ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.01.2021
Просмотров: 839
Скачиваний: 2
11
за ряженны м
проводник ом
(
или
просто
за рядом
)
и
беск онечной
проводящ ей
плоск остью
можно
на йти
с
помощ ью
метода
зерк альны х
изобра жений
.
Д ля
этого
в
да нной
за да че
под
плоск остью
мы сленно
зерк а льно
ра зместим
та к ой
же
по
величине
,
но
противоположны й
по
зна к у
заряд
(-
q
).
Э лектроста тическ ое
поле
в
простра нстве
между
за рядом
+
q
и
проводящ ей
плоск остью
будет
та к им
же
к а к
поле
двух
зерк а льны х
за рядов
+
q
и
-
q
в
этой
же
обла сти
простра нства
.
Т еперь
можно
за бы ть
о
проводящ ей
плоск ости
с
нера вномерно
ра спределенны м
индуцирова нны м
за рядом
и
на йти
на пряженность
поля
двух
зерк а льны х
за рядов
+
q
и
-
q
в
точк е
M
.
Ка к
следует
из
рисунк а
,
на пряженность
поля
в
точк е
M
:
1
1
2
2
2
cos
2
l
E
E
E
l
r
=
α =
+
,
(
)
1
2
2
2
0
4
q
E
E
l
r
=
=
πε
+
.
Т а к им
образом
,
(
)
3 / 2
2
2
0
.
2
ql
E
l
r
=
πε
+
Т а к ой
же
будет
на пряженность
электроста тическ ого
поля
в
точк е
М
вблизи
проводящ ей
плоск ости
на д
к оторой
размещ ен
за ряд
+
q
.
Д ля
определения
поверхностной
плотности
за ряда
,
индуцирова нного
на
проводящ ей
плоск ости
в
точк е
M
можно
использова ть
теорему
О строгра дск ого
-
Г а усса
.
С иловы е
линии
входят
в
плоск ость
перпендик улярно
ее
поверхности
(
т
.
к
.
плоск ость
проводящ а я
).
О к ружим
точк у
M
ц илиндрическ ой
поверхностью
небольш ой
вы соты
с
основаниями
па раллельны ми
плоск ости
(
см
.
пра вы й
рисунок
).
П оток
вектора
E
через
эту
ц илиндрическ ую
поверхность
( )
0
E S
r
S
− ⋅ = σ
⋅ ε
(
S
-
площ а дь
основа ния
ц илиндра
).
Зна к
минус
обусловлен
тем
,
что
вектор
E
ur
и
внеш няя
норма ль
n
r
противоположны
по
на пра влению
.
П од
плоск остью
реального
поля
нет
,
поэтому
поток
через
нижнее
основа ние
ра вен
нулю
).
Т а к им
образом
,
( )
(
)
3 / 2
2
2
0
.
2
ql
r
l
r
σ
= −
πε
+
2.
П ряма я
беск онечно
длинна я
нить
имеет
за ряд
λ
на
единиц у
длины
и
ра сположена
па ра ллельно
проводящ ей
плоск ости
на
ра сстоянии
l
от
нее
.
Н а йти
:
а
)
модуль
силы
,
действую щ ей
на
единиц у
длины
нити
;
12
б
)
ра спределение
поверхностной
плотности
за ряда
σ
(
x
)
на
плоск ости
(
здесь
х
-
ра сстояние
от
прямой
на
плоск ости
,
где
σ
ма к сима льно
).
О твет
:
а
)
F
ед
=
λ
2
/4
πε
0
l
;
б
)
σ
=
λ
l
/
π
(
l
2
+x
2
)
.
3.
О чень
длинна я
нить
ра сположена
перпендик улярно
проводящ ей
плоск ости
и
не
доходит
до
нее
на
ра сстояние
l
.
Н ить
за ряжена
ра вномерно
с
линейной
плотностью
λ
.
П усть
точк а
О
-
след
нити
на
плоск ости
.
Н а йти
поверхностную
плотность
за ряда
на
плоск ости
в
за висимости
от
расстояния
r
до
точк и
О
.
О твет
:
σ
=
λ
/2
π
2
2
l
r
+
.
4.
С истема
состоит
из
двух
к онц ентрическ их
проводящ их
сф ер
.
