Закон сохранения импульса. Центр масс

Выводя закон сохранения импульса, введем следующие понятия. Множество материальных точек (или тел), рассматриваемых нами как единое целое, называется механической системой. Внутренние силы - силы взаимодействия между материальными точками механической системы. Внешние тела действуют на материальные точки системы с некоторыми внешними силами. Механическая система тел, называется замкнутой (или изолированной), если сумма всех действующих на нее внешних сил равна нулю. В механической системе, состоящей из нескольких тел, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположнs по направлению, значит векторная сумма внутренних сил равна нулю. 

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, с массами m₁, m₂, ... , m_n и скоростями v₁, v₂, ... , v_n. Пусть F₁^', F₂^', ... , F_n^' - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из n тел, a F₁^', F₂^', ... , F_n^' - равнодействующие внешних сил. Применим второй закон Ньютона для каждого из n тел рассматриваемой механической системы: 

 
 
... 
 

так как векторная сумма внутренних сил механической системы равна нулю по третьему закону Ньютона, то 

 

или 

 (1) 

где  - импульс механической системы. Значит, производная по времени от импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему. 

В случае замкнутой системы: 

 

т.е. 

(2) 

Выражение (2) есть закон сохранения имаульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. 

Эксперименты доказывают, что закон сохранения импульса выполняется и для замкнутых систем микрочастиц, несмотря на то, что они подчиняются законам квантовой механики, т.е. этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импульса - фундаментальный закон природы. 

В механике Галилея-Ньютона масса тела не зависит от его скорости, поэтому импульс системы может быть выражен через скорость еецентра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется некоторая точка С, положение которой характеризует распределение массы системы. Ее радиус-вектор 

 

где m_i и r_i - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n - число материальных точек в системе;  - масса системы. Скорость центра масс 

 

Учитывая, что p_i = m_iv_i , a есть импульс р системы, можно написать 

(3) 

т. е. импульс системы равен массе системы, умноженную на скорость ее центра масс. 

Подставив выражение (3) в уравнение (1), получим 

(4) 

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная векторной сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (4) и есть закон движения центра масс. 

В соответствии с (3) из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным.

---

Смотрите также файлы

• Кинетическая и потенциальная энергия.doc

• Работа в поле тяготения. Потенциал в поле тяготения.doc

• Момент инерции.doc

• Момент импульса закон его сохранения.doc

• Документ Microsoft Word.doc