Файл: Вариационный анализ на примере группы компаний Токарнофрезерный центр.docx

Контрольная работа на тему:

Вариационный анализ на примере группы компаний «Токарно-фрезерный центр»

Содержание

1. Исходные данные анализа

Объект исследования – группа компаний «Токарно-фрезерный центр», деятельностью которого является изготовление деталей, механическая обработка, гибка металла, сварочные работы, обработка металла давлением, литье металла, резка металла, термообработка металла, 3d печать.

Исходные данные представлены в таблице 1, на основе которых выполним вариационный анализ.

Общие сведения: в таблице 1 приведены данные результата контроля диаметров валов, изготовленных на токарном полуавтомате. В ходе выполнения задания выполним вариационный анализ, дадим его интерпретацию.

Таблица 1 – Исходные данные результата контроля диаметров валов

Номер вала	Диаметр, мм
1-10	105,25	104,92	105,47	105,86	105,86	106,09	104,51	105,31	105,82	104,96
11-20	105,14	104,73	104,69	105,02	105,08	104,57	105,19	105,25	105,41	105,25
21-30	105,25	105,25	105,92	105,37	105,31	105,19	106,15	105,76	106,31	105,14
31-40	106,05	104,73	105,6	105,76	106,15	105,37	105,19	105,64	105,25	105,7
41-50	104,8	105,08	104,8	105,25	105,37	105,41	105,25	106,27	104,69	105,08
51-60	104,35	105,99	104,92	105,14	105,7	105,6	105,76	105,64	104,86	104,96
61-70	105,64	105,53	105,02	105,31	105,41	105,6	105,41	105,02	106,15	105,6
71-80	105,7	105,76	105,14	105,02	105,82	104,92	104,8	105,64	105,64	106,27
81-90	105,99	105,92	105,41	105,41	105,6	105,37	104,96	104,69	105,7	105,41

---

Допуск на размер: 105,4 (+0,10 / -0,12).

2. Основные характеристики положения: средняя арифметическая выборочных данных и медиана

Для расчета средней арифметической выборочных данных произвели промежуточные расчеты в Excel (таблица 2) и воспользовались формулой:

;

Где n – объем выборки (90);

x_i – элемент выборки.

Таблица 2 – Предварительные расчеты в Excel для расчета средней арифметической выборочных данных

Номер вала	Диаметр, мм											∑ xi		Ср. X
1-10	105,25	104,92	105,47	105,86	105,86	106,09	104,51	105,31	105,82	104,96	1 054,05		105,41
11-20	105,14	104,73	104,69	105,02	105,08	104,57	105,19	105,25	105,41	105,25	1 050,33		105,03
21-30	105,25	105,25	105,92	105,37	105,31	105,19	106,15	105,76	106,31	105,14	1 055,65		105,57
31-40	106,05	104,73	105,6	105,76	106,15	105,37	105,19	105,64	105,25	105,7	1 055,44		105,54
41-50	104,8	105,08	104,8	105,25	105,37	105,41	105,25	106,27	104,69	105,08	1 052,00		105,20
51-60	104,35	105,99	104,92	105,14	105,7	105,6	105,76	105,64	104,86	104,96	1 052,92		105,29
61-70	105,64	105,53	105,02	105,31	105,41	105,6	105,41	105,02	106,15	105,6	1 054,69		105,47
71-80	105,7	105,76	105,14	105,02	105,82	104,92	104,8	105,64	105,64	106,27	1 054,71		105,47
81-90	105,99	105,92	105,41	105,41	105,6	105,37	104,96	104,69	105,7	105,41	1 054,46		105,45
Итого												9 484,25		105,38

---

мм.

Для расчета медианы произвели сортировку данных по возрастанию в Excel и воспользовались формулой:

.

x₄₅ = 105,37 (в выборке 36 элемент).

x₄₆ = 105,37 (в выборке 45 элемент).

мм.

Выводы: среднее значение результата контроля диаметров валов (выборка из 90 валов), изготовленных на токарном полуавтомате, равняется 105,38 мм.

3. Основные характеристики рассеивания: дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации

Характеристика рассеивания показывает, как тесно группируются отдельные значения вокруг своего среднего или, другими словами, как сильно они рассеяны вокруг этого среднего.

Наиболее эффективной мерой рассеивания является дисперсия случайной величины, оценкой которой является выборочная дисперсия, вычисляемая по формуле:

.

Для расчета дисперсии выборочных данных произвели промежуточные расчеты в Excel:

мм².

Недостатком дисперсии как меры рассеивания является то, что она имеет размерность квадрата размерности результатов наблюдения, поэтому вместо дисперсии S² часто используют стандартное отклонение (СТО):

.

мм.

Выборочная дисперсия, стандартное отклонение не очень удобны, если необходимо сравнить рассеивание двух различных величин, так как можно ожидать, что разброс больших величин будет больше разброса малых величин. В этой связи на практике получил распространение коэффициент вариации, который будучи безразмерным, удобен для сравнений. Коэффициент вариации по выборочным данным рассчитывается по формуле:

.