Н а
внутренней
сф ере
ра диуса
а
на ходится
положительны й
за ряд
q
1
.
Ка к ой
за ряд
q
2
следует
поместить
на
внеш ню ю
сф еру
ра диуса
b
,
чтобы
потенц иа л
внутренней
сф еры
ста л
ϕ
=0?
Ка к
будет
за висеть
при
этом
ϕ
от
ра сстояния
r
до
ц ентра
системы
?
И зобразить
примерны й
гра ф ик
ϕ
(
r
).
О твет
:
q
2
=
-q
1
b
/
a
;
ϕ
=
q
1
(1/
r-
1/
a
)/4
πε
0
при
a
≤
r
≤
b
,
ϕ
=
q
1
(1
-b
/
a
)/4
πε
0
r
при
r
≥
b
.
5.
Д линны й
прямой
провод
ра сположен
па ра ллельно
проводящ ей
плоск ости
.
Радиус
сечения
провода
а
,
ра сстояние
между
осью
провода
и
проводящ ей
плоск остью
b
.
Н а йти
вза имную
емк ость
этой
системы
на
единиц у
длины
провода
при
условии
a<<b
.
О твет
:
C
≈
2
πε
0
/ln(2
b
/
a
)
.
6.
О пределить
взаимную
емк ость
системы
,
к отора я
состоит
из
мета ллическ ого
ш а рик а
ра диуса
а
и
проводящ ей
плоск ости
,
отстоящ ей
от
ц ентра
ш а рик а
на
ра сстоянии
l
,
при
условии
a<<l
.
О твет
:
C
≈
4
πε
0
a
.
7.
М ета ллическ ий
ш а р
ра диуса
R
1
,
несущ ий
за ряд
Q
,
ок ружен
ра сположенны м
к онц ентрическ и
полы м
мета ллическ им
ш а ром
с
внутренним
ра диусом
R
2
и
внеш ним
R
3
.
Заряд
внеш него
ш а ра
ра вен
нулю
.
П остроить
гра ф ик
зависимости
на пряженности
поля
Е
от
расстояния
r
до
ц ентра
ш аров
.
Н а йти
потенц иа лы
ш а ров
,
если
в
беск онечности
потенц иа л
ра вен
нулю
.
И зменятся
ли
потенц иа лы
ш а ров
,
если
внеш ний
ш а р
за землить
?
О твет
:
потенц иа л
внеш него
ш а ра
0 3
4
Q
R
πε
,
а
потенц иал
внутреннего
(
)
1
2
3
0
1
1
1
4
Q
R
R
R
−
+
πε
.
Е сли
внеш ний
ш а р
за землить
,
то
его
потенц иа л
будет
ра вен
нулю
,
а
потенц иа л
внутреннего
ш а ра
(
)
1
2
0
1
1
4
Q
R
R
−
πε
.
8.
Н а
ра сстоянии
h
от
проводящ ей
беск онечной
плоск ости
на ходится
точечны й
за ряд
+q
.
О пределить
на пряженность
поля
Е
в
точк е
А
,
отстоящ ей
от
плоск ости
и
от
за ряда
на
расстоянии
h
.
О твет
:
2
0
26
2 5 20
E
q
h
= ⋅
−
πε
.
13
9.
М ежду
двумя
длинны ми
па ра ллельны ми
проволок ами
,
протянуты ми
на
ра сстоянии
l
друг
от
друга
,
поддержива ется
ра зность
потенц иа лов
U
.
Ра диус
проволок
r
.
О пределить
на пряженность
поля
:
а
)
в
точк е
,
лежа щ ей
в
середине
ра сстояния
между
проволок а ми
;
б
)
электроемк ость
так ой
системы
на
единиц у
длины
проволок
.
О твет
:
а
)
2
ln
l
r
E
U l
r
−
=
,
б
)
0
ln
l
r
C
r
−
= πε
.
10.
Д линны й
ц илиндрическ ий
воздуш ны й
к онденса тор
имеет
обк ла дк и
ра диуса ми
R
1
и
R
2
(
R
1
<
R
2
).
Конденса тор
за ряжен
до
ра зности
потенц иа лов
U
.
О пределить
:
а
)
на пряженность
электрическ ого
поля
между
ц илиндра ми
;
б
)
электроемк ость
на
единиц у
длины
.
