Файл: Chapter1.pdf

26

ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ) îò 0 äî 9. Ñëîæåíèå ÷èñåë ïðîèçâîäèòñÿ ïóòåì

ïîðàçðÿäíîãî äîáàâëåíèÿ êàìåøêîâ, ïðè ïåðåïîëíåíèè îòäåëåíèÿ

îíî î÷èùàåòñÿ è äåëàåòñÿ ïåðåíîñ åäèíèöû â ñëåäóþùèé ðàçðÿä.

Âîò è âñå — ïðîñòî è áûñòðî. Åäèíñòâåííîå íåóäîáñòâî — êàìåø-

êè ëåãêî ðàññûïàþòñÿ è ìîãóò ïîòåðÿòüñÿ ïðè

ïåðåíîñêå.

Àðàáñêèå êóïöû ðàçíåñëè àáàê ïî âñåìó

ìèðó. Ïðàêòè÷íûå êèòàéöû íàíèçàëè êàìåø-

êè íà ñïèöû, âñòàâèëè èõ â äåðåâÿííóþ ðàìó

è ïîâåðíóëè âñå íà 90 ãðàäóñîâ. Â òàêîì âèäå

àáàê â XVI âåêå ïîïàë â Ðîññèþ è ñòàë íàçû-

âàòüñÿ ðóññêèìè ñ÷åòàìè. Ïðîøëî áîëåå 400

ëåò, à ñ÷åòû íà Ðóñè è íûíå â õîäó. Íåêîòî-

ðûå ïðîäàâöû è îôèöèàíòû ëþáÿò èõ áîëü-

øå, ÷åì ýëåêòðîííûå êàëüêóëÿòîðû, ìîæåò

áûòü, ïîòîìó, ÷òî ñî ñ÷åòàìè ëåã÷å «îøèáèòü-

ñÿ» â ñòîèìîñòè ïîêóïêè (â ñâîþ, ðàçóìååò-

ñÿ, ïîëüçó).

1.3. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ëèíåéêà

è åå ïîòîìêè — àíàëîãîâûå

âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû

Åñëè ñïðîñèòü ìîëîäîãî ÷åëîâåêà, æèâóùåãî â êîíöå XX âåêà,

÷òî îí äóìàåò î íàóêå è òåõíèêå XVII âåêà, îí, ñêîðåå âñåãî, âûñî-

êîìåðíî âûñêàæåòñÿ î «ïåðâîáûòíîì è ïðèìèòèâíîì» óðîâíå ðàç-

âèòèÿ. È áóäåò àáñîëþòíî íåïðàâ, òàê êàê XVII âåê — îäíà èç

âûñî÷àéøèõ âåðøèí ÷åëîâå÷åñêîãî ãåíèÿ. Øåêñïèð è Áàõ, Íüþòîí

è Ïàñêàëü, Ëåéáíèö è Äåêàðò — âñå ýòî XVII âåê.  ýòîì âåêå áûëè

ñäåëàíû âåëèêèå ãåîãðàôè÷åñêèå îòêðûòèÿ, çàëîæåíû îñíîâû ñî-

âðåìåííîé ôèçèêè è ìàòåìàòèêè, ñîîðóæåíû ãðàíäèîçíûå çäàíèÿ

âðîäå ñîáîðà ñâ. Ïàâëà â Ëîíäîíå, èçîáðåòåíû òåëåñêîï, ìèêðî-

ñêîï, òåðìîìåòð, áàðîìåòð, ïðèäóìàíû ëîãàðèôìû è ïîñòðîåíû

Ðóññêèå ñ÷åòû

27

ïåðâûå ìåõàíè÷åñêèå âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû.

 ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîãîâîðèì î ëîãàðèôìè÷åñêîé ëèíåéêå,

êîòîðàÿ ïîÿâèëàñü â ïåðâîé òðåòè XVII âåêà, âñêîðå ïîñëå òîãî, êàê

â 1614 ãîäó øîòëàíäñêèé áàðîí Äæîí Íåïåð (Nepier, John; 1550-

1617) îïóáëèêîâàë ñâîþ ïåðâóþ êíèãó «Magnifici logarithmorum

cannonis discriptio». ß íàäåþñü, ÷èòàòåëü åùå ïðåäñòàâëÿåò ñåáå ëî-

ãàðèôìè÷åñêóþ ëèíåéêó, êîòîðàÿ áîëåå òðåõ  âåêîâ âåðîé è ïðàâ-

äîé ñëóæèëà áåñ÷èñëåííûì ïîêîëåíèÿì ó÷åíûõ è èíæåíåðîâ,

ñòóäåíòîâ è øêîëüíèêîâ. Äàæå êîãäà ïîÿâèëèñü ýëåêòðîííûå êàëü-

êóëÿòîðû, ìíîãèå èíæåíåðû ïðåäïî÷èòàëè ïîëüçîâàòüñÿ èñïûòàí-

íûì è íàäåæíûì ïîìîùíèêî젗 ëèíåéêîé. Ðàññêàçûâàþò, ÷òî àâòîð

ïðîåêòà îñòàíêèíñêîé òåëåáàøíè èíæåíåð Í.Â.Íèêèòèí (êñòàòè,

âûïóñêíèê Òîìñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà) âñå ðàñ÷åòû ñäå-

