ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 133
Скачиваний: 1
или в матричном виде:
1
0
0
−
1
s
z
= +1
/
2
λ
s
z
=
−
1
/
2
λ
=
λ
s
z
= +1
/
2
λ
s
z
=
−
1
/
2
λ
.
(3.25)
Перепишем уравнение (3.25) в следующей форме:
ˆ
σ
z
a
b
λ
=
λ
a
b
λ
⇒
1
0
0
−
1
a
b
λ
=
λ
a
b
λ
.
(3.26)
Так как
λ
=
±
1
возникает два ортонормированных решения уравнения (3.26)
a
b
λ
=+1
=
1
0
и
a
b
λ
=
−
1
=
0
1
.
(3.27)
Учитывая ортогональность состояний условие нормировки для собственной функции
оператора спина выглядит следующим образом:
s
i
s
i
= 1 =
X
λ
=
±
1
s
i
λ
λ
s
i
= (
a
∗
, b
∗
)
a
b
=
|
a
|
2
+
|
b
|
2
= 1
.
(3.28)
В обозначениях принятых в квантовой теории представлений собственные функции оператора
проекции спина на ось
z
должны записываться в форме:
a
b
λ
=+1
≡
1
/
2
1
/
2
−
1
/
2
1
/
2
=
1
0
;
a
b
λ
=
−
1
≡
1
/
2
−
1
/
2
−
1
/
2
−
1
/
2
=
0
1
.
(3.29)
Однако такая система обозначений достаточно громоздка и условно собственные "функции"
оператора
σ
z
обозначают (для наглядности) в виде, формально совпадающем с обозначением
вектора в Гильбертовом пространстве:
|
0
i ≡ |↑i ≡
1
0
;
|
1
i ≡ |↓i ≡
0
1
.
(3.30)
Следует
подчеркнуть,
что
символическое
обозначение
собственных
"функций"двух
возможных спиновых функций в форме (3.30) по сути некорректно, но в силу тривиального
характера спиновой переменной
s
z
такая условность не мешает пониманию. Более корректное
обозначение этих "функций" таково:
|
0
i →
α
≡
1
0
;
|
1
i →
β
≡
0
1
,
(3.31)
где
α
–
"функция"состояния спина "вверх", а
β
–
состояния спина "вниз".
Учитывая явный вид матриц Паули
σ
k
и вид собственных функций (3.31) или (3.27), или
(3.29) нетрудно установить следующие равенства:
σ
x
|↑i
=
|↓i
;
σ
y
|↑i
=
i
|↓i
;
σ
z
|↑i
=
|↑i
σ
x
|↓i
=
|↑i
;
σ
y
|↓i
=
−
i
|↑i
;
σ
z
|↓i
=
− |↓i
.
(3.32)
24
Аналогично решению уравнений (3.25), (3.24) могут быть найдены собственные "функции"
операторов
σ
x
и
σ
y
в
s
z
-представлении (с учетом (3.11)).
Так уравнение вида:
σ
x
ψ
λ
(
s
z
) =
λψ
λ
(
s
z
);
λ
=
±
1
(3.33)
имеет следующие нормированные решения в
s
z
-представлении:
|↑
x
i
=
ψ
λ
=+1
=
1
√
2
1
1
;
|↓
x
i
=
ψ
λ
=
−
1
=
1
√
2
1
−
1
,
(3.34)
где
|↑
x
i
и
|↓
x
i
–
состояния с проекцией спина на ось
x
вверх и вниз, соответственно.
Нормированные решения уравнения на собственные функции оператора
σ
y
в
s
z
-
представлении:
σ
y
Φ
λ
(
s
z
) =
λ
Φ
λ
(
s
z
);
λ
=
±
1
,
(3.35)
имеют вид:
|↑
y
i
= Φ
λ
=+1
=
1
√
2
1
i
;
|↓
y
i
= Φ
λ
=
−
1
=
1
√
2
1
−
i
.
(3.36)
Для справки выпишем действия матриц
σ
±
и их произведений на спиновые функции
α
и
β
σ
+
|↑i
= 0;
σ
−
|↑i
= 2
|↓i
;
σ
+
|↓i
= 2
|↑i
;
σ
−
|↓i
= 0
(3.37)
σ
+
σ
−
|↑i
= 4
|↑i
;
σ
−
σ
+
|↑i
= 0;
σ
+
σ
−
|↓i
= 0;
σ
−
σ
+
|↓i
= 4
|↓i
(3.38)
В соответствии с (2.89) оператор поворота спинового состояния на угол
ϕ
вокруг оси
~
n
равен
ˆ
R
~
n
(
ϕ
) = exp
h
−
i
ϕ
~
(
~
S
·
~
n
)
i
= cos
ϕ
2
−
i
(
~
σ
·
~
n
) sin
ϕ
2
,
(3.39)
здесь учтено, что
(
~
σ
·
~
n
)
2
= 1
.
