Файл: sem2.pdf

Семинар 2

2.1

Постулаты квантовой теории.

Квантовая теория является математической моделью современного представления о

физических свойствах окружающего мира и физических систем из которых он состоит.

Описание произвольной физической системы опирается на понятие

состояния

. В

классической теории состояние определяется заданием всех координат и скоростей
составных частей системы в определенный момент времени. Однако неспособность
классической теории дать адекватное описание микросистем (атомы, молекулы, ядра,
"элементарные"частицы) привела к необходимости пересмотра понятия

состояние

. В

квантовой теории состояние определяется не полным набором численных значений координат
и скоростей, а меньшим числом данных иной природы.

В основе аксиаматической квантовой теории лежат следующие утверждения или

постулаты:

–

постулат состояния;

–

принцип суперпозиции состояний;

–

постулат соответствия оператор

–

физическая величина;

–

постулат об измерении;

–

постулат об эволюции состояний.

Содержание данных постулатов и формирует квантово-механическое описание мира.

1. Постулат состояния:
Квантовое состояние

(или

состояние

).

–

это полный набор данных (физических

величин), определяющих свойства системы.

Какие именно данные определяют состояние зависит от конкретной системы. В квантовой

теории заложен рецепт определения такого набора данных. Однако детально этот рецепт
становится очевиден после формулировки всех принципов квантовой теории:

2. Принцип суперпозиции состояний

.

Принцип суперпозиции квантовых состояний утверждает, что между состояниями

существуют особые соотношения, которые проявляются весьма "экзотическим"способом. А
именно, если система находится в определенном состоянии, то можно, одновременно, считать,
что она находится отчасти в двух или нескольких других состояниях, или в

суперпозиции

состояний.

Суперпозиция квантовых состояний не имеет аналога в классической теории и является

утверждением, которое формулирует принцип на основе специально разработанного
математического аппарата и схемы его применения. Схема является физической теорией, если
устанавливаются законы, связывающие математический аппарат с физически наблюдаемыми
процессами и явлениями. Именно эти законы и определяют квантовую теорию в целом.

Построение схемы квантовой теории основано на введении математических соотношений,

определяющих принцип суперпозиции. По смыслу, суперпозиция состояний оперирует с
величинами, которые можно "складывать", получая величины того же рода. Так как состояние

1

–

совокупный набор данных, то, можно предположить, что состояние есть объект типа

"вектора". В квантовой теории "вектор состояния" или просто вектор обозначается символом

|

i

. Если какой-то набор данных, определяющих систему, обозначить буквой

a

, то вектор

состояния будет иметь вид

|

a

i

. Векторы иных состояний или наборов данных могут быть

обозначены

|

b

i

,

|

n

i

,

|

ψ

i

,

|

a, b, c . . .

i

и т.д.

Допускается, что введенные векторы можно умножать на комплексное число

c

|

a

i

и

складывать между собой, образуя новые векторы, например:

|

c

i

=

c

1

|

a

i

+

c

2

|

b

i

,

(2.1)

где

c

1

и

c

2

–

комплексные числа. Или в общем случае:

|

y

i

=

k

X

n

=1

c

n

|

x

n

i

,

(2.2)

где

c

n

–

комплексные числа.

Если вектор

|

a, d, x . . .

i

зависит от параметра

x

, то в силу возможности сложения векторов

можно проинтегрировать вектор по

x

и получить новый вектор:

|

y

i

=

Z

|

a, d, x . . .

i

dx.

(2.3)

Если происходит суперпозиция двух или большего числа состояний, то порядок в котором
выполняется суперпозиция состояний несущественен. Кроме того, если коэффициенты
суперпозиции не равны нулю, то соотношение суперпозиции между всеми состояниями
симметрично. Так в (2.1) вектор состояния

|

a

i

может быть образован суперпозицией векторов

состояний

|

c

i

и

|

b

i

. Аналогично вектор состояния

|

b

i

может быть образован суперпозицией

векторов состояний

|

a

i

и

|

c

i

.

Квантовая теория вводит очень важное предположение о том, что состояние определяется

лишь "направлением" вектора, а не его "величиной". Таким образом суперпозиция состояния
с самим собой приводит к появлению нового состояния, то есть:

c

1

|

a

i

+

c

2

|

a

i

= (

c

1

+

c

2

)

|

a

i ≡ |

a

i

.

(2.4)

Вектор

(

c

1

+

c

2

)

|

a

i

соответствует тому же состоянию, что и вектор

|

a

i

(если

c

1

+

c

2

6

= 0

). Это

означает, что

если вектор состояния умножить на любое не равное нулю комплексное

число, то полученный вектор соответствует тому же квантовому состоянию

. Это

утверждение определяет коренное различие между понятиями квантовой и классической
суперпозиции.

Если равенство (2.1) умножить на комплексное число

α

, то, так как вектор

α

|

c

i

не

меняет состояния

|

c

i

, для определения состояния

|

c

i

в (2.1) существенно лишь отношение

коэффициентов

c

1

и

c

2

. Или, другими словами, суперпозиция двух состояний определяется

одним комплексным числом или двумя вещественными параметрами.

