ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 365
Скачиваний: 1
Ñîäåðæàíèå
1. Îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ.
2
2. Âîëíîâàÿ ìåõàíèêà.
4
2.1. Ïîñòóëàòû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2. Èçìåðåíèå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è åãî ïðîñòåéøèå ñëåäñòâèÿ. . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Çàäà÷à îá àòîìå âîäîðîäà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6. Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7. Òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Ïðèáëèæ¼ííûå ìåòîäû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.
19
3.1. Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4. Âàðèàöèîííûå ìåòîäû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5. Àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Ïðèìåíåíèå ôîðìàëèçì Äèðàêà ê ðåøåíèþ çàäà÷ êâàíòîâîé ìåõàíèêè. 27
4.1. Îáùèé ôîðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Îïåðàòîð óãëîâîãî ìîìåíòà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3. Ñïèí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4. Ñèììåòðèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5. Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6. Ìåõàíèêà òâ¼ðäîãî òåëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7. Îáùèé ñëó÷àé çàäà÷è î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå. . . . . . . . . . . . . . . 35
4.8. Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. . . . . . . . . . 36
4.9. Îïèñàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïëîòíîñòè. . . . . . 37
c
Ñ. Â. Ïåòðîâ, Himera, À. Ìèòÿåâ, 2003.
Âîïðîñû è êîììåíòàðèè ìîæíî îòïðàâëÿòü ïî e-mail himer2001@mail.ru èëè áðîñàòü â
ICQ 257457884.
1
1. Îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ.
Îïðåäåëåíèå: Ôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì
L
2
(ãèëüáåðòîâûì) íàçûâàåòñÿ ïðî-
ñòðàíñòâî ôóíêöèé
f
:
R
→
C
, èíòåãðèðóåìûõ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé âìåñòå ñî ñâîèì
êâàäðàòîì (òî åñòü
f, f
2
∈
R
(
R
)
). Â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ïîëóñêàëÿðíîå ïðî-
èçâåäåíèå
∀
f, ψ
∈
L
2
(
f, ψ
)
x
=
R
R
f
∗
ψdx
.
Îïðåäåëåíèå: ëèíåéíûé îïåðàòîð A
+
:
E
→
E,
äåéñòâóþùèé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàí-
ñòâå
E
, íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííûì ê îïåðàòîðó A :
E
→
E
, åñëè
∀
f, ϕ
(
f,
A
ϕ
) =
(
A
+
f, ϕ
)
; â ñëó÷àå A
=
A
+
îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâûì. Î÷åâèäíî, äëÿ ýðìèòîâà
îïåðàòîðà A
,
∀
f, ϕ
(
f,
A
ϕ
) = (
A
f, ϕ
) = (
ϕ,
A
f
)
∗
. Ïî÷òè âñå îïåðàòîðû, ðàññìàòðèâàåìûå
â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâûìè (ïðè÷èíà áóäåò ðàçúÿñíåíà â 2.1).
Çàìå÷àíèå: äëÿ îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ íà åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íàä
R
, ýðìèòîâ-
ñêîå ñîïðÿæåíèå ýêâèâàëåíòíî îáû÷íîìó ñîïðÿæåíèþ, ðàññìàòðèâàåìîìó â êóðñå ëèíåé-
íîé àëãåáðû.
Ïðèìåð: ðàññìîòðèì ëèíåéíûé îïåðàòîð A
=
α
·
d
dx
(
α
∈
C
)
è óñëîâèÿ åãî ýðìèòî-
âîñòè.
∀
f, ϕ
(
f,
A
ϕ
) =
α
R
R
f
∗
dϕ,
(
A
f, ϕ
) =
α
∗
·
R
R
ϕdf
∗
=
α
∗
f
∗
ϕ
|
R
−
α
∗
R
R
f
∗
dϕ
. Ïåðâîå
ñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íîëü, ïîñêîëüêó ôóíêöèè
f, ϕ
èíòåãðèðóåìû íà
R
âìåñòå ñî ñâî-
èìè êâàäðàòàìè; òîãäà óñëîâèåì âûïîëíåíèÿ
(
f,
A
ϕ
) = (
A
f, ϕ
)
ñòàíåò
α
∗
=
−
α
, òî åñòü A
ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâûì â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà
α
=
ki, k
∈
R
.
