ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.12.2020
Просмотров: 111
Скачиваний: 1
Семинар 4. Матрица плотности
4.1
Общие определения
Переход от системы, состоящей из одного кубита, к системе, состоящей из двух кубитов,
содержит принципиальный шаг, приводящий к необходимости использования матрицы
плотности (или оператора плотности) для описания такой составной системы.
В соответствии с идеологией квантовой механики, свойства любой системы определяются
вектором состояния в Гильбертовом пространстве, при этом необходимо учесть все
взаимодействия, которым подвержена рассматриваемая ситема. В этом смысле требуется
построить вектор состояния всей Вселенной. Конечно, реальное описание систем
ограничивается и пространственными рамками и выделением только части взаимодействий,
существенных с физической точки зрения. Другими словами, из всей Вселенной
"вырезается"небольшая часть, которая и подвергается изучению. Соответственно большая
часть опускается в соответствии с определенными модельными допущениями. Однако
квантовая теория приводит в этом случае к ряду следствий, которые прямо противоположны
форумлировкам общей теории. Так при рассмотрении только части большой системы:
–
состояния подсистем не являются лучами в Гильбертовом пространстве;
–
измерения в подсистеме не являются ортогональным проектированием;
–
эволюция подсистемы не определяется унитарными преобразованиями.
Рассмотрим для примера две бесконечно удаленные (т.е невзаимодействующие) системы,
свойства которых задаются векторами состяний
|
A
i
и
|
B
i
. Состояние объединенной системы,
включающей как первую, так и вторую системы, хорошо определяется вектором состояния
|
Ψ
in
i
=
|
A
i ⊗ |
B
i
в объединенном Гильбертовом пространстве. Сведем рассматриваемые
системы воедино, в результате чего они получают возможность взаимодействовать друг с
другом. Взаимодействие приведет к эволюции начального состояния
|
Ψ
in
i
, в состояние
|
Ψ
i
,
зависящее от времени
|
Ψ
in
i
=
|
A
i ⊗ |
B
i −→ |
Ψ(
t
)
i
.
(4.1)
Эволюция
—
есть процесс преобразования линейными операторами вектора состояния
снова в вектор состояния (не совпадающий с исходным). Разведем системы на бесконечные
расстояния (т.е. прекратим их взаимодействие). Объединенная система будет определяться
вектором состояния, который обозначим
|
Ψ
out
i
|
Ψ
in
i
=
|
A
(
α
)
i ⊗ |
B
(
β
)
i −→ |
Ψ
out
(
α, β
)
i
.
(4.2)
Состояние
|
Ψ
out
i
–
зависит от переменных обоих подсистем. Учитывая, что набор
начальных состояний
|
A
n
i ⊗ |
B
n
i
в объединенном Гильбертовом пространстве полный,
состояние
|
Ψ
out
i
можно представить в виде:
|
Ψ
out
i
=
X
n,m
c
nm
(
α, β
)
|
A
n
(
α
)
i ⊗ |
B
m
(
β
)
i
.
(4.3)
30
В соответствии с принципом суперпозиции
|
c
nm
|
2
дает вероятность нахождения системы
A
в состоянии
|
A
n
i
и одновременно системы
B
в состоянии
|
B
m
i
после взаимодействия.
Другими словами, некоторое конкретное конечное состояние системы
A
, например,
|
A
k
i
,
коррелировано с конечными состояниями системы
B
. Это означает, что невозможно записать
конечное состояние в виде прямого произведения состояний системы
|
A
i
и
|
B
i
,
|
Ψ
out
i 6
=
|
A
i ⊗ |
B
i
, которые завесили бы только от переменных каждой системы.
Таким образом, формулируется утверждение, которое иногда называют
принципом
несепарабельности
:
- если две системы взаимодействовали в прошлом, то в общем случае невозможно
приписать один вектор состояния любой из двух подсистем
.