.

Коэффициент вариации показывает относительное колебание отдельных значений около их средней арифметической.

Выводы: относительное колебание выборочных значений диаметров валов (выборка из 90 валов), изготовленных на токарном полуавтомате, равняется 0,4199 %.

---

4. Интервальные оценки мер положения и рассеивания

При выполнении расчетов определяются двусторонние доверительные интервалы при значении доверительной вероятности, равном р = 0,95, при этом предполагается, что генеральная дисперсия σ² неизвестна.

Так как выборочные наблюдения носят случайный характер, то вычисленные по ним оценки характеристик положения и рассеивания также являются величинами случайными, колеблющимися от выборки к выборке. Поэтому часто необходимо не только найти оценку какого-либо параметра распределения генеральной совокупности, но и охарактеризовать точность этой оценки и ее надежность. С этой целью используются понятия доверительного интервала и доверительной вероятности.

Доверительным интервалом для параметра ϴ называется интервал, накрывающий с заданной вероятностью γ = 1 – α истинное значение параметра ϴ т.е.:

.

Число γ = 1 – α называется доверительной вероятностью, уровнем доверия или надежностью оценки. Границы доверительного интервала представляют собой функции от выборочных данных из генеральной совокупности с неизвестным параметром ϴ и называются соответственно нижней и верхней границами доверительного интервала. Длина доверительного интервала, характеризующая точность интервального оценивания, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности γ – при увеличении объема выборки длина интервала уменьшается, а с приближением доверительной вероятности к единице – увеличивается. Выбор значения доверительной вероятности определяется конкретными условиями исследования, и обычно используются значения, равные: 0,90; 0,95; и 0,99. Выборочные распределения отдельных оценок симметричны относительно неизвестного параметра ϴ, поэтому целесообразно рассматривать доверительный интервал симметричный относительно оцениваемого параметра, в виде: (ϴ - ∆; ϴ + ∆). В этом случае наибольшее отклонение Δ несмещенной оценки от оцениваемого параметра ϴ, которое возможно с заданной доверительной вероятностью γ, называется предельной ошибкой выборки. Значение Δ характеризует точность интервальной оценки, и ее часто называют случайной ошибкой репрезентативности.

Интервальные оценки для генерального среднего (математического ожидания случайной величины).

При нормальном законе распределения значений контролируемого показателя качества нахождение границ доверительного интервала для генерального среднего μ зависит от того, известна или нет генеральная дисперсия σ

---

².

Рассчитаем границы двусторонних доверительных интервалов при неизвестной генеральной дисперсии по формулам:

.

.

Где μ_ниж, μ_верх – нижняя и верхняя доверительная граница для генерального среднего μ соответственно;

n – объем выборки;

t_{q; v} – квантиль t – распределения уровня q с v степенями свободы;

S – выборочное стандартное отклонение.

p = 0,95.

p = 1 – α / 2.

α / 2 = 1 – 0,95.

α / 2 = 0,05.

α = 0,1.

μ_ниж = 105,38 – (1,658 * (0,4425 / 9,4868)) = 105,3 мм.

μ_верх = 105,38 + (1,658 * (0,4425 / 9,4868)) = 105,44 мм.

Таким образом, интервальные оценки для генерального среднего (математического ожидания случайной величины) – 105,3 мм. < μ < 105,44 мм. с уровнем надежности 0,9.

Интервальные оценки для генеральной дисперсии.

Рассчитаем границы двусторонних доверительных интервалов для генеральной дисперсии σ² в случае нормального распределения исследуемой генеральной совокупности (случайной величины) по формулам:

.

.

Где σ_ниж, σ_верх – нижняя и верхняя граница соответственно доверительного интервала для генеральной дисперсии σ²;

t_{q; v} – квантиль t – распределения уровня q с v степенями свободы;

S² – выборочная дисперсия;

n – объем выборки;

X²_{q; v} – квантиль X² – распределения уровня q с v степенями свободы.

σ²_ниж = (0,1958 * 89) / 146,56 = 0,1189 мм².

q = 0,1 / 2 = 0,05.

σ²_верх = (0,1958 * 89) / 95,705 = 0,1821 мм².

Таким образом, интервальные оценки для генеральной дисперсии – 0,1189 мм². <σ² <0,1821 мм². с уровнем надежности 0,9.

Значения границ доверительных интервалов для стандартного отклонения σ являются корнем квадратным из значений границ соответствующих доверительных интервалов для дисперсии.

Таким образом, интервальные оценки для стандартного отклонения – 0,3448 <σ <0,4267 с уровнем надежности 0,9.

5. Группировка результатов наблюдений: гистограмма, полигон частот, эмпирическая функция распределения

При большом объеме наблюдений (n ≥ 50) их результаты обычно предварительно группируют. В общем случае процедура группировки включает в себя следующие основные шаги, выполним их.

---