Îïðåäåëåíèå: îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì, åñëè
∀
f, ϕ
(
A
f,
A
ϕ
) = (
f, ϕ
)
.
Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî
(
f, ϕ
) = (
f,
A
+
A
ϕ
)
⇒
A
+
A
= 1
⇒
A
+
=
A
−
1
.
Îïðåäåëåíèå: ìàòðèöà îïåðàòîðà A
+
íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííîé ê ìàòðè-
öå
A
îïåðàòîðà A; ìàòðèöà ýðìèòîâà îïåðàòîðà íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâîé, à ìàòðèöà óíè-
òàðíîãî îïåðàòîð óíèòàðíîé. Çàìåòèì, ÷òî
(
ψ
k
,
B
ψ
i
) =
P
j
B
ji
(
ψ
j
, ψ
k
) =
P
j
B
ji
δ
kj
=
B
ki
=
(
B
+
ψ
k
, ψ
i
) = (
ψ
i
,
B
+
ψ
k
)
∗
=
B
∗
ik
, òî åñòü ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå ìàòðèöû ñîîòâåòcòâóåò å¼
òðàíñïîíèðîâàíèþ ñ ïîñëåäóþùèì êîìïëåêñíûì ñîïðÿæåíèåì âñåõ ýëåìåíòîâ. Àíàëîãè÷-
íóþ îïåðàöèþ ìîæíî ïðèìåíÿòü ê ïðÿìîóãîëüíûìè ìàòðèöàì â ÷àñòíîñòè, âåêòîðàì
(ñòîëáöàì), êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííûå ñòðîêè. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ
ýðìèòîâûõ ìàòðèö âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî
B
=
B
+
,
à äëÿ óíèòàðíûõ ìàòðèö
B
+
=
B
−
1
.
Îïðåäåëåíèå: ñïåêòðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ åãî ñîá-
ñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ñïåêòð îïåðàòîðà äèñêðåòåí, åñëè ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
êîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî, è íåïðåðûâåí, åñëè ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ïðî-
ìåæóòêîì.
Òåîðåìà 1 (ñâîéñòâà ñïåêòðà ýðìèòîâà îïåðàòîðà): ïóñòü îïåðàòîð A ýðìèòîâ,
A
ψ
n
=
λ
n
ψ
n
,
∀
n
(
ψ
n
, ψ
n
) = 1
.
Òîãäà
∀
m, n λ
n
∈
R
;
åñëè
λ
n
6
=
λ
m
,
òî
(
ψ
m
, ψ
n
) =
δ
nm
.
4
λ
∗
n
(
ψ
n
, ψ
n
) = (
A
ψ
n
, ψ
n
) = (
ψ
n
,
A
ψ
n
) =
λ
n
(
ψ
n
, ψ
n
)
⇒
λ
∗
n
=
λ
n
⇒
λ
n
∈
R
.
Ïóñòü
λ
n
6
=
λ
m
,
òîãäà
λ
∗
m
(
ψ
m
, ψ
n
) = (
A
ψ
m
, ψ
n
) = (
ψ
m
,
A
ψ
n
) =
λ
n
(
ψ
m
, ψ
n
)
. λ
m
, λ
n
∈
R
,
ïîýòîìó
(
ψ
m
, ψ
n
) = 0
.
Òåîðåìà 2 (î êîììóòèðóþùèõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðàõ): äëÿ òîãî, ÷òîáû ýðìèòîâû
îïåðàòîðû A è B êîììóòèðîâàëè, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíè èìåëè îäèíàêîâûå
íàáîðû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.