Пусть, например, лишь одна система из двух (например,
A
) подвергается процессу
измерения после взаимодействия. В результате система
A
будет обнаружена в состоянии,
которое не является
чистым
состоянием. В этом случае говорят о
смешанных
состояниях.
Можно сказать, что тот факт, что система
B
не подвергается процессу измерения, приводит к
потере когерентности в системе
A
.
Рассмотрим систему из 2-х кубитов
A
и
B
, находящихся в некотором квантовом
состоянии. Ортонормированный базис для кубитов
A
и
B
обозначим, соответственно
{|
0
i
A
,
|
1
i
A
}
и
{|
0
i
B
,
|
1
i
B
}
. При этом над кубитом
A
производятся измерения, а кубит
B
–
недоступен. Необходимо сформулировать принципы, которые позволят характеризовать
результаты наблюдения кубита
A
.
Пусть, для примера, имеется двух-кубитовое состояние вида:
|
Ψ
i
AB
=
a
|
0
i
A
⊗ |
0
i
B
+
b
|
1
i
A
⊗ |
1
i
B
.
(4.4)
Это означает, что кубиты были подвержены некторому воздействию, приведшему к
образованию состояния (4.4) и следовательно они скоррелированы. Так, если спроектировать
состояние (4.4) на базис кубита
A
, то с вероятностью
|
a
|
2
будет получен результат
|
0
i
A
и
измерение приготовит состояние
|
0
i
A
⊗ |
0
i
B
из (4.4), а с вероятностью
|
b
|
2
будет получен
результат
|
1
i
A
с редукцией (4.4) в состояние
|
1
i
A
⊗ |
1
i
B
.
Существенно, что если далее проводить измерения кубита
B
, то гарантировано с
вероятностью равной единице, было бы обнаружено состояние
|
0
i
B
, если превоначально
обнаруженое состояние
|
0
i
A
и, соответственно,
|
1
i
B
, если при измерении кубита
A
был
получен результат
|
1
i
B
.
В общем случае, действие самосопряженного оператора
ˆ
F
только не кубит
A
в
состоянии (4.4) определяется оператором
ˆ
F
A
⊗
ˆ
I
B
, где
ˆ
I
B
–
единичный оператор, действующий
на кубит
B
. Среднее значение наблюдаемой
ˆ
F
в состоянии (4.4) есть:
F
=
AB
Ψ
ˆ
F
A
⊗
ˆ
I
B
Ψ
AB
=
|
a
|
2
0
F
0
A
+
|
b
|
2
1
F
1
A
.
(4.5)
Как видно это выражение отличается от вычисления среднего значения в чистом
квантовом состоянии
i
F
i
. Выражение (4.5) переписывают следующим образом:
F
A
=
Sp
( ˆ
F
A
·
ˆ
%
A
)
,
(4.6)
где оператор
%
A
определен соотношением
%
A
=
|
a
|
2
|
0
i h
0
|
A
+
|
b
|
2
|
1
i h
1
|
A
,
(4.7)
31
и называется оператором плотности для кубита. Из определения (4.7) ясно, что оператор
%
обладает следующими свойствами:
–
оператор
%
–
самосопряженный,
–
собственные числа оператора
%
неотрицательны,
–
Sp %
= 1
, так как
|
Ψ
i
–
нормировано.
Введенный способ описания части системы существенно отличается от описания
когерентной суперпозиции состояний
|
0
i
и
|
1
i
для изолированного кубита и опирается на
понятие ансамбля состояний.
Чтобы лучше понять суть разницы между чистыми и смешанными состояниями напомним
результаты эксперимента Штерна-Герлаха для частиц со спином
1
/
2
.
Рассмотрим пучок частиц со спином
1
/
2
, проходящих через неоднородное магнитное
поле, градиент которого направлен вдоль оси
z
. В общем случае пучок расщепляется на
два, каждый из которых соответствует одному из возможных состояний спина
|
0
i
или
|
1
i
. Если один из пучков удалить, то оставшиеся частицы будут находиться в состоянии,
соответствующем лишь одному состоянию (рис. 4.1.)
