Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003.pdf

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì

f

@

440 Ãö ïðè

n

=

1,

f

@

1750 Ãö

ïðè

n

=

2.

30.2. Àêòèâíîå è èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèÿ ïðoâîäîâ

ÂÎÏÐÎÑÛ

6.

Òàê êàê ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ âèõðåâûì, òî íàïðÿæå-

íèå

u

ad

=

E l

d

a

d

ò

çàâèñèò îò âûáîðà ïóòè ìåæäó òî÷êàìè

a

,

d

. Äðóãèìè ñëîâàìè,

ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà çàâèñèò îò ðàñïîëîæåíèÿ åãî ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ,
ïîäõîäÿùèõ ê òî÷êàì

a

,

d

. ×åì áîëüøèé âíåøíèé ìàãíèòíûé ïîòîê, ñîçäàííûé

òîêîì æèëû êàáåëÿ, îõâà÷åí ñîåäèíèòåëüíûìè ïðîâîäàìè, òåì áîëüøèì áóäåò è
ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà. Ïîýòîìó ïðè ðàñïîëîæåíèè ïðîâîäîâ âäîëü ëèíèè

ad

(ñì. ðèñ. Â30.1) ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà áóäåò íàèìåíüøèì, â ýòîì ñëó÷àå ïðîâî-
äàìè îõâà÷åí ëèøü âíóòðåííèé ìàãíèòíûé ïîòîê ïðîâîäà. Ïðè ðàñïîëîæåíèè
ïðîâîäîâ âäîëü ëèíèè

abcd

ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà áóäåò íàèáîëüøèì, òàê êàê íà-

ðÿäó ñ âíóòðåííèì ïîòîêîì èçìåðèòåëüíûå ïðîâîäà îõâàòûâàþò òàêæå ïîëíî-
ñòüþ è âíåøíèé ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðèõîäÿùèéñÿ íà äëèíó

l

æèëû.

8.

Ðåáðà è óãëû òåë â äåéñòâèòåëüíîñòè âñåãäà èìåþò êîíå÷íûé ðàäèóñ çàêðóãëå-

íèÿ, òàê ÷òî èõ ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ñîîòâåòñòâåííî öèëèíäðîì è ñôåðîé
ðàäèóñîì

R

. Ñîîòíîøåíèå ðàäèóñà çàêðóãëåíèÿ è äëèíû

l

ýëåêòðîìàãíèòíîé

âîëíû â ôåððîìàãíèòíîì òåëå îïðåäåëÿåò âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåíèÿ ïîñëåä-
íåé êàê ïëîñêîé: ïðè

R

>> l

åå ìîæíî ñ÷èòàòü ïëîñêîé.

 ïëîñêîé âîëíå õàðàêòåðèçóþùèå åå âåêòîðû

E

,

H

çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé êî-

îðäèíàòû. Ýòî óñëîâèå â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ ïðèáëèæåííî,
åñëè äëèíà ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â ôåððîìàãíèòíîì òåëå çíà÷èòåëüíî ìåíü-
øå ðàññòîÿíèÿ, îòñ÷èòûâàåìîãî âäîëü åãî ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðîì àìïëèòóäà
âåêòîðîâ

E

,

H

ïðåòåðïåâàåò çíà÷èòåëüíîå èçìåíåíèå.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1.

Îáîçíà÷èì øèíû öèôðàìè 1, 2, à èõ äëèííûå ñòîðîíû áóê-

âàìè

à

,

b

(ðèñ. Ð30.3). Äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ âíóòðè ëþáîé èç øèí

ïðèíèìàåì ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò, ñâÿçàííóþ ñ
òîé øèíîé, ïîëå â êîòîðîé ðàññ÷èòûâàåì, è ðàñïîëàãàåì íà-
÷àëî êîîðäèíàò â öåíòðå ñå÷åíèÿ øèíû.
Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ëþáîé èç øèí çàïèñûâàåì
â âèäå

&

H

=

A

1

e

–

a

z

+

A

2

e

a

z

è îïðåäåëÿåì ïîñòîÿííûå

A

1

,

A

2

èç

óñëîâèé

&

H

=

&

H

a

ïðè

z

=

–

d

è

&

H

=

&

H

b

ïðè

z

=

d

:

&

&

(

)

&

(

)

.

