Файл: sem10.doc

Семинар 10. Квантовая телепортация.

Квантовая телепортация – это передача квантового состояния из одного места в другое даже при отсутствии квантового канала связи между отправителем и получателем.

Дляобъяснениясмыслателепортацииположим,чтодвачеловекаАлисаиБобвпрошломнаходилисьводномместеиприготовилиEPR-паруиздвухкубитов.Затемэтилюдиразъехалисьвразныеместа,нокаждыйизнихвзялссобойодинкубитизEPR-пары.ПоистечениидлительноговремениАлисепотребовалосьпередатьнекийкубит_|Ψ_� Бобу:

_|Ψ_� = α _|0_� + β _|1_� (10.1)

При этом Алиса не знает состояния кубита _|Ψ_�, то есть не знает величины коэффициентов α и β и имеет возможность связаться с Бобом только по классическому каналу связи.

В соответствии с общими принципами квантовой механики и теоремой о неклонируемости квантового состояния, Алиса не может без разрушения кубита _|Ψ_� определитькоэффициенты α и β и просто передать их значения Бобу, чтобы он изготовил соответствующий кубит _|Ψ_� у себя. Однако Алиса может поступить следующим образом. Алиса осуществляет взаимодействие кубита _|Ψ_� скубитом,которыйвходитвееEPR-пару,азатемпроизводитизмерениенадобразовавшимсядвух-кубитовымсостоянием,получаяодинизчетырехвозможныхклассическихрезультатов00,01,10,11.ЗатемонапосылаетэтуинформациюБобу.Взависимостиотсообщения,котороепошлетАлисаБобвыполняетоднуизчетырехоперацийксвоемукубитуизEPR-пары.ВрезультатеуБобапоявитьсякубитвсостоянии_|Ψ_�. Это и есть квантовая телепортация.

Квантовая цепь изображенная на Рис.10.1 дает точное описание процесса телепортации. Состояние, которое должно быть передано определяется выражением (10.1), где α и β неизвестны.

рис.10.1
Начальное состояние цепи определяется выражением:

1

_|Ψ0_� = _|Ψ_�|EPR_� = _{√2 {}α _|0_� (_|00_� + _|11_�)+ β _|1_� (_|00_� + _|11_�)_} . (10.2)

Здесь принято, что первые два (слева-направо) кубита принадлежат Алисе, а третий кубит Бобу. Далее Алиса пропускает свои два кубита через CNOT -гейт. При этом получается

85

состояние

|^Ψ1�^:
1

_|Ψ1_� = _{√2 {}α _|0_� (_|00_� + _|11_�)+ β _|1_� (_|00_� + _|11_�)_} (10.3)

Затем Алиса пропускает первый кубит через гейт Адамара. В результате состояние рассматриваемых кубитов _|Ψ2_� будет иметь вид:

1

_|Ψ2_� =_{2 {}α(_|0_� + _|1_�)(_|00_� + _|11_�)+β(_|0_{�− |}1_�)(_|10_� + _|01_�)_} (10.4)

Перегруппировав члены в (10.4), соблюдая выбранную последовательность принадлежности кубитов Алису и Бобу, получим:

1

_|Ψ2_� =_{2 |}00_� (α _|0_� + β _|1_�)+ _|01_� (α _|1_� + _�

+ β _|0_�)+ _|10_� (α _|0_�− β _|1_�)+ _|11_� (α _|1_�− β _|0_�) . (10.5)

Результат измерения Алисы

Состояние кубита Боба

Действия Боба

Окончательное состояние

00 01 10 11

α|0�+β|1�α|1�−β|0�α|0�−β|1�α1�+β0�

1 X Z XZ

α|0�+β|1�α|0�+β|1�−[α|0�+β|1�]α0�+β1�

(10.6)

