Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

Âåëè÷èíà

l

è ïîñòîÿííûå

C

1

,

C

2

,

C

3

,

C

4

âûáèðàþòñÿ òàêîâûìè, ÷òîáû áûëè

óäîâëåòâîðåíû çàäàííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Òàê, åñëè ïðè

x

=

0 è ïðè

x

=

a

èìå-

åò ìåñòî óñëîâèå

U

=

0, òî, ñëåäîâàòåëüíî,

C

2

=

0 è

C

1

sin

l

a

=

0, îòêóäà âûòåêàåò,

÷òî

l

a

= p

n

, ãäå

n

=

1, 2, 3, ... â ñèëó òîãî, ÷òî

C

1

¹

0.

Òàêèì îáðàçîì, ïîñòîÿííàÿ

l

ìîæåò ïðèíèìàòü íå ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ,

à ëèøü çíà÷åíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâó

l

n

= p

n

a

è íàçûâàåìûå ñîáñòâåí-

íûìè ÷èñëàìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì ôóíêöèè

X

n

,

Y

n

íîñÿò íàçâàíèå ñîáñòâåí-

íûõ ôóíêöèé.

Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàïèøåì â âèäå

U x y

D

y

D

y

x

n

n

n

n

n

n

( , )

(

)sin

,

=

+

=

¥

å

1

2

0

sh

ch

l

l

l

ãäå ÷åðåç

D

1

n

,

D

2

n

îáîçíà÷åíû âåëè÷èíû

D

1

n

=

C

1

n

C

3

n

,

D

2

n

=

C

1

n

C

4

n

. Âõîäÿùèå â

íåãî ïîñòîÿííûå

D

1

n

,

D

2

n

ñëåäóåò îïðåäåëèòü èñõîäÿ èç íåîáõîäèìîñòè óäîîâëå-

òâîðåíèÿ óñëîâèé:

U

=

U

1

(

x

) ïðè

y

=

0,

U

=

U

2

(

x

) ïðè

y

=

b

, êîòîðûå ïðèâîäÿò

ê ñîîòíîøåíèÿì

U x

D

x

n

n

n

1

2

0

( )

sin

,

=

=

¥

å

l

U

x

D

b D

b

x

n

n

n

n

n

n

2

1

2

0

( )

(

)sin

.

=

+

=

¥

å

sh

ch

l

l

l

Êîýôôèöèåíòû ðÿäà ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ

ðÿäà Ôóðüå âûðàæåíèé:

D

a

U x dx

a

20

1

0

1

=

ò

( )

,

(*)

D

a

U x

n

a

x dx

U

n

n

a

2

1

1

0

2

=

=

ò

( )sin

,

p

D

b D

b

a

U

x

n

a

x dx

U

n

n

n

n

n

a

1

2

2

2

0

2

sh

ch

l

l

p

+

=

=

ò

( )sin

,

(**)

îòêóäà

D

U

U

b

b

n

n

n

n

n

1

2

1

=

-

ch

sh

l

l

.

 îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîð-

äèíàò ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ðÿäà

U x y

C

x C

x C

y C

y

n

n

n

n

n

n

n

n

n

( , )

(

sin

cos

)(

)

=

+

+

=

1

2

3

4

0

l

l

l

l

sh

ch

¥

å

ëèáî â âèäå ðÿäà

76

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

U x y

C

x C

x C

y C

y

n

n

n

n

n

n

n

n

n

( , )

(

)(

)

=

+

+

=

1

2

3

4

sh

ch

sin

cos

l

l

l

l

0

¥

å

,

êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ ïðè ðàçëîæåíèè ôóíêöèé, îïðåäåëÿþùèõ
ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì çàäà÷è (â ðàññìîòðåííîé
âûøå çàäà÷å ïî ôóíêöèÿì sin

l

n

x

).

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, çàïèñàííîãî â öèëèíäðè÷åñêîé ëèáî èíîé ñèñ-

òåìå êîîðäèíàò, òàêæå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ðÿäà, îäíàêî ñîáñòâåí-
íûìè ôóíêöèÿìè òàêîãî ðåøåíèÿ áóäóò äðóãèå. Îíè îïðåäåëÿþòñÿ âèäîì ñîîò-
âåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé.

