Момент инерции

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: 

 

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу 

 

где интегрирование производится по всему объему тела. При этом величина r в есть функция положения точки с координатами х, у, z. В качестве примера будем искать момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (рис. 1). 

Рис.1

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+dr. Момент инерции отдельного полого цилиндра dJ=r²dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm - масса всего элементарного цилиндра; его объем 2πrhdr. Если ρ-плотность материала, то dm=2πrhρdr и dJ=2πhρr³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра 

 

но так как πR2h - объем цилиндра, то его масса m=πR2hρ, а момент инерции 

 

Если мы знаем момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то мы можем найти и момент инерции относительно любой другой параллельной этой оси, который можно найти с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями: 

 

Приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, m - масса тела).

Табл.1

---

Смотрите также файлы

• Момент импульса закон его сохранения.doc

• Документ Microsoft Word.doc

• Закон сохранения энергии.doc

• Кинетическая энергия вращения.doc

• Деформация твердого тела.doc