H

H

z

d

d

H

z

d

d

a

b

= -

-

+

+

sh

sh

sh

sh

a

a

a

a

2

2

Èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ

&

H

a

1

=

0,

&

H

b

1

= -

&

I h

,

&

H

a

2

= -

&

I h

,

&

H

b

2

=

0, ïîëó÷àåì:

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

351

Ðèñ. Ð30.3

&

&

(

)

,

&

&

(

)

,

&

&

H

I

h

z

d

d

I

h

z

d

d

H

I

1

1

2

2

2

= -

+

=

+

=

sh

sh

ch

sh

a

a

a

a

a

J

h

z

d

d

I

h

z

d

d

sh

sh

ch

sh

a

a

a

a

a

(

)

,

&

&

(

)

.

-

= -

-

2

2

2

J

Êðèâûå çàâèñèìîñòåé |

&

H

1

(

z

) | äëÿ çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé èçîáðàæåíû íà

ðèñ. Ð30.4.
Ñîïðîòèâëåíèå òîêîïðîâîäà ñîäåðæèò àêòèâíóþ è ðåàêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùèå, ïðè-
÷åì ïîñëåäíþþ ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå:

x

i

è

x

e

, îáóñëîâëåííûå ñîîòâåòñòâåííî

âíóòðåííèì è âíåøíèì ìàãíèòíûìè ïîòîêàìè:

Z

=

Z

i

1

+

Z

i

2

+

jx

e

=

Z

i

+

jx

e

. Âíóò-

ðåííåå ñîïðîòèâëåíèå

Z

i

îäíîé øèíû òîêîïðîâîäà ðàññ÷èòàåì ïî ôîðìóëå

Z

i

=

l

I

d

*

s

2

[

&

]

E H s

,

ò

= a

g

h

l

cth 2

a

d

,

à âíåøíåå — ïî ôîðìóëå

x

e

= w

L

e

= w m

0

l

c
h

, ãäå

c

— ðàññòîÿíèå ìåæäó øèíàìè,

l

—

äëèíà øèíû.

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, íàõîäèì çàâèñèìîñòü

¢ = ¢

r

r f

( ), èçîáðàæåííóþ

íà ðèñ. Ð30.5.

2.

Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å ðåøåíèåì

&

&

(

)

&

(

)

,

H

H

z

d

d

H

z

d

d

a

b

= -

-

+

+

sh

sh

sh

sh

a

a

a

a

2

2

îïðåäåëÿþùèì ïîëå â ëþáîé èç øèí, çàïèñûâàÿ ïðåäâàðèòåëüíî âåëè÷èíû

&

H

a

1

,

&

H

b

1

,

&

H

a

2

,

&

H

b

2

,

&

H

a

3

,

&

H

b

3

:

&

,

&

,

&

&

,

&

H

H

I

h

I

h

I

h

I

h

H

H

I

h

H

a

b

a

b

1

1

1

2

3

1

2

1

1

0

2

2

2

=

= -

-

-

= -

=

= -

2

1

2

3

1

2

3

3

2

3

2

2

2

1

2

0

b

a

b

b

I

h

I

h

I

h

h

I

I

I

H

H

H

= -

+

-

=

- +

-

=

=

(

),

&

&

,

&

.

Ïîëó÷àåì:

352

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð30.4

Ðèñ. Ð30.5

&

(

)

,

&

(

)

,

&

H

I

h

z

d

d

I

h

z

d

d

H

I

1

1

1

1

2

2

2

= -

+

=

+

= -

sh

sh

ch

sh

a

a

a

a

a

J

1

1

2

3

2

2

1

2

2

h

z

d

d

h

I

I

I

z

d

d

I

sh

sh

sh

sh

a

a

a

a

a

(

)

(

)

(

)

,

&

-

+

- +

-

+

=

J

1

1

2

3

3

2

2

2

2

h

z

d

d

h

I

I

I

z

d

d

H

ch

sh

ch

sh

a

a

a

a

a

(

)

(

)

(

)

,

&

-

-

- +

-

+

= -

1

2

2

2

1

2

3

3

1

2

3

h

I

I

I

z

d

d

h

I

I

I

(

)

(

)

,

&

(

)

(

- +

-

-

=

- +

-

sh

sh

ch

a

a

a

a

J

z

d

d

-

)

.

sh2

a

Çàâèñèìîñòü |

&

( )

J

1

z

| èçîáðàæåíà íà ðèñ. Ð30.6.