В

использованных

выше

понятиях

вектор

состояния

является

абстрактным

математическим символом, не связанным с каким-либо числом. Чтобы иметь возможность

2

оперировать

с

символами

состояний

необходимо

установить

соответствие

между

абстрактными символами состояния и, в общем случае, комплексными числами.

С этой целью в квантовой теории определяются

два вида векторов состояний

.

Пусть имеется число

α

, которое будем считать соответствующим вектору

|

a

i

. Число

α

рассматривается в квантовой теории как "скалярное" произведение вектора

|

a

i

на

некоторый "новый" вид вектора. Эти "новые" векторы обозначаются символом

h

|

. Если

нужно обозначить этот вектор каким-то набором переменных, например

b

, то используется

обозначение

h

b

|

.

Скалярное произведение "нового" вектора

h

b

|

и определенного ранее вектора состояния

|

a

i

обозначается

b

a

. Такому скалярному произведению приписывается свойство

комплексного числа. В квантовой теории принята следующая терминология:

векторы

вида

|

a

i

называются кет-векторами, а вида

h

b

|

бра-векторами

. Такая терминология

введена Дираком и произошла от английского слова bracket (скобка), условным разбиением
этого слова на две части

h

bra

|

–

бра-вектор,

|

ket

i

–

кет-вектор.

Введенное

скалярное

произведение

должно

обеспечить

выполнение

принципа

суперпозиции, то есть быть линейной функцией состояния. Условием того, что скалярное
произведение является линейной функцией от

|

a

i

, есть следующее выражение:

h

b

| {

c

1

|

a

i

+

c

2

|

a

i}

=

c

1

b

a

+

c

2

b

a

,

(2.5)

где

c

1

и

c

2

–

произвольные комплексные числа.

Бра-вектор определен полностью, если задано его скалярное произведение с любым кет

–

вектором. Так, например, если скалярное произведение равно нулю, то и сам

h

bra

|

-вектор

равен нулю.

Сумма двух бра-векторов

h

b

|

+

h

c

|

определяется из условия:

{h

b

|

+

h

c

|} |

a

i ≡

b

a

+

c

a

.

(2.6)

Произведение бра-вектора на комплексное число

c

определяется равенством:

{

c

h

b

|} |

a

i ≡

c

b

a

.

(2.7)

На основании (2.5), (2.6) ясно, что определенное выше скалярное произведение
удовлетворяет дистрибутивному закону умножения, а из (2.5), (2.7) вытекает, что умножение
бра- и кет-векторов на число удовлетворяет обычной алгебре чисел.

В квантовой теории вводится специальное предположение о взаимосвязи бра- и кет-

векторов. Бра-вектор, соответствующий кет-вектору

|

a

i

, обозначается

h

a

|

. Бра-вектор,

соответствующий сумме кет-векторов

|

a

i

+

|

b

i

, является суммой бра-векторов

h

a

|

+

h

b

|

. Бра-

вектор, соответствующий кет-вектору

c

|

a

i

, равен

c

∗

h

a

|

, здесь

c

–

комплексное число, а

c

∗

–

комплексно сопряженное число. В общем виде можно записать

h

a

|

= (

|

a

i

)

†

и

|

a

i

= (

h

a

|

)

†

,

(2.8)

где

†

–

значок сопряжения (соответствия двух типов векторов). Ниже показано, что этот

значок соответствует операции эрмитовского сопряжения.

Взаимно-однозначное соответствие бра- и кет-векторов означает, что любое состояние

системы может быть охарактеризовано как "направлением" вектора кет, так и направлением
вектора бра. То есть, теория симметрична относительно этих двух видов векторов.

3

Если даны два вектора

|

a

i

и

|

b

i

, то скалярное произведение из них образуется в виде

b

a

. Число, соответствующее этому скалярному произведению зависит линейно от

|

a

i

и

антилинейно от

|

b

i

. Здесь под антилинейностью понимается зависимость при которой число,

образованное из

|

b

i

+

|

b

0

i

есть сумма чисел образованных их

|

b

i

и

|

b

0

i

при скалярном

произведении с

|

a

i

; а число образованное из произведения вектора

α

|

b

i

(

α

–

комплексное

число) с вектором

|

a

i

равно умноженному на

α

∗

числу, образованному из скалярного

произведения

|

b

i

и

|

a

i

. Величину, которая линейно зависит от

|

a

i

и антилинейно от

|

b

i

, можно

построить, кроме того, взяв комплексно-сопряженную величину от скалярного произведения
вектора

|

b

i

на бра-вектор, сопряженный

|

a

i

. В теории квантовых состояний вводится

предположение, что эти числа равны:

b

a

=

a

b

∗

.

(2.9)

Если выбрать в (2.9)

|

b

i ≡ |

a

i

, то видно, что число

a

a

–

вещественно и в случае

a

a

6

= 0

положительно определено:

a

a

>

0

.