Ðåøåíèå

U

(

x

,

y

) èìååò âèä áåñêîíå÷íîãî ðÿäà, è ïðè ðàñ÷åòå ïîòåíöèàëà, íà-

ïðÿæåííîñòè ïîëÿ ëèáî èíòåãðàëüíûõ ïàðàìåòðîâ, òàêèõ êàê åìêîñòü, ñèëà, ïðè-
õîäèòñÿ îãðàíè÷èòü êîëè÷åñòâî ó÷èòûâàåìûõ â íåì ÷ëåíîâ. Ìåòîä íàõîäèò ïðè-
ìåíåíèå äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ â îäíîðîäíîé ñðåäå â îáëàñòÿõ ñ ïðîñòîé ôîðìîé
ãðàíèö, òàê êàê ïðè äðóãèõ óñëîâèÿõ îí ñòàíîâèòñÿ âåñüìà òðóäîåìêèì.

Î÷åâèäíûì íåäîñòàòêîì ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, êðîìå òðóäîåìêî-

ñòè îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, ÿâëÿåòñÿ ñóùå-
ñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü òî÷íîñòè ðåøåíèÿ îò êîëè÷åñòâà óäåðæèâàåìûõ ÷ëåíîâ
ðÿäà. Ïðàêòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ñ óäîâëåòâîðèòåëüíîé
òî÷íîñòüþ ïðèõîäèòñÿ ó÷èòûâàòü ìíîãèå äåñÿòêè ÷ëåíîâ ðÿäà. Êðîìå òîãî, ìå-
òîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ îãðàíè÷åí â îáëàñòè
ñâîåãî ïðèìåíåíèÿ â ñâÿçè ñ íåîáõîäèìîñòüþ íàëè-
÷èÿ ïðîñòûõ ãðàíè÷íûõ êîíôèãóðàöèé.

Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå ðåøåíèå, íàéäåì ïîòåíöèàë

â ïðÿìîóãîëüíîé îáëàñòè (ðèñ. 24.35) ïðè óñëîâèÿõ

U

=

0 ïðè

x

=

0,

x

=

a

,

y

=

0 è

U

=

U

0

ïðè

y

=

b

.

Èç óñëîâèÿ

U

1

(

x

)

=

0 ïðè

y

=

0 ïîëó÷àåì

D

2

n

=

0 (ñì. (*)), è èç óñëîâèÿ

U

2

(

x

)

=

U

0

=

=

¥

å

D

b

x

n

n

n

n

1

0

sh

sin

l

l

ïðè

y

=

b

D

b

a

U

x dx

U

n

n

n

n

n

a

1

0

0

0

2

1 3 5

sh

l

l

4

p

=

=

=

ò

sin

,

, , , . . .

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå ðåøåíèå ïðèíèìàåò âèä

U x y

U

n x

a

n y

a

n

n b
a

n

n

( , )

sin

,

, , , . . .

=

=

=

¥

å

4

p

p

p

p

0

1

1 3 5

sh

sh

Íàéäåííûé ïîòåíöèàë óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Ëàïëàñà è çàäàííûì ãðà-

íè÷íûì óñëîâèÿì. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè

y

=

b

,

x

¹

0 îí ðàâåí

U x b

U

n

n x

a

U

n

n

( , )

sin

,

, , , . . .

=

=

=

=

¥

å

4

p

p

0

0

1

1 3 5

1

è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà äðóãèõ ãðàíèöàõ îáëàñòè.

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

77

Ðèñ. 24.35

24.25. ×èñëåííûé ðàñ÷åò ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ

ìåòîäîì ñåòîê

 êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ÷èñëåííîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
ïðè ïîìîùè êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé è ñïîñîáà èõ ïîëó÷åíèÿ ðàññìîò-
ðèì ñëó÷àé ðàñ÷åòà ïëîñêîïàðàëëåëüíîãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ â íåîäíî-
ðîäíîé ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ

e = e

(

x

,

y

).

Ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû äëÿ ñèñòåìû óçëîâ, ïðîèçâîëüíî

ðàçìåùåííûõ â äàííîé îáëàñòè. Îäíàêî ïðè ýòîì âîçíèêàþò áîëüøèå òðóäíî-

ñòè ôîðìèðîâàíèÿ ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé è
èõ ðåøåíèÿ. Â ñâÿçè ñ ýòèì íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðà-
íåíèå ïîëó÷èëè ìåòîäû, ïðè êîòîðûõ óçëû 1, 2, 3,…
(ðèñ. 24.36) ðàñïîëàãàþòñÿ â âåðøèíàõ ñåòêè ïðÿ-
ìîóãîëüíèêîâ, êîòîðûå îáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè
âåðòèêàëüíûõ è ãîðèçîíòàëüíûõ ëèíèé.

Åñëè ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ðàñïðåäåëåí â ïðîñòðàí-

ñòâå ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ

r

(

x

,

y

), òî óðàâíåíèå äëÿ

óçëà 0 ñåòêè

D s

d

dV

s

V

ò

ò

= r

ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

e

r

( , )

( , )

( , )

,

x y E x y dl

x y ds

n

abcda

S

ò

ò

=

ãäå

E

n

= - ¶

¶

U

n

— íîðìàëüíàÿ ê êîíòóðó ñîñòàâëÿþùàÿ íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷å-

ñêîãî ïîëÿ.

Èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ ìîæåì ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû

÷åòûðåõ èíòåãðàëîâ âäîëü ïóòåé

ab

,

bc

,

cd

,

da

è âû÷èñëèòü èõ ïðèáëèæåííî, èñ-

ïîëüçóÿ èçâåñòíûå ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ. Ïðèìåíå-
íèå ìåòîäà ïðÿìîóãîëüíèêîâ ïðèâîäèò ê âûðàæåíèÿì

e

e

e

( , )

(

x y E dx

h

h

U

U

h

k U

y

ab

ò

@

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

=

-

I ñð

II ñð

1

3

0

2

2

2

0

2

2

U

2

),

e

e

e

( , )

(

x y E dy

h

h

U

U

h

k U

x

bc

ò

@

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

=

II ñð

III ñð

2

2

0

3

3

3

2

2

0

3

-

U

),

e

e

e

( , )

(

x y E dx

h

h

U

U

h

k U

y

cd

ò

@

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

=

III ñð

IV ñð

3

1

0

4

4

4

2

2

0

4

-

U

),

e

e

e

( , )

(

x y E dy

h

h

U

U

h

k U

x

da

ò

@

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

-

=

-

IV ñð

I ñð

4

2

0

1

4

1

0

2

2

U

1

),

r

r

r

r

r

( , )

x y ds

h h

h h

h h

h

s

ò

=

+

+

+

I ñð

II ñð

III ñð

IV ñð

1

2

2

3

3

4

4

4

2

1

4

0

4

h

f

= -

,

â êîòîðûõ âåëè÷èíû

e

Iñð

,

e

IIñð

, ...,

r

Iñð

, ...,

r

IVñð

ÿâëÿþòñÿ ñðåäíèìè ôóíêöèé

e

(

x

,

y

),

r

(

x

,

y

) â ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿ÷åéêàõ.

78

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ

Ðèñ. 24.36

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå

k U

k U

k U

k U

U

k

f

i

i

i

1

1

2

2

3

3

4

4

0

1

4

0

+

+

+

-

=

=

=

å

(*)

âûðàæàåò èñêîìûé ïîòåíöèàë

U

0

÷åðåç ïîòåíöèàëû ÷åòûðåõ ñîñåäíèõ óçëîâ. ×èñ-

ëî âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå ïîòåíöèàëîâ áóäåò áîëüøèì, åñëè ïðèìåíèòü áîëåå
òî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, âûðàæàÿ èõ íå òîëüêî ÷å-
ðåç ïîòåíöèàëû óçëîâ 1, 2, 3, 4, 0, íî òàêæå, íàïðèìåð, ÷åðåç ïîòåíöèàëû óçëîâ 5,
6, 7, 8.

Óðàâíåíèÿ âèäà (*) îáðàçóþò ñèñòåìó ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ìîæåò

áûòü ðàçðåøåíà îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ ïîòåíöèàëîâ óçëîâ èçâåñòíûìè ìåòîäà-
ìè ðåøåíèÿ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.