рис.4.1.
Если падающий пучок содержит
только частицы состояния
|
0
i
, то он
пройдет сквозь установку (рис. 4.1.)
без
потери
интенсивности.
Если
ось установки наклонить (изменить
направление
градиента
поля),
то
только часть пучка пройдет фильтр
и
прошедший
пучок
будет
менее
интенсивный, чем падающий.
Если падающий пучок содержит
спины ориентированные вдоль другой
оси
z
0
, то путем поворота установки
можно
найти
такую
ориентацию
магнита, при которой пропускается
весь пучок.
Если
в
опыте
Штерна-Герлаха
можно
найти
такую
ориентацию
установки, при которой данный пучок полностью пропускается, то говорят о
чистом
спиновом состоянии
пучка.
В чистом состоянии совместное состояние всех частиц
представляется с помощью одного вектора состояния
. Представленный на рис. 4.1
фильтр можно рассматривать как способ приготовления пучка частиц в чистом состоянии.
Чистые спиновые состояния не являются наиболее общими состояниями, в которых
может находиться ансамбль частиц. Пусть два пучка частиц независимо приготовлены в
чистых состояниях
|
0
i
и
|
1
i
, соответственно. Пусть пучок частиц с состоянием
|
0
i
состоит
из
n
1
частиц, а с состоянием
|
1
i
–
из
n
2
частиц. Направим объединенный пучок на фильтр
Штерна-Герлаха, у которого будем менять направление градиента поля. Опыт показывает,
что невозможно найти ориентацию фильтра, при которой через него проходит весь пучок
32
полностью. Таким образом, объединенный пучок, по определению, не является чистым
спиновым состоянием. Такие состояния называются
смешанными состояниями
.
Смешанное состояние невозможно описать с помощью одного вектора состояний, так как
в противном случае нашлось бы направление фильтра, при котором весь пучок преодолеет его
без ослабления.
Смешанное состояние нельзя представить и в виде линейной суперпозиции состояний
a
|
0
i
+
b
|
1
i
. Для построения такой суперпозиции необходимо знать модули коэффициентов
a
и
b
и их относительную фазу. Квадраты модулей коэффициентов в этом случае известны
|
a
|
2
=
n
1
/n
;
|
b
|
2
=
n
2
/n
;
n
=
n
1
+
n
2
. Однако, так как оба пучка приготовлены независимо,
между ними не существует определенного фазового соотношения, а без значения фазы нельзя
построить суперпозицию состояний.
Существенное отличие чистых и смешанных состояний можно продемонстрировать и на
ранее приведенном примере, в котором показано, что при измерении
σ
x
в однокубитовом
состоянии
(
|↑
z
i
+
|↓
z
i
)
/
√
2
с вероятностью равной единице следует результат
|↑
x
i
. А так
как ансамбль спинов, в котором состояния
|↑
z
i
и
|↓
z
i
присутствуют равновероятно с
вероятностью
1
/
2
представляется оператором матрицы плотности вида (см. (4.7)):
%
=
1
2
|↑
z
i h↑
z
|
+
1
2
|↓
z
i h↓
z
|
=
1
2
,
(4.8)
проекция на состояние
|↑
x
i
, в этом случае есть
|↑
x
i h↑
x
|
=
Sp
(
|↑
x
i h↑
x
|
%
) =
1
2
.
(4.9)
Что отличается от чистого состояния, в котором такая вероятность равна
1
.
Обсуждение коррелированного двух-кубитового состояния
|
Ψ
i
AB
(4.4) тривиально
обобщается на произвольное состояние любой системы, состоящей из двух подсистем
A
и
B
. Гильбертово пространство объединенных
A
и
B
состояний есть
H
A
⊗
H
B
, где
H
k
–
Гильбертовы пространства частей
A
и
B
, соответственно, с ортонормированными базисами
|
n
i
A
и
|
m
i
B
. Таким образом, произвольное нормированное чистое состояние в пространстве
H
A
⊗
H
B
может быть представлено в виде:
|
Ψ
i
AB
=
X
n,m
a
nm
|
n
i
A
⊗ |
m
i
B
,
(4.10)
Ψ
Ψ
AB
=
X
n,m
|
a
nm
|
2
= 1
.