3.

Ïðèìåíÿÿ çàêîí ïîëíîãî òîêà, ìîæåì ïîëó÷èòü âåëè÷èíû:

&

&

,

&

&

&

,

&

&

&

.

H

H

H

H

I

h

H

H

I

h

a

b

b

a

b

a

1

3

1

2

1

2

3

3

0

=

=

=

= -

=

=

Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èí

&

&

H

H

b

a

1

2

=

âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì, ïîëó÷åííûì

ïðè ðåøåíèè óïð. 1:

&

&

(

)

&

(

)

,

H

H

z

d

d

H

z

d

d

a

b

= -

-

+

+

sh

sh

sh

sh

a

a

a

a

2

2

à òàêæå âûðàæåíèåì

&

&

&

(

)

&

(

)

.

E

dH

dz

H

z

d

d

H

z

d

d

a

b

= -

=

-

-

+

1

2

2

g

a

g

a

a

a

g

a

a

ch

sh

ch

sh

Âûáèðàÿ êîíòóð äëèíîé

l

, îáðàçîâàííûé ëèíèÿìè, ëåæàùèìè íà ñòîðîíàõ 1

b

è 2

à

øèí, çàïèøåì óðàâíåíèå

E l

d

l

ò

=

–

j

w

&

F

â âèäå

&

&

&

E l

E l

j

c l H

a

b

b

2

1

0

1

-

= - wm

è, ó÷è-

òûâàÿ, ÷òî

&

&

&

E

I

h

d

I

h

a

2

3

1

2

= -

-

a

g

a

a

g

sh

cth 2

a

d

,

&

&

E

I

h

b

1

1

= a

g

cth 2

a

d

, ïîñëå íåñëîæíûõ

ïðåîáðàçîâàíèé íàõîäèì:

&

&

(

)

I

I

d

c

d

1

2

2

2

=

+

cth

sh

a

a

a

. Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëåííûå

çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì:

&

I

1

=

12 –

j

215 À,

&

I

2

=

988 +

j

215 À.

4.

Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ ñèììåòðèè, ìîæåì íà îñíîâå çàêîíà ïîëíîãî òîêà çàïèñàòü

ñîîòíîøåíèÿ:

&

&

,

&

&

(

&

&

),

&

&

&

H

H

H

H

h

I

I

H

H

H

a

b

b

a

b

a

b

1

4

2

3

1

2

1

2

3

0

1

=

=

=

= -

+

=

=

=

&

.

H

a

4

Âåëè÷èíó

&

H

b

1

íàéäåì, èñïîëüçóÿ çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè

&

E l

d

l

ò

=

–

j

w m

0

&

F

è âûáèðàÿ òàêîé êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà

l

è äâå ñòîðîíû

êîòîðîãî ïðîõîäÿò âäîëü ëèíèé 1

b

è 2

a

:

&

&

&

E l

E l

j

c l H

a

b

b

2

1

0

1

-

= - wm

. Çàïèñûâàÿ âû-

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

353

Ðèñ. Ð30.6

ðàæåíèÿ äëÿ

&

E

b

1

,

&

E

a

2

,

&

H

b

1

è ïîâòîðÿÿ ðåøåíèå ïðåäûäóùåãî óïðàæíåíèÿ, ïîëó-

÷àåì âûðàæåíèå äëÿ òîêà

&

I

1

.

5.

Êàê è ïðè ðåøåíèè óïð. 3 è 4, âûðàæàåì âíà÷àëå íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî

ïîëÿ íà ñòîðîíàõ

a

è

b

øèí ÷åðåç èõ òîêè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ òîêîâ øèí çàïèñûâà-

åì óðàâíåíèå

&

&

E l

d

j

l

ò

= - wF

äëÿ êîíòóðà äëèíîé