Çàïèñûâàÿ ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé â ìàòðè÷íîé ôîðìå

k U

=

F

,

îòìåòèì, ÷òî õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåò-
ñÿ ðåäêàÿ çàïîëíåííîñòü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè. Ïðè
èñïîëüçîâàíèè óðàâíåíèé âèäà (*) ñòðîêè ìàòðèöû ñîäåðæàò 5 îòëè÷íûõ îò
íóëÿ ýëåìåíòîâ, òàê ÷òî ïðè ïîëíîì ÷èñëå ýëåìåíòîâ

n

2

êîëè÷åñòâî íåíóëåâûõ

ýëåìåíòîâ íå ïðåâûøàåò 5

n

. Ýòà îñîáåííîñòü ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò

ïðèìåíèòü ýôôåêòèâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ, ó÷èòûâàþùèå ðåäêóþ çàïîëíåííîñòü
èõ ìàòðèö êîýôôèöèåíòîâ.

Èçëîæåííûé âûøå ïîäõîä ïðèìåíèì äëÿ ðàñ÷åòà ïëîñêîìåðèäèàííûõ è

òðåõìåðíûõ ïîëåé. Â ýòèõ ñëó÷àÿõ ýëåìåíòû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ

k

âûðà-

æàþòñÿ ñ ïîìîùüþ äðóãèõ ñîîòíîøåíèé.

24.26. Âàðèàöèîííûé ïîäõîä ê ðàñ÷åòó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ

â íåîäíîðîäíîé ñðåäå. Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ

Ðàíåå áûëî îòìå÷åíî (ñì. § 2.1, ò. 1), ÷òî çàòðà÷èâàåìàÿ âíåøíèìè èñòî÷íèêàìè
ýíåðãèÿ ïðè ñîçäàíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé ìèíèìàëüíà, åñëè ïðîöåññ ñîç-
äàíèÿ ýòèõ ïîëåé ïðîèñõîäèò áåç ïîòåðü ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì, è ðàñïðåäåëå-
íèå ýíåðãèè â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëÿõ ïðîèñõîäèò òàê, ÷òîáû ïîòðåáëÿåìàÿ îò
èñòî÷íèêà ýíåðãèÿ áûëà ìèíèìàëüíîé.

Åñëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ðàñ÷åòà ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé ïðèõîäèòñÿ îïåðè-

ðîâàòü òàêèìè ïîíÿòèÿìè, êàê ïîòåíöèàë è îïðåäåëÿåìûå èì ïðîèçâîäíûå âå-
ëè÷èíû, òî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ýòè ôóíêöèè äîëæíû áûòü òàêèìè, ÷òîáû îï-
ðåäåëÿåìàÿ èìè ýíåðãèÿ ïîëÿ áûëà ìèíèìàëüíîé.

Èñõîäÿ èç ýòîãî ïðèíöèïà, êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèò-

íîãî ïîëÿ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ÷åðåç òàêèì îáðàçîì ïîäîáðàííûå ôóíêöèè,
êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò ïðèíöèï ìèíèìóìà ýíåðãèè, îïðåäåëÿåìîé íåêîòîðûì
ôóíêöèîíàëîì

J

.

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è ðàñ÷åòà ïîòåíöèàëà, ñâÿçàííàÿ ñ ìèíèìèçàöèåé ôóíêöèî-

íàëà

J

, íîñèò íàçâàíèå âàðèàöèîííîé, òàê êàê ïîòåíöèàë ðàçûñêèâàþò ïóòåì âà-

ðèàöèè ôóíêöèîíàëà è íàõîæäåíèÿ òàêèõ åãî çíà÷åíèé, êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò
ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà.

Îäèí èç ïóòåé îòûñêàíèÿ ïîòåíöèàëà âàðèàöèîííûì ìåòîäîì ñâÿçàí ñ ïðåä-

ñòàâëåíèåì åãî â âèäå èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà

Ãëàâà 24. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå

79

U

(

x

,

y

,

z

)

=

a

x y z

n

n

n

N

j

( , , )

=

å

1

,

ãäå

a

n

— ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ êîýôôèöèåíòû,

j

n

— òàê íàçûâàåìûå áàçèñ-

íûå ôóíêöèè çàäàííîãî âèäà.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ýíåðãèþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ çàðÿäîâ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ

r

ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå

W

ý

=

0,5

e

(

)

grad

U

dV

V

2

ò

ëèáî â ôîðìå

W

ý

=

0,5

r

U dV

V

ò

,

ýíåðãåòè÷åñêèé ôóíêöèîíàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê

J

( )

(

)

U

U

dV

U dV

V

V

=

-

ò

ò

e

r

grad

2

2

.