Так, в частном случае, оператор поворота вокруг оси
~
n
параллельной оси
z
на угол
ϕ
есть:
ˆ
R
z
(
ϕ
) = cos
ϕ
2
−
i
1
0
0
−
1
sin
ϕ
2
=
e
−
iϕ/
2
0
0
e
iϕ/
2
.
(3.40)
Действуя оператором (3.40) на функцию состояния со спином "вверх" по оси
z
, получим:
ˆ
R
z
|
0
i
=
e
−
iϕ/
2
0
⇒
e
−
iϕ/
2
1
0
⇒
1
0
≡ |
0
i
,
(3.41)
в силу того, что общий фазовый множитель у "функции"не имеет физического значения.
Если осуществить поворот на угол
ϕ
=
π/
2
вокруг оси
y
ˆ
R
y
|
0
i
=
1
√
2
−
iσ
y
1
√
2
1
0
=
1
√
2
1
−
1
1
1
1
0
=
1
√
2
1
1
=
ψ
λ
=+1
(3.42)
получим собственную функцию оператора
σ
x
состояния, спин вверх по оси
x
25
Из (3.34),(3.30) следует, что спиновое состояние
—
спин вверх по оси
x
может быть
представлено в виде суперпозиции состояний спин-вниз спин-вверх по оси
z
, то есть:
|↑
x
i
=
1
√
2
(
|↑
z
i
+
|↓
z
i
)
.
(3.43)
Аналогично состояние
–
спин вниз по оси
x
есть суперпозиция вида:
|↓
x
i
=
1
√
2
(
|↑
z
i − |↓
z
i
)
.
(3.44)
В обоих представленных случаях (3.43), (3.44) измерение спина вдоль оси
z
с вероятностью
1
/
2
приведет к значению спина вверх и значению спина вниз.
Однако, если рассмотреть состояние, являющееся суперпозицией вида:
|
a
i
=
1
√
2
(
|↑
x
i
+
|↓
x
i
)
,
(3.45)
то при измерении спина вдоль оси
z
с вероятностью равной единице получится значение спина
"вверх" и никогда не будет обнаружено значение спина "вниз". Так как:
|
a
i
=
1
2
(
|↑i
+
|↓i
+
|↑i
−
|↓i
) =
|↑i
.
Суперпозиция состояний спина
1
/
2
является физической моделью понятия кубита,
введенного в предыдущем параграфе.
В общем случае имеются и другие физические системы, которые удовлетворяют
определению кубита. Так любая двухуровневая квантовая система или состояния
поляризации электромагнитного излучения, также приводят к физической реализации
кубита.
3.8
Спиновый резонанс для свободного электрона
рис.3.1.
В
качестве
примера
эволюции
спинового
состояния
рассмотрим
поведение
спина,
находящегося в магнитном поле с индукцией
~
B
0
(по оси
z
). Пусть в момент времени
t
= 0
включается
переменное магнитное поле
~
B
0
, вектор который лежит
в плоскости
x
и
y
, а спин находится в состоянии
"спин-вверх"(рис.
3.1.)
Найдем
вероятность
переворачивания спина в такой системе.
В
координатном
представлении
оператор
Гамильтона такой системы совпадает с потенциальной
энергией
взаимодействия
спинового
магнитного
момента
~
µ
s
с внешним полем
~
B
=
~
B
0
+
~
B
0
,
ˆ
H
=
−
(
~
µ
·
~
B
) =
−
e
~
2
mc
(
~
σ
·
~
B
)
ˆ
H
=
µ
0
(
σ
z
B
0
+
σ
x
B
0
x
+
σ
y
B
0
y
) =
µ
0
σ
z
B
0
+
1
2
B
0
(
σ
+
e
−
iωt
+
σ
−
e
iωt
)
,
µ
0
≡
e
~
2
mc
.
(3.46)
26
Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид:
i
~
∂
Ψ
∂t
=
µ
0
B
0
σ
z
+
1
2
B
0
(
σ
+
e
−
iωt
+
σ
−
e
iωt
)
Ψ
.
(3.47)
Решение уравнения (3.47) можно представить в виде суперпозиции двух возможных спиновых
состояний
|
0
i
и
|
1
i
Ψ(
t
) =
u
(
t
)
|
0
i
+
v
(
t
)
|
1
i
.
(3.48)
Подставляя (3.48) в (3.47) с учетом соотношений (3.37) и (3.32), получим систему уравнений
(
i
˙
u
=
ω
0
u
+
ω
0
e
−
iωt
v
i
˙
v
=
−
ω
0
v
+
ω
0
e
iωt
u
(3.49)
где
ω
0
≡
µ
0
B
0
/
~
;
ω
0
≡
µB
0
/
~
.