4 ⇒
Ïóñòü A
ψ
n
=
λ
n
ψ
n
; ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà
λ
n
íåâûðîæäåíî. B A
ψ
n
=
λ
n
B
ψ
n
⇒
A B
ψ
n
=
λ
n
B
ψ
n
, òî åñòü B
ψ
n
ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé A ñ ñîáñòâåííûì
çíà÷åíèåì
λ
n
. Çíà÷èò, B
ψ
n
=
µ
n
ψ
n
.
2
Åñëè æå
λ
n
âûðîæäåíî, ìîæíî ñîñòàâèòü âåêòîð
−
→
ψ
=
ψ
1
...
ψ
r
èç îðòîíîðìèðî-
âàííûõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó ñîáñòâåííî-
ìó çíà÷åíèþ. Ìàòðèöà
B
ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâîé, à ïîòîìó ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê äèàãî-
íàëüíîìó âèäó ñ ïîìîùüþ ïîäîáíîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îñóùåñòâëÿåìîãî ìàò-
ðèöåé
U
:
U
+
BU
=
b
; ñîãëàñíî ñâîéñòâàì óíèòàðíîé ìàòðèöû
U
ψ
ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðî-
âàííîé ñèñòåìîé âåêòîðîâ, êîòîðûì ïî-ïðåæíåìó ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
λ
n
îïåðàòîðà A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, B U
−
→
ψ
=
BU
−
→
ψ
=
U
b
−
→
ψ
, òî åñòü ôóíêöèè U
ψ
i
ÿâëÿþòñÿ
ñîáñòâåííûìè âåêòîðûìè B.
⇐
A
ψ
n
=
λ
n
ψ
n
,
B
ψ
n
=
µ
n
ψ
n
⇒
B A
ψ
n
=
λ
n
B
ψ
n
=
λ
n
µ
n
ψ
n
=
A B
ψ
n
, òî åñòü
[
A, B
]
ψ
n
=0, à ïîñêîëüêó
ψ
n
îáðàçóþò ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ôóíêöèé, òî
[
A, B
] = 0
.
Îïðåäåëåíèå: êîììóòàòîðîì ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ A è B íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûé îïå-
ðàòîð
[
A
,
B
] =
A B
−
B A.
Ñâîéñòâà êîììóòàòîðîâ:
∀
A, B
1.
[
A, B
] =
−
[
B, A
];
2.
[
A, B
+
C
] = [
A, B
] + [
A, C
];
3.
[
A, BC
] = [
A, B
]
C
+
B
[
A, C
];
4.
[
A,
[
B, C
]] + [
B,
[
C, A
]] + [
C,
[
A, B
]] = 0
òîæäåñòâî ßêîáè.
Îïðåäåëåíèå:
δ
-ôóíêöèåé Äèðàêà íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà èíòåãðèðó-
åìûå íà
R
ôóíêöèè òàê, ÷òî
b
Z
a
f
(
x
)
δ
(
x
−
x
0
)
dx
=
f
(
x
0
)
, x
0
∈
[
a, b
]
,
0
, x
0
6∈
[
a, b
]
.
([
a, b
]
⊂
R
)
.
Çàìå÷àíèå: ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî
L
2
ìîæåò áûòü äîïîëíåíî âîçìîæíîñòüþ íîð-
ìèðîâêè íà
δ
-ôóíêöèþ, òî åñòü âåêòîðàìè
f
:
(
f, f
) =
δ
(0)
.
 äàëüíåéøåì, åñëè ýòî íå
îãîâîðåíî îñîáî, âñå óïîìèíàåìûå ôóíêöèè áóäóò ÿâëÿòüñÿ ýëåìåíòàìè òàêîãî, "ðàñøè-
ðåííîãî" ïðîñòðàíñòâà
L
2
.
Îïðåäåëåíèå: ôóíêöèåé îïåðàòîðà A
f
(
A
)
ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð, ïîëó÷àþùèéñÿ ïîä-
ñòàíîâêîé A â êà÷åñòâå àðãóìåíòà ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè
f
â ðÿä Òåéëîðà. Íàïðèìåð,
e
A
=
+
∞
P
n
=0
A
n
n
!