ëàë íà ëîãàðèôìè÷åñêîé ëèíåéêå. Êîãäà îá ýòîì óçíàëè ðóêîâîäÿ-

ùèå òîâàðèùè (äåëî áûëî â 1960-å ãîäû), îíè âñïîëîøèëèñü, ðàáîòó

îñòàíîâèëè, è çàñòàâèëè ïåðå-

ïðîâåðèòü âû÷èñëåíèÿ íà êîì-

ïüþòåðàõ. Íî âñå îêàçàëîñü â

ïîðÿäêå,— è áàøíÿ, êàê âèäèì,

ñòîèò äî ñèõ ïîð.

Ïðèíöèï äåéñòâèÿ ëîãà-

ðèôìè÷åñêîé ëèíåéêè îñíîâàí

íà îñíîâíîì ïðàâèëå ëîãàðèô-

ìîâ:

log(a•b) = log(a) + log(b),

÷òî ïîçâîëÿåò çàìåíèòü îïåðà-

1

2 3 4 5 6

1

2 3 4 5 6

a

b

a • b

Ïðèíöèï äåéñòâèÿ

ëîãàðèôìè÷åñêîé ëèíåéêè

a=2, b=3, a•b=6

Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ëèíåéêà

28

öèþ óìíîæåíèÿ ñëîæåíèåì, à îïåðàöèþ äåëåíèÿ — âû÷èòàíèåì.

Ñàìî æå ñëîæåíèå (âû÷èòàíèå) ïðîèçâîäèòñÿ ïóòåì ïðîñòîãî ïðå-

ìåùåíèÿ äâóõ ðååê ñ íàíåñåííûìè íà íèõ îäèíàêîâûìè ëîãàðèô-

ìè÷åñêèìè øêàëàìè

Íàñ, îäíàêî, áóäóò èíòåðåñîâàòü ñåé÷àñ íå êîíêðåòíûå ïðèåìû

ðàáîòû ñ ëîãàðèôìè÷åñêîé ëèíåéêîé, à áîëåå îáùèé âîïðîñ î âçà-

èìîîòíîøåíèè äèñêðåòíîãî è íåïðåðâíîãî â âû÷èñëèòåëüíîé òåõ-

íèêå.

Íà àáàêå èëè ñ÷åòàõ ÷èñëî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â öèôðîâîé, ò.å. â

ñèìâîëè÷åñêîé,"çíàêîâîé ôîðìå, è ýòî ïðåäñòàâëåíèå ñîâåðøåííî

òî÷íîå.  Åñëè 375 òàê 375, íå áîëüøå è íå ìåíüøå. Êàæäûé ðàçðÿä

÷èñëà èçîáðàæàåòñÿ öåëûì ÷èñëîì êàìåøêîâ, íåëüçÿ ïîëîæèòü 3 ñ

ïîëîâèíîé èëè 5 è 6 äåñÿòûõ êàìíÿ. Äàæå åñëè ÷èñëî íå öåëîå, òî

òî÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó äåñÿòè÷íàÿ äðîáü ñ

ôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé. Ïîýòîìó àáàê ÿâëÿ-

åòñÿ ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì öèôðîâîé èëè, áîëåå òî÷íî, äèñêðåò-

íîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû (òàê êàê ïðåäñòàâëÿòüñÿ ìîãóò íå

òîëüêî ÷èñëà, íî è äðóãèå äèñêðåòíûå îáúåêòû).