Решение системы (3.49), удовлетворяющее начальному условию
Ψ(0) =
|
0
i
равно:
Ψ(
t
) =
cos(Ω
t
)
−
ω
0
−
ω/
2
Ω
sin(Ω
t
)
exp
−
i
ω
2
t
|
0
i −
ω
0
Ω
sin(Ω
t
) exp
i
ω
2
t
|
1
i
,
(3.50)
где
Ω =
p
(
ω
0
−
ω/
2)
2
+
ω
0
2
.
Таким образом, вероятность измерения состояния "спин-вниз"равна квадрату модуля
коэффициента перед состоянием
|
1
i
P
(
t
) =
ω
0
Ω
2
sin
2
(Ω
t
)
.
(3.51)
Усредненная за период вероятность в этом случае равна:
P
(
t
)
=
1
2
ω
0
2
Ω
2
=
ω
0
2
(
ω
0
−
1
2
ω
)
2
+
ω
0
2
.
(3.52)
Таким образом, если медленно менять
B
0
, то для
ω
0
=
ω/
2
вероятность окажется
максимальной, равной
h
P
i
max
= 1
/
2
, независимо от вращающегося поля. Такое поле
B
0
–
называется
резонансным
, а явление переворачивания спина
—
спин-флип
.
Кроме того, в соответствии с (3.50), выключая магнитное поле в определенный момент
времени можно получить суперпозицию состояний с требуемыми значениями
u
и
v
, (то есть
приготовить кубит в нужной суперпозиции).
3.9
Двухуровневая система
рис.3.2.
Еще одним примером однокубитового состояния
является двухуровневая система (рис. 3.2.). Пусть до
момента
t
=
0
свойства системы определялись
Гамильтонианом
H
0
, имеющим только два стационарных
состояния
ˆ
H
0
|
k
i
=
E
k
|
k
i
,
k
= 0
,
1;
(3.53)
27
а в момент времени
t
= 0
система находилась в состоянии
спин-ввверх
|
0
i
. В момент времени
t
= 0
на систему накладывается не зависящее от
времени взаимодействие
ˆ
W
(например, постоянное поле). Дальнейшая эволюция системы
удовлетворяет уравнению Шредингера:
i
~
∂
∂t
|
Ψ
i
= ( ˆ
H
0
+ ˆ
W
)
|
Ψ
i
.
(3.54)
Решение уравнения (3.54) можно представить в виде
|
Ψ(
t
)
i
=
c
1
(
t
)
e
−
i ω
1
t
|
0
i
+
c
2
(
t
)
e
−
i ω
2
t
|
1
i
,
(3.55)
(где
ω
i
=
E
i
/
~
) с начальным условием
c
1
(0) = 1
;
c
2
(0) = 0
.
Подставляя (3.55) в (3.54) и проектируя уравнение один раз на состояние
|
0
i
, а второй
—
на состояние
|
1
i
, получим систему уравнений для
c
1
и
c
2
, решение которой имеет вид
c
1
(
t
) =
e
−
iλt
h
cos(
σt
) +
i
γ
2
σ
sin(
σt
)
i
c
2
(
t
) =
−
i
W
12
~
σ
e
−
i
(
λ
−
ω
0
)
t
sin(
σt
)
,
(3.56)
где
~
σ
=
p
γ
2
/
4 +
|
W
12
|
2
,
~
γ
=
W
22
−
W
11
+
~
ω
0
,
ω
0
=
ω
2
−
ω
1
;
W
ij
≡
i
W
j
.
В результате вероятность найти в момент времени
t
систему в состоянии
|
1
i
есть:
|
c
2
(
t
)
|
2
=
4
|
W
12
|
2
(
~
γ
)
2
+ 4
|
W
12
|
2
sin
2
(
σt
)
.
(3.57)
Соответственно усредненная за период вероятность найти систему в состоянии
|
1
i
равна:
h|
c
2
(
t
)
|
2
i
=
2
|
W
12
|
2
(
~
γ
)
2
+ 4
|
W
12
|
2
.
(3.58)
Таким образом, такая система также попадет под определение кубита и может
рассматриваться как его модельная реализация.
3.10
Поляризация фотонов.
Еще одним важным "двухуровневым" элементом является состояние поляризации
электромагнитного поля (или фотона). Фотон отличается от частиц со спином
1
/
2
тем,
что является безмассовой и имеет спин
1
. У фотона имеются два состояния поляризации.
Например, для фотона распространяющегося вдоль оси
z
есть два состояния линейной
поляризации (вдоль оси
x
и
y
), которые обозначим
|
x
i
и
|
y
i
. Поворот системы координат на
угол
θ
относительно оси
z
приводит к преобразованиям вектора поляризации
|
x
i ⇒
cos
θ
|
x
i
+ sin
θ
|
y
i
|
y
i ⇒ −
sin
θ
|
x
i
+ cos
θ
|
y
i
.
(3.59)
Матрица преобразований
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
28