.
3
2. Âîëíîâàÿ ìåõàíèêà.
2.1. Ïîñòóëàòû êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Ïðèíöèï íåîïðåäåë¼ííîñòè: â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íåâîçìîæíî òî÷íî îïðåäåëèòü
ïîëîæåíèå ÷àñòèöû â çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè, òî åñòü íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü å¼ òðà-
åêòîðèþ.
1. Ïîñòóëàò î âîëíîâîé ôóíêöèè: â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòîÿíèå ÷àcòèöû
ïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ çàäàíèåì å¼ âîëíîâîé ôóíêöèè
ψ
(
r
, t
)
; ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî âî âðåìÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèÿ ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â îáú¼ìå
dV
âáëèçè òî÷êè
r
0
â
ìîìåíò âðåìåíè
t
0
ðàâíà
|
ψ
(
r
0
, t
0
)
|
2
dV
, à âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â îá-
ëàñòè
D
â ìîìåíò âðåìåíè
t
0
, ñîñòàâëÿåò
R
D
|
ψ
(
r
, t
0
)
|
2
dV.
Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò ìîäóëÿ
âîëíîâîé ôóíêöèè ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ÷àñòè-
öû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè â îïðåäåë¼ííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ýòî íàêëàäûâàåò íà
ψ
äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñëîâèå íîðìèðîâêè
(
ψ, ψ
) = 1
(çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò è
âîëíîâûå ôóíêöèè, íîðìèðóåìûå èíà÷å, ñì. 2.2). Ñîîòâåòñòâåííî, ñðåäíåå çíà÷åíèå êî-
îðäèíàòû ÷àñòèöû ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ôîðìóëå
x
=
R
R
|
ψ
(
x, t
0
)
|
2
xdx
=
R
R
ψ
∗
xψdx.
Äëÿ
íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè êîîðäèíàòû
f
(
x
)
ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó
f
=
R
|
ψ
|
2
f
(
x
)
dx
=
R
ψ
∗
f ψdx
= (
ψ, f ψ
)
x
.
Çàìå÷àíèå: ñîñòîÿíèå ñèñòåìû
N
÷àñòèö îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé
ψ
(
r
1
, . . . ,
r
N
, t
)
.
2. Ïîñòóëàò ñóïåðïîçèöèè: åñëè ÷àñòèöà ìîæåò íàõîäèòü â ñîñòîÿíèÿõ, îïèñûâàå-
ìûõ âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè
ψ
1
è
ψ
2
, òî îíà ìîæåò íàõîäèòüñÿ è â ñîñòîÿíèè, îïèñûâàåìîì
âîëíîâîé ôóíêöèåé
C
1
ψ
1
+
C
2
ψ
2
, ãäå
C
1
, C
2
ïðîèçâîëüíûå îòëè÷íûå îò íóëÿ ïîñòîÿííûå.
Ìåæäó òåì, ìíîãèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íå òîëüêî êîîðäèíàò,
íî è èìïóëüñîâ; ïðè ýòîì îòûñêàòü ñðåäíåå çíà÷åíèå èìïóëüñà, èñïîëüçóÿ êâàäðàò âîë-
íîâîé ôóíêöèè â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, íåâîçìîæíî. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ïðî-
áëåìû ââåä¼ì âîëíîâóþ ôóíêöèþ èìïóëüñà
Φ(
p, t
)
(
|
Φ(
p
0
, t
0
)
|
2
dp
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
â ìîìåíò âðåìåíè
t
0
èìïóëüñ ÷àñòèöû ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò
p
0
äî
p
0
+
dp
). Î÷åâèäíî,
p
=
R
Φ
∗
p
Φ
dp
= (Φ
, p
Φ)
p
.