 ïðîòèâîïîëîæíîñòü àáàêó, íà ëîãàðèôìè÷åñêîé ëèíåéêå ïðåä-

ñòàâëÿåòñÿ íå öèôðîâàÿ çàïèñü ÷èñëà, à íåêîòîðûé åãî ôèçè÷åñêèé

àíàëîã. Ïåðâîìó ñîìíîæèòåëþ ñîîòâåòñòâóåò ïåðåìåùåíèå äâèæêà

îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé øêàëû, âòîðîìó — ïåðåìåùåíèå âèçè-

ðà áåãóíêà îòíîñèòåëüíî øêàëû äâèæêà, ðåçóëüòàòó — ïåðåìåùå-

íèå áåãóíêà îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé øêàëû. Àíàëîãè ÿâëÿþòñÿ

íåïðåðûâíûìè ôèçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè, ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå

âñåãäà íå òî÷íîå, à ïðèáëèæåííîå, òàê êàê íåâîçìîæíî òî÷íî âûñ-

òàâèòü äâèæîê íà öèôðó, ñêàæåì, 2 — áóäåò èëè ìåíüøå èëè áîëü-

øå.— äà è ñàìè øêàëû èìåþò íåêîòîðóþ ïîãðåøíîñòü. Òàêèì

îáðàçîì, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ëèíåéêà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ïðèìå-

ðîì àíàëîãîâîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû.

Öèôðîâûå (äèñêðåòíûå) è àíàëîãîâûå âû÷èñëåíèÿ — ýòî äâå

ïîñòîÿííî ñîñóùåñòâóþùèå è êîíêóðèðóþùèå âåòâè ìàòåìàòèêè.

Ìàòåìàòèêà äðåâíåãî ìèðà áûëà â ïîäàâëÿþùåé ñòåïåíè ñâÿçàíà ñ

àíàëîãîâûìè (ãåîìåòðè÷åñêèìè) ïîñòðîåíèÿìè. Ñòðîãî ãîâîðÿ, öèð-

êóëü è ëèíåéêà — ýòî òîæå äðåâíåéøàÿ àíàëîãîâàÿ âû÷èñëèòåëü-

29

íàÿ ìàøèíà.

Ñ èçîáðåòåíèåì ñèìâî-

ëè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ àðèô-

ìåòèêè ðîëü àíàëîãîâûõ

âû÷èñëåíèé ñòàëà îñëàáå-

âàòü, òàê êàê öèôðîâûå ìå-

òîäû ñïîñîáíû îáåñïå÷èòü

áîëåå âûñîêóþ òî÷íîñòü

âû÷èñëåíèé. Îáû÷íàÿ ëî-

ãàðèôìè÷åñêàÿ ëèíåéêà,

íàïðèìåð, äàåò ðåçóëüòàò ñ

òî÷íîñòüþ äî 1 — 0.1 %

(2—3 çíàêîâ ïîñëå çàïÿ-

òîé), ïðè÷åì îøèáêà áûñò-

ðî íàêàïëèâàåòñÿ ñ

óâåëè÷åíèåì ñëîæíîñòè

âû÷èñëåíèé. Äëÿ àñòðîíîìèè èëè ãåîãðàôèè, íàïðèìåð, òàêàÿ òî÷-

íîñòü ñîâåðøåííî íåäîñòàòî÷íà, ïîýòîìó, íà÷èíàÿ ñ XVII âåêà, êîí-

ñòðóêòîðñêàÿ ìûñëü áûëà íàïðàâëåíà â îñíîâíîì íà ñîçäàíèå è

ðàçâèòèå öèôðîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, è ÷òî èç ýòîãî ïîëó-

÷èëîñü — ìû óâèäèì äàëüøå.

Îäíàêî íå âñåãäà è íå âåçäå íóæíà àñòðîíîìè÷åñêàÿ òî÷íîñòü,

ïîýòîìó, ïàðàëëåëüíî ñ öèôðîâîé, ðàçâèâàëàñü è àíàëîãîâàÿ âû-

÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà.  XIX è XX âåêàõ äëÿ àíàëîãîâûõ âû÷èñëå-

íèé èñïîëüçîâàëèñü ñàìûå ðàçëè÷íûå ôèçè÷åñêèå ïðîöåñññû:

ìåõàíè÷åñêèå

1

, ãèäðàâëè÷åñêèå, ïîñëå èçîáðåòåíèÿ ðàäèîëàìï è

òðàíçèñòîðî⠗ ýëåêòðîííûå. Åùå â 1960-õ ãîäàõ ïîïóëÿðíîñòü àíà-

1

 1930 ã. ïðîôåññîð Ìàññà÷óñåòñêîãî òåõíîëîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà (ÌÒÈ) Âàííå-

âàð Áóø  (Boosh, Vannevar; 1890-1974) ïîñòðîèë «äèôôåðåíöèàëüíûé àíàëèçàòîð»

—  áîëüøóþ ìåõàíè÷åñêóþ àíàëîãîâóþ ìàøèíó, ñïîñîáíóþ ðåøàòü ñëîæíûå äèô-

ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Îí ïðåäñòàâëÿë ñîáîé ñëîæíåéøóþ ñèñòåìó ðååê, øåñ-

òåðåíîê, âàëèêîâ ðàçìåðîì ñ öåëóþ êîìíàòó. Îáÿçàííîñòè îïåðàòîðà íà ýòîé ìàøèíå

âûïîëíÿë ìîëîäîé àñïèðàíò Êëîä Øåííîí  (Shannon, Claude; ð. 1916 ) — áóäóùèé

àâòîð òåîðèè èíôîðìàöèè. Ñ òåõ ïîð ÌÒÈ ñòàë êðóïíåéøèì öåíòðîì èññëåäîâàíèé â

îáëàñòè âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è èíôîðìàòèêè.

