Момент импульса

При сравнении законов поступательного и вращательного движений видна аналогия между ними. Во вращательном движении аналогом силы становится ее момент, аналог массы - момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Это момент импульса тела относительно оси. 

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: 

 

где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv - импульс материальной точки (рис. 1); L - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р.

Рис.1

Модуль вектора момента импульса 

 

где α - угол между векторами r и р, l - плечо вектора р относительно точки О. 

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z. 

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса r_iсо скоростью v_i . Скорость v_i и импульс m_iv_i перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора m_iv_i . Значит, мы можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен 

(1) 

и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. 

Монет импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: 

 

Используя формулу v_i = ωr_i, получим 

 

т. е.  2) 

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен моменту инерции тела относительно той же оси, умноженному на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (2) по времени: 

 

т. е. 

 

Эта формула - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. 

Можно показать, что имеет место векторное равенство 

(3) 

В замкнутой системе момент внешних сил  и  откуда 

 (4) 

Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. 

Закон сохранения момента импульса также как и закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он связан со свойством симметрии пространства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол). 

Здесь мы продемонстрируем закон сохранения момента импульса с помощью скамьи Жуковского. Человек, сидящий на скамье, вращающаяся вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели (рис. 2), вращается внешним механизмом с угловой скоростью ω₁. Если человек прижмет гантели к телу, то момент инерции системы уменьшится. Но момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω₂ увеличивается. Аналогичным образом, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, с целью уменьшить свой момент инерции и тем самым увеличить угловую скорость вращения. 

---

Рис.2

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (см таблицы ниже).

---

Смотрите также файлы

• Документ Microsoft Word.doc

• Закон сохранения энергии.doc

• Кинетическая энергия вращения.doc

• Деформация твердого тела.doc

• сила трения.doc