(*)

Çäåñü ïåðâûé èíòåãðàë âûðàæàåò óäâîåííóþ, à âòîðîé — ó÷åòâåðåííóþ ýíåðãèþ
ïîëÿ.

 íåêîòîðûõ çàäà÷àõ îáúåì

V

îãðàíè÷åí ïîâåðõíîñòüþ

s

, íà êîòîðîé çàäàí ïî-

òåíöèàë ëèáî åãî ïðîèçâîäíàÿ

¶

¶

U

n

ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè. Ïðè çàäàííîì íà

ïîâåðõíîñòè

s

ïîòåíöèàëå ìèíèìèçèðóåìûé ýíåðãåòè÷åñêèé ôóíêöèîíàë èìååò

âèä (*), òîãäà êàê ïðè çàäàííîé íà íåé ôóíêöèè

¶

¶

U

n

J

( )

[

( , , )]

( , , )

( , , )

U

U x y z

dV

U x y z dV

U x y z

U

n

d

=

-

-

¶

¶

e

r

grad

2

2

s

s

V

V

ò

ò

ò

.

Êîýôôèöèåíòû

a

n

, âõîäÿùèå â âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëà

U(x, y, z),

ìîæåì

íàéòè èç óñëîâèÿ

¶

¶

=

J

a

n

0 (

n

=

1, 2, ...,

N

), ïîðîæäàþùåãî ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ

óðàâíåíèé.

Ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáúåìå

V

ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ýíåðãèé,

çàêëþ÷åííûõ â åå îòäåëüíûõ êîíå÷íûõ ýëåìåíòàõ. Ýòî ïîçâîëÿåò â ïðåäåëàõ ýëå-
ìåíòîâ çàïèñàòü áîëåå ïðîñòûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîòåíöèàëîâ.

Âèä è ñâîéñòâà âàðèàöèîííîãî ìåòîäà îïðåäåëÿþòñÿ áàçèñíûìè ôóíêöèÿ-

ìè

j

. Ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè áàçèñíûå ôóíêöèè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îòëè÷à-

åòñÿ îò íóëÿ òîëüêî â ïðåäåëàõ ñâîåé ïîäîáëàñòè, íàçûâàåìîé êîíå÷íûì ýëåìåí-
òîì.

Ïðîñòåéøèìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ýëåìåíòàìè íà ïëîñêîñòè ìîãóò áûòü çàïîë-

íÿþùèå åå òðåóãîëüíèêè, à â ïðîñòðàíñòâå – òåòðàýäðû. Âîçìîæíî èñïîëüçîâà-
íèå è äðóãèõ ïëîñêèõ è îáúåìíûõ ýëåìåíòîâ.

Õàðàêòåð èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà îïðåäåëÿåò îñîáåííîñòè ðàñïðåäåëå-

íèÿ ïîòåíöèàëà âíóòðè ýëåìåíòà, îäíàêî êîëè÷åñòâî óçëîâ ýëåìåíòà (ãåîìåòðè-
÷åñêàÿ ôîðìà ýëåìåíòà) çàäàåò êîëè÷åñòâî ÷ëåíîâ ýòîãî ïîëèíîìà íåçàâèñèìî
îò åãî ñòåïåíè. Äðóãèìè ñëîâàìè, êîëè÷åñòâî èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ èíòåð-
ïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà äîëæíî áûòü ðàâíûì ÷èñëó ïðèíàäëåæàùèõ ýëåìåíòó
óçëîâ.

×èñëî óçëîâ òðåóãîëüíîãî ýëåìåíòà ïðè ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèè ïîòåíöèàëà

U

(

x, y

)

= a

0

+

a

1

x +

a

2

y

äîëæíî áûòü ðàâíûì òðåì, òàê êàê ïîëèíîì ñîäåðæèò

80

×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