Áîëüøàÿ àíàëîãîâàÿ

âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà

(1960-å ãîäû).

30

ëîãîâûõ ýëåêòðîííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí áûëà ñðàâíèìà ñ öèô-

ðîâûìè, èõ èçó÷åíèå áûëî îáÿçàòåëüíûì íà âñåõ òåõíè÷åñêèõ ôà-

êóëüòåòàõ. Ýòî îáúÿñíÿëîñü ìíîãèìè ôàêòîðàìè:

• àíàëîãîâûå ìàøèíû â òî âðåìÿ áûëè íàìíîãî ïðîùå, ìåíüøå

ïî ðàçìåðàì è äåøåâëå öèôðîâûõ;

• íà àíàëîãîâûõ ìàøèíàõ î÷åíü ëåêãî âûïîëíÿëèñü òðóäîåìêèå

îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèé,

ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âûñîêèõ ïîðÿäêîâ;

• ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèé ïîëó÷àëñÿ íåìåäëåííî ïîñëå ââîäà

èñõîäíûõ äàííûõ, ïðè÷åì ýòîò ðåçóëüòàò ïîëó÷àëñÿ ñðàçó â âèäå

ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû è ìîã áûòü íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàí

äëÿ îòîáðàæåíèÿ íà ýêðàíå îñöèëëîãðàôà (ãðàôè÷åñêèõ äèñïëååâ

íå áûëî åùå è â ïîìèíå).
 ñèëó óêàçàííûõ ïðè÷èí àíàëîãîâûå âû÷èñëèòåëüíûå ìàøè-

íû øèðîêî èñïîëüçîâàëèñü â ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ ñàìîëåòàìè, ðà-

êåòàìè, ïðîèçâîäñòâåííûìè ïðîöåññàìè.

Îäíàêî ïîñëå èçîáðåòåíèÿ ìèêðîïðîöåññîðîâ (1970-å ãîäû),

êîãäà öèôðîâûå ÝÂÌ ðåçêî óìåíüøèëèñü â ãàáàðèòàõ è ïîäåøåâå-

ëè, àíàëîãîâûå ÝÂÌ ñèëüíî ñäàëè â êîíêóðåíòíîé áîðüáå ñ íèìè.

Ñòàëî ïðîùå ïåðåâåñòè àíàëîãîâûé ñèãíàë â öèôðîâóþ ôîðìó,

âûïîëíèòü òðåáóåìûå âû÷èñëåíèÿ, à íà âûõîäå îáðàòíî ïðåîáðàçî-

âàòü ðåçóëüòàò â ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó. Ïî òàêîìó ïóòè ïîøëè çâó-

êîçàïèñü, è òåëåâèäåíèå — îá ýòîì ìû òàêæå ïîãîâîðèì ïîçæå.

Çíà÷èò ëè ýòî, ÷òî àíàëîãîâûå âû÷èñëåíèÿ âûòåñíåíû íàâñåã-

äà? ß ãëóáîêî óáåæäåí, ÷òî íåò, è â ýòîì îäíî èç ïðîÿâëåíèé öèê-

ëè÷íîñòè òåõíè÷åñêîãî ïðîãðåññà. Äåëî â òîì, ÷òî íåêîòîðûå

îáúåêòû, íàïðèìåð, ãðàôè÷åñêèå îáðàçû, ÿâëÿþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî

òðóäíûìè äëÿ ñèìâîëüíîé îáðàáîòêè. Äàæå ñàìûå ìîùíûå öèôðî-

âûå ïðîöåññîðû, âîîðóæåííûå íàèñîâðåìåííåéøèìè àëãîðèòìàìè,

ïàñóþò ïåðåä ðàñïîçíàâàíèåì ðóêîïèñíîãî òåêñòà, à ìàëîãðàìîò-

íûé ÷åëîâåê ëåãêî ðåøàåò ýòó çàäà÷ó. Ïî÷åìó? Óñòàíîâëåíî, ÷òî â

÷åëîâå÷åñêîì ìîçãó îäíî ïîëóøàðèå (ëåâîå) ïîäîáíî öèôðîâîé

âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíå îïåðèðóåò ñî çíàêàìè è àáñòðàêòíûìè