(4.11)
Среднее значение наблюбдаемой
ˆ
F
A
⊗
ˆ
I
B
, оператор которой действует только на
подсистему
A
определяется равенством:
ˆ
F
A
=
Ψ
ˆ
F
A
⊗
ˆ
I
B
Ψ
AB
=
X
k,n,m
a
∗
km
a
nm
k
ˆ
F
n
A
=
Sp
( ˆ
F
A
ˆ
%
A
)
,
(4.12)
где
ˆ
%
A
≡
Sp
B
(
|
Ψ
i
AB AB
h
Ψ
|
) =
X
n,m,k
a
nm
a
∗
km
|
n
i
A
h
k
|
A
.
(4.13)
33
Говорят, что оператор матрицы плотности подсистемы
A
получается путем вычисления
Sp
по подсистеме
B
.
На основании (4.13) можно установить, что оператор матрицы плотности подсистемы
удовлетворяет следующим свойствам:
а.
%
A
–
самосопряженный оператор
%
A
=
%
†
A
, что следует непосредственно из
определения (4.13)
б.
%
–
положительно определенный оператор
, т.е. собственные числа неотрицательны.
Это утверждение следует из определения среднего значения
ˆ
%
A
в произвольном
состоянии
|
`
i
`
ˆ
%
A
`
=
X
n,m,k
a
nm
a
∗
km
`
n
k
`
=
X
m
|
a
`m
|
2
>
0
в.
Sp
ˆ
%
A
= 1
Данное утверждение следует из условия нормировки состояния
|
Ψ
i
AB
Таким образом, если даже состояние целой системы является лучом в Гильбертовом
пространстве, то состояние подсистемы в общем случае не является лучом в Гильбертовом
пространстве, а является смесью состояний. В частном случае состояние подсистемы может
оказаться лучом и в этом случае является чистым состоянием. Если состояние подсистемы
является чистым состоянием
|
Ψ
i
A
, тогда оператор матрицы плотности
ˆ
%
A
=
|
Ψ
i
A A
h
Ψ
|
является оператором проектирования. Матрица плотности чистого состояния является
идемпотентным оператором
ˆ
%
2
=
%
.
Так как оператор
ˆ
%
A
подсистемы самосопряженный, то он может быть приведен к
диагональному виду:
ˆ
%
A
=
X
n
p
n
|
n
i h
n
|
,
(4.14)
где
0
< p
n
6
1
и
P
n
p
n
= 1
.
В общем случае (в смешанном состоянии)
ˆ
%
2
A
6
=
%
A
и
Sp
ˆ
%
2
A
=
X
n
p
2
n
<
X
n
p
n
= 1
.
(4.15)
Принято говорить, что
ˆ
%
A
–
есть некогерентная суперпозиция состояний
|
n
i
, при этом
некогерентность означает, что относительные фазы набора состояний
|
n
i
экспериментально
неизвестны.
В базисе состояний, в котором
ˆ
%
A
диагональна, среднее значение любой наблюдаемой
ˆ
F
может быть определено соотношением:
ˆ
F
=
Sp
ˆ
F
·
ˆ
%
=
X
n
p
n
n
ˆ
F
n
(4.16)
Таким образом, как и прежде можно интерпретировать оператор
ˆ
%
, как описание ансамбля
чистых квантовых состояний, в которых состояние
|
n
i
присутствует с вероятностью
p
n
.
В общем случае, состояния
A
и
B
подсистем целой системы коррелированы или, еще
говорят, являются
запутанными
(entangled) состояниями.
34