||

||

ОднакодлятогочтобыузнатьвкакомизчетырехсостоянийнаходитьсяегокубитБобдолженполучитьклассическуюинформациюорезультатеизмерениявыполненногоАлисой.КактолькоБобузнаетрезультатизмеренияАлисыонможетполучитьсостояниеисходногокубитаАлисы_|Ψ_� выполняя соответствующие схеме (10.6) квантовые операции. Так если Алиса сообщила ему, что результат ее измерения 00, то Бобу ничего не нужно делать с его кубитом – он находиться в состоянии _|Ψ_�,тоестьрезультатпередачиужедостигнут.ЕслижеизмерениеАлисыдаетрезультат01,тоБобдолженподействоватьнасвойкубитгейтомX.ЕслиизмерениеАлисыдает10,тоБобдолженприменитьгейтZ.Наконец,еслирезультатбыл11,тоБобдолженподействоватьгейтамиXZ,чтобыполучитьпередаваемоесостояние

·

^|Ψ�.Суммарно квантовая цепь описывающая явление телепортации приведена на рис ??. Имеется ряд обстоятельств для явления телепортации, которые должны быть объяснены с учетом общефизических принципов. Например, может создаться впечатление, что телепортация позволяет передавать квантовое состояние мгновенно и следовательно быстрее скорости света. Это утверждение находится в прямом противоречии с

86

теориейотносительности.Однаковявлениителепортациинетпротиворечиястеориейотносительности,потомучтодляосуществлениятелепортацииАлисадолжнапередатьрезультатсвоегоизмеренияпоклассическомуканалусвязи,ателепортациянепередаетникакойинформации.Напомним,чтонемедленнодопроведенияизмеренийАлисойквантовоесостояние трех кубит определяется выражением (10.5). Измерения выполняемые Алисой даютвероятность1/4длялюбогоизчетырехпредставленныхсостояний_|ij_� [α _|0_�± β _|1_�](i,j_∈ 01).Такимобразомоператорплотноститакойсистемыимеетвид:

1

� =_{4 |}00_��00_| (α _|0_� + β _|1_�)(α∗_�0_| + β∗ _�1_|)+

+ _|01_��01_| (α _|1_� + β _|0_�)(α∗_�1_| + β∗ _�0_|)+ _(10.7) +(α 1_�)(α∗_�0₋ β∗ _�1)+

|¹⁰��¹⁰||⁰�− ^β |||�

+ _|11_��11_| (α _|1_�− β _|0_�)(α∗_�1_|− β∗ _�0_|)

Вычисляя шпур от � по переменным системы кубитов Алисы, получим приведенную матрицу плотности кубита, находящегося у Боба.

1

�^B =₄ (α _|0_� + β _|1_�)(α∗_�0_| + β∗ _�1_|)+

+(α _|1_� + β _|0_�)(α∗_�1_| + β∗ _�0_|)+

+(α 1_�)(α∗_�0₋ β∗ _�1)+

|⁰�− ^β |||� +(α _|1_�− β _|0_�)(α∗_�1_|− β∗ _�0_|)= ^(10.8)

1

=₂ (_|α_|² + _|β_|²) _|0_��0_| +(_|α_|² + _|β_|²) _|1_��1_| =

11 ⁼ 2⁽|^α|^{2 +} |^β|²⁾ |⁰��⁰| ⁺ |¹��¹| ⁼2

ТакимобразомсостояниекубитаБобапослеизмерениявыполненногоАлисой,нодотогокакБобузналрезультатопределяется�^B _≡ 1/2.Этосостояниенезависитотсостояниякубита_|Ψ_� и следовательно любое измерение выполненное Бобом не будет содержать информации о _|Ψ_�. Таким образом без передачи классической информации нельзя получить состояние _|Ψ_� и нет нарушения принципов теории относительности. Следующим нетривиальным и удивительным результатом является возможность создания копии квантового состояния, что противоречит теореме невозможности клонирования (копирования) квантового состояния, которая обсуждалась ранее. В этом утверждении так же не содержится противоречий основным физическим принципам, так как после осуществления явления телепортации только кубит мишени (Боба) находится в состоянии _|Ψ_�, а исходный кубит находиться (в результате измерения) в одном из базисных состояний _|0_� или _|1_�.

Впрактическомсмыслетелепортацияпоказывает,чтоEPR-парасовместносдвумяклассическимибитамиинформацииобразуютресурспопередачеодногокубитаинформации.

87