σ

y

σ

z

=

i I,

(3.19)

где

i

–

мнимая единица.

Объединяя перечисленные выше правила можно записать таблицу умножения, которой

удовлетворяют Матрицы Паули.

22

1

σ

x

σ

y

σ

z

I

I

σ

x

σ

y

σ

z

σ

x

σ

x

I

iσ

z

−

iσ

y

σ

y

σ

y

−

iσ

z

I

iσ

x

σ

z

σ

z

iσ

y

−

iσ

x

I

Помимо декартовых компонент матриц Паули

σ

i

,

i

= 1

,

2

,

3

в физических приложениях

используются их комбинации, которые называются циклическими компонентами матриц
Паули:

σ

±

=

σ

x

±

iσ

y

;

σ

+

≡

0 2
0 0

;

σ

−

≡

0 0
2 0

.

(3.20)

Циклические компоненты

σ

±

не имеют собственных значений, так как не существует

обратных к

σ

±

матриц и эти матрицы не являются эрмитовыми матрицами.

Квадрат циклических компонент матриц Паули удовлетворяет соотношению:

σ

2

±

= (

σ

x

±

iσ

y

)

2

=

σ

2

x

−

σ

2

y

±

i

(

σ

x

σ

y

+

σ

y

σ

x

) = 0

Таким образом

σ

±

образуют объекты, которые дают пример, когда квадрат не нулевого

элемента равен нулю.

Комбинации вида

1

2

(1

±

σ

i

)

(3.21)

образуют идемпотентные матрицы (то есть матрицы, удовлетворяющие соотношениям вида

N

=

N

2

).

Матрицы вида:

P

+

=

1

2

(1 +

σ

z

) =

1 0
0 0

P

−

=

1

2

(1

−

σ

z

) =

0 0
0 1

(3.22)

называются иначе операторами проектирования.

Собственные векторы матриц Паули удовлетворяют соотношению:

ˆ

σ

i

|

s

i

i

=

λ

i

|

s

i

i

,

i

= 1

,

2

,

3

.

(3.23)

В силу (3.17)

λ

i

=

±

1

.

Очевидно, что собственные векторы оператора спина электрона являются двумерными

векторами в Гильбертовом пространстве состояний. Для сопоставления компонентам этих
векторов из абстрактного математического пространства векторов набора комплексных чисел
воспользуемся состоянием с определенной проекцией спина на ось

z

|

s

z

i

. Здесь

s

z

–

спиновая

"переменная", принимающая только два значения

±

~

/

2

. Данный вектор позволяет ввести

спиновые состояния в

s

z

-представлении

s

z

~

s

. В результате на основе общей теории

представлений, в

s

z

-представлении (представление, в котором оператор

ˆ

s

z

–

диагонален)

уравнение (3.23) на собственные функции и собственные значения оператора

ˆ

s

z

имеет вид:

σ

z

ψ

λ

(

s

z

) =

λψ

λ

(

s

z

)

(3.24)

23