Ñîãëàñíî ãèïîòåçå äå-Áðîéëÿ âñÿêàÿ ÷àñòèöà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè âîëíû, äëèíà êî-
òîðîé ñîñòàâëÿåò
λ
=
2
π
~
p
;
ñîîòâåòñòâåííî
E
=
~
ω, p
=
~
k
. Ìîæíî çàäàòü âîëíîâóþ
ôóíêöèþ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû òàêæå êàê óðàâíåíèå âîëíû:
ψ
(
x, t
) =
Ae
i
(
kx
−
ωt
)
=
e
i
~
(
px
−
Et
)
(ïîñòîÿííàÿ
A
îáðàùàåòñÿ â åäèíèöó ñîãëàñíî óñëîâèþ íîðìèðîâêè êâàäðàòà ìîäóëÿ âîë-
íîâîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè). Ïîäîáíûé âûáîð
ψ
èìååò ïîä ñîáîé ôèçè÷åñêîå
îñíîâàíèå, ñâÿçàííîå ñ èíòåðïðåòàöèåé âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèö êàê îñîáûõ âîëí ìàòåðèè
(âîëí Äå-Áðîéëÿ), èíòåíñèâíîñòè (êâàäðàòû àìïëèòóä) êîòîðûõ îïðåäåëÿþò âåðîÿòíîñòü
íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè.
Ôóíêöèÿ
ψ
(
x, t
)
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå:
ψ
(
x, t
) =
1
√
2
π
~
·
Z
R
Φ(
p, t
)
·
e
i
~
px
dp,
Φ(
p, t
) =
1
√
2
π
~
·
Z
R
ψ
(
x, t
)
·
e
−
i
~
px
dx
(ïðè ïîäñòàíîâêå â ýòè èíòåãðàëû âîëíîâîé ôóíêöèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû åñòåñòâåííûì
îáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ ðàñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë, èíòåðïðåòèðóåìûé êàê
δ
-ôóíêöèÿ; ïîäðîáíåå
ñì. â 2.2).  äàííîì ñëó÷àå
Φ(
p, t
)
ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé èìïóëüñà, õîòÿ íåò íè
÷¼òêîãî îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ôàêòà, íè îáúÿñíåíèÿ èìåííî òàêîãî âûáîðà âîëíîâîé ôóíêöèè
4
ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.  ïðèíöèïå, âñå ðàññóæäåíèÿ, ïðåäøåñòâóþùèå òðåòüåìó ïîñòóëàòó,
ÿâëÿþòñÿ ñêîðåå èëëþñòðàöèåé âûáîðà
ˆ
p
, íåæåëè ñòðîãèì âûâîäîì.
Èòàê, Ôóðüå-îáðàçîì
ψ
(
x, t
)
ÿâëÿåòñÿ
Φ(
p, t
)
, à îáðàçîì
∂ ψ
∂ x
îêàçûâàåòñÿ
ip
~
·
Φ(
p, t
)
, íî,
ïî òåîðåìå Ïàðñåâàëÿ, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ôóíêöèé ðàâíî ñêàëÿðíîìó ïðîèçâå-
äåíèþ èõ Ôóðüå-îáðàçîâ, ïîýòîìó
p
= (Φ
, p
Φ)
p
= (
ψ,
~
i
·
∂
∂ x
ψ
)
x
. Àíàëîãè÷íî
x
= (
ψ, xψ
)
x
=
= (Φ
, i
~
·
∂
∂ p
Φ)
p
.
Òå æå îïåðàöèè ìîæíî ïðîâåñòè â òð¼õìåðíîì ñëó÷àå; ïîëó÷èì, ÷òî
p
= (
ψ,
~
i
∇
ψ
)
r
.
Òàêèì îáðàçîì, èìïóëüñó ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð
ˆ
p
=
~
i
∇
òàêîé, ÷òî
p
= (
ψ,
ˆ
p
ψ
)
. Â
îñíîâó êâàíòîâîé ìåõàíèêè çàëîæåíî ïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ïîäîáíàÿ ïðîöåäóðà ìîæåò
áûòü âûïîëíåíà äëÿ âñåõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.