О твет
:
а
)
2
1
ln
R
E
U r
R
=
,
б
)
2
0
1
2
ln
R
C
R
= πε
.
З анятие
4.
Д иэлектрик и
в
электрическ ом
поле
П ри м ер
реш ени я
за да ч
1.
С торонние
за ряды
ра вномерно
ра спределены
с
объемной
плотностью
ρ
> 0
по
ш а ру
ра диуса
R
из
однородного
изотропного
диэлектрик а
с
прониц а емостью
ε
.
Н а йти
:
а
)
за висимости
Е
(
r
)
и
ϕ
(
r
);
где
r
-
расстояние
от
ц ентра
ш а ра
;
б
)
объемную
и
поверхностную
плотности
связа нны х
за рядов
.
Реш ение
И з
сф ерическ ой
симметрии
распределения
за ряда
в
за да че
следует
,
что
силовы е
линии
электрическ ого
поля
на пра влены
ра диально
.
П оэтому
,
для
реш ения
за дачи
можно
применить
теорему
О строгра дск ого
-
Г аусса
для
вектора
D
ur
,
а
за тем
,
используя
соотнош ение
0
D
E
= εε
ur
ur
(1)
для
изотропны х
диэлектрик ов
,
на йти
за висимость
( )
E r
.
В
к а честве
вспомога тельной
поверхности
следует
вы бра ть
сф еру
.
Ра ссмотрим
две
обла сти
простра нства
.
(
)
r
R
≤
2
3
1
4
4
3
D
r
r
⋅ π⋅ = π⋅ ρ
,
отк уда
1
3
r
D
ρ ⋅
=
;
(
)
r
R
≥
2
3
2
4
4
3
D
r
R
⋅ π ⋅ = π ⋅ ρ
,
отк уда
3
2
2
3
R
D
r
ρ⋅
=
.
Т огда
из
(1)
следует
(
при
r
R
≥
,):
1
0
3
r
E
ρ ⋅
=
εε
(
)
r
R
≤
,
3
2
2
0
3
R
E
r
ρ⋅
=
ε
(
т
.
к
.
вне
ш а ра
1
ε =
)
(
)
r
R
≥
.
14
И з
определения
потенц иа ла
:
( )
(
)
r
r
E d r
∞
ϕ
=
⋅
∫
ur
r
.
Т а к им
обра зом
,
вне
диэлектрическ ого
ш а ра
:
( )
3
2
0
3
r
R
r
E dr
r
∞
ρ ⋅
ϕ
=
=
ε
∫
(
)
r
R
≥
.
В нутри
диэлектрическ ого
ш а ра
:
( )
( )
(
)
2
2
1
2
0
2
1
6
R
r
r
R
r
E r
dr
E dr
E dr
R
r
∞
∞
ρ
ϕ
=
⋅
=
+
=
ε + −
εε
∫
∫
∫
(
)
r
R
≤
.
О бъемную
плотность
связа нны х
(
поляризац ионны х
)
за рядов
в
диэлектрик е
(
вблизи
гра ниц ы
ра здела
диэлектрик
-
ва к уум
)
можно
найти
из
соотнош ения
'
div
P
ρ = −
ur
, (2)
где
P
ur
-
вектор
поляризац ии
.
В
случа е
изотропны х
диэлектрик ов
(
)
0
1
P
E
= ε ε −
ur
ur
. (3)
П одста вляя
(3)
в
(2),
и
учиты ва я
,
что
в
диэлектрик е
1
0
3
r
E
E
ρ ⋅
=
=
εε
r
ur
ur
,
получим
(
)
(
)
1
0
1
div
1
E
ε −
′
ρ = −
ε ε −
= −
ρ
ε
ur
.
П оверхностна я
плотность
σ′
связа нны х
за рядов
равна
ск а чк у
норма льной
соста вляю щ ей
вектора
поляриза ц ии
на
гра ниц е
ра здела
двух
диэлектрик ов
:
1
2
'
n
n
P
P
σ =
−
.
В
на ш ей
за да че
для
гра ниц ы
ра здела
диэлектрик
-
ва к уум
2
n
P
=0.