(2.10)

Учитывая "геометрическую" терминологию для рассматриваемых объектов (векторы

состояния), можно говорить о пространстве векторов состояний. В рассматриваемом
пространстве векторов состояний, векторы

|

a

i

и

|

b

i

называются

ортогональными

, если

a

b

= 0

.

(2.11)

Длина

вектора состояния определяется равенством:

k

a

k

=

q

a

a

.

(2.12)

Так как для вектора состояния существенно лишь "направление", то он определен с точностью
до произвольного численного множителя. Поэтому можно принять соглашение о единой
длине рассматриваемых векторов сотояния, которую удобно выбрать равной единице. Такой
выбор длины вектора называется

нормировкой

, а вектор

–

нормированным. Нормировка

вектора состояния не определяет его полностью, так как нормированный вектор все еще
можно умножить на комплексное число по модулю равное единице, что не изменит единичной
длины вектора, а полученный вектор будет соответствовать тому же состоянию:

|

a

i ≡

e

iϕ

|

a

i

,

ϕ

−

Re

.

(2.13)

Определенное выше "пространство" квантовых состояний соответствует известному

в математике Гильбертову пространству, а вектор состояния

–

лучу в Гильбертовом

пространстве.

Для справки:

Гильбертово пространство

(стандартно такое пространство обозначается

символом

H

) это:

а) векторное пространство комплексных чисел

C

. Обозначение вектора (или луча) в

H

принято в виде:

|

a

i

;

4

б) пространство с определенным скалярным произведением

a

b

, удовлетворяющим

следующим свойствам:

–

положительная определенность

–

a

a

>

0

.

,

–

линейность

–

a

c

1

b

+

c

2

c

=

c

1

a

b

+

c

2

a

c

, где

c

1

и

c

2

–

комплексные числа,

–

эрмитовское сопряжение

–

a

b

=

b

a

∗

;

в) пространство нормированое по норме

k

a

k

=

q

a

a

.

Пусть каждому кет-вектору квантового состояния

|

x

i

соответствует некоторый кет-

вектор

|

y

i

. В этом случае можно сказать, что вектор

|

y

i

является функцией

F

вектора

|

x

i

.

Чтобы выполнялся принцип суперпозиции состояний эта функция должна быть линейной.
Перевод состояния

|

x

i

в состояние

|

y

i

можно рассматривать как действие линейного

опрератора

ˆ

F

("шляпка" над буквой отличает символ оператора). Символически операция

преобразования вектора

|

x

i

в вектор

|

y

i

обозначается соотношением:

|

y

i

= ˆ

F

|

x

i

.

(2.14)

Если для любых векторов

|

x

i

выполняется равенство

ˆ

F

|

x

i

=

λ

|

x

i

, где

λ

число, оператор

является числом

ˆ

F

=

λ

. Оператор может быть равен нулю, единице и т.п. В соответствии

с Для линейного оператора

ˆ

F

выполняется равенство:

ˆ

F

(

c

1

|

x

1

i

+

c

2

|

x

2

i

) =

c

1

ˆ

F

|

x

1

i

+

c

2

ˆ

F

|

x

2

i

,

(2.15)

где

c

1

,

c

2

–

произвольные комплексные числа.

Операторы можно складывать (вычитать) по правилу:

ˆ

F

1

±

ˆ

F

2

|

x

i

= ˆ

F

1

|

x

i ±

ˆ

F

2

|

x

i

.

(2.16)

Два оператора

ˆ

A

и

ˆ

B

равны

, если для произвольных состояний

ˆ

A

|

x

i

= ˆ

B

|

x

i

. Символически

это равенство имеет вид

ˆ

A

= ˆ

B

.

Произведение

двух операторов определяется как результат последовательного действия

этих операторов на вектор состояния. Так в произведении

ˆ

A

·

ˆ

B

сначала вычисляется

действие оператора

ˆ

B

на вектор состояния

|

x

i

, а затем действие оператора

ˆ

A

на вектор

ˆ

B

|

x

i

. Определение произведения двух операторов легко обобщается на случай произведения

произвольного числа операторов (последовательное действие операторами справа на лево).

В общем случае

ˆ

A

·

ˆ

B

|

x

i 6

=

ˆ

B

·

ˆ

A

|

x

i

при произвольных

|

x

i

, то есть операторы

не коммутируют (не переставляются) в произведении. В силу произвольности

|

x

i

это

соотношение можно записать в операторном виде

ˆ

A

·

ˆ

B

6

= ˆ

B

·

ˆ

A

.

Чтобы охарактеризовать возможность или правило перестановки операторов в

произведении вводится понятие коммутатора двух операторов.

Коммутатор операторов

ˆ

A

и

ˆ

B

обозначается символом

h

ˆ

A,

ˆ

B

i

и определяется равенством:

h

ˆ

A,

ˆ

B

i

≡

ˆ

A

·

ˆ

B

−

ˆ

B

·

ˆ

A.

(2.17)

5