3. Ïîñòóëàò î ñðåäíåì çíà÷åíèè: ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû
F
(
r
,
p
)
äëÿ ÷àñòèöû, ñîñòîÿíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé
ψ
(
r
, t
)
,
ìîæåò áûòü íàé-
äåíî êàê
F
=
(
ψ,
F
r
ψ
)
r
(
ψ, ψ
)
r
=
(Φ
,
F
p
Φ)
p
(Φ
,
Φ)
p
,
ãäå F
r
=
F
(
r
,
ˆ
p
)
,
F
p
=
F
(ˆ
r
,
p
)
,
ˆ
r
=
i
~
∂
∂
p
.
Çàìå÷àíèå: äàííîå óòâåðæäåíèå âåðíî íå òîëüêî äëÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, íî è äëÿ
âñåõ, ïóñòü íå îïðåäåëÿåìûõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ôóíêöèé
q
(
p
) èç
L
2
).
Çàìå÷àíèå: ýòîò ïîñòóëàò îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïåðàòîðû ôèçè-
÷åñêèõ âåëè÷èí ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâûìè. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà ïðè óñëîâèè íîðìè-
ðîâêè
ψF
= (
ψ,
F
ψ
) = (
F
ψ, ψ
)
∗
äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, ïîýòîìó
(
ψ,
F
ψ
) = (
F
ψ, ψ
)
,
òî åñòü îïåðàòîð F ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâûì.
Îïðåäåëåíèå: ýðìèòîâ îïåðàòîð ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ íàáëþäàåìîé.
Îñíîâíûå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ:
[ ˆ
q
i
,
ˆ
q
j
] = [ ˆ
p
i
,
ˆ
p
j
] = 0
. Íàéä¼ì
[ ˆ
q
i
,
ˆ
p
j
];
[ ˆ
q
i
,
ˆ
p
j
]
ψ
=
q
i
−
i
~
∂ ψ
∂ q
j
−
−
i
~
∂
∂ q
j
(
q
i
ψ
)
=
i
~
δ
ij
ψ
⇒
[ ˆ
q
i
,
ˆ
p
j
] =
i
~
δ
ij
.
Íàêîíåö, ñôîðìóëèðóåì åù¼ äâà ïîñòóëàòà, ñìûñë êîòîðûõ ñòàíåò ÿñåí â 2.2:
4. Ïîñòóëàò ïîëíîòû: ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé íàáëþäàåìîé ïîëíà (òî åñòü
ïîçâîëÿåò âûðàçèòü âñÿêóþ ôóíêöèþ) â ïðîñòðàíñòâå
L
2
, ðàñøèðåííîì íîðìèðîâêîé íà
δ
-ôóíêöèþ.
5. Ïîñòóëàò èçìåðåíèÿ: ðåçóëüòàòîì ñåðèè èçìåðåíèé çíà÷åíèé ôèçè÷åñêîé âåëè-
÷èíû
F
ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ñðåäíåå çíà÷åíèå êîòîðîãî ñòðåìèòñÿ ê
òåîðåòè÷åñêîìó, à êàæäîå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì îïåðàòî-
ðà F.
2.2. Èçìåðåíèå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.
Îïðåäåëåíèå: âåëè÷èíà
∆
F
2
= (
F
−
F
)
2
íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé ôèçè÷åñêîé âåëè÷è-
íû
F
.
∆
F
2
=
F
2
−
2
F F
+ (
F
)
2
,
∆
F
2
=
F
2
−
(
F
)
2
= (
ψ,
F
2
ψ
)
−
(
ψ,
F
ψ
)
2
= (
F
ψ,
F
ψ
)
−
|
(
ψ,
F
ψ
)
|
2
.
Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî
|
(
ψ,
F
ψ
)
| ≤
p
(
ψ, ψ
)(
F
ψ,
F
ψ
)
, ïðè-
÷¼ì íåðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî â ñëó÷àå F
ψ
=
λψ
. Òàêèì îáðàçîì, åñëè
ψ
ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ F, òî
∆
F
2
= 0
; ñòàòèñòè÷åñêèå ôëóêòóàöèè çíà÷åíèé ôèçè÷åñêîé
5