У читы ва я
,
что
на
гра ниц е
ра здела
диэлектрическ ий
ш а р
-
ва к уум
(
в
диэлектрик е
,
при
r
=
R
)
1
1
0
3
n
R
E
E
ρ ⋅
=
=
εε
,
получим
(
)
(
)
1
0
1
1
1
3
n
n
R
P
E
ρ ⋅
ε −
′
σ =
= ε ε −
=
ε
.
15
2.
Т очечны й
сторонний
за ряд
q
находится
в
ц ентре
ш а ра
из
однородного
диэлектрик а
с
прониц аемостью
ε
.
Н а йти
поляризова нность
P
ur
к а к
ф унк ц ию
радиуса
-
вектора
r
r
относительно
ц ентра
ш а ра
,
а
та к же
связанны й
за ряд
q
′
внутри
сф еры
,
ра диус
к оторой
меньш е
ра диуса
ш а ра
.
О твет
:
P
ur
=
q
(
ε
-1)
r
r
/4
πε
r
3
,
q
′
=
-q
(
ε
-1)/
ε
.
3.
Т очечны й
сторонний
за ряд
q
на ходится
в
ц ентре
диэлектрическ ого
ш а ра
ра диуса
a
с
прониц а емостью
ε
1
.
Ш а р
ок ружен
безгра ничны м
диэлектрик ом
с
прониц а емостью
ε
2
.
Н а йти
поверхностную
плотность
связанны х
за рядов
на
гра ниц е
ра здела
этих
диэлектрик ов
.
О твет
:
σ′
=
q
(
ε
1
-
ε
2
)/4
πε
1
ε
2
a
2
.
4.
П ок а за ть
,
что
на
гра ниц е
однородного
диэлектрик а
с
проводник ом
поверхностна я
плотность
связанны х
за рядов
σ′
=-
σ
(
ε
-1)/
ε
,
где
ε
-
диэлектричека я
прониц а емость
,
σ
-
поверхностна я
плотность
за рядов
на
проводник е
.
5.
П роводник
произвольной
ф ормы
,
имею щ ий
заряд
q
,
ок ружен
слоем
однородного
диэлектрик а
с
прониц а емостью
ε
.
Н а йти
сумма рны е
поверхностны е
связа нны е
за ряды
на
внутренней
и
на ружной
поверхностях
диэлектрик а
.
О твет
:
за ряд
q
′
внутр
=
-q
(
ε
-1)/
ε
;
q
′
на руж
=
q
(
ε
-1)/
ε
.
6.
В
некоторой
точк е
А
внутри
однородного
диэлектрик а
с
диэлектрическ ой
прониц а емостью
ε
плотность
стороннего
за ряда
ρ
.
Н а йти
в
этой
точк е
плотность
связа нны х
за рядов
.
О твет
:
ρ′
=-
ρ
(
ε
-1)/
ε
.
7.
О днородны й
диэлектрик
имеет
вид
сф ерическ ого
слоя
ра диусов
a
и
b
,
причем
a < b
.
И зобра зить
примерны е
гра ф ик и
модуля
на пряженности
электрическ ого
поля
E
и
потенц иа ла
ϕ
к а к
ф унк ц ий
ра сстояния
r
от
ц ентра
системы
,
если
диэлектрик
имеет
положительны й
сторонний
за ряд
,
ра спределенны й
ра вномерно
по
внутренней
поверхности
слоя
.
О твет
:
а
)
2
2
0
0
(
)
0, (
)
4
, (
)
4
E r
a
E a
r
b
q
r
E b
r
q
r
<
=
< < =
πεε
< =
πε
,
(
)
0
(
)
1
1
4
r
a
q
a
b
b
ϕ ≤ =
−
+ ε
πεε
,
(
)
0
(
)
1
1
4
a
r
b
q
r
b
b
ϕ ≤ ≤ =
−
+ ε
πεε
,
0
(
)
4
b
r
q
r
ϕ ≤ =
πε
.
8.
В близи
точк и
А
гра ниц ы
ра здела
стекло
-
ва к уум
на пряженность
электрическ ого
поля
в
ва к ууме
Е
0
,
причем
угол
между
вектором
0
E
uur
и
норма лью
n
r
к
гра ниц е
ра здела
α
0
.
Н а йти
на пряженность
поля
Е
в
стекле
вблизи
точк и
А
,
угол
между
вектора ми
E
ur
и
n
r
,
а
та к же
поверхностную
плотность
связа нны х
за рядов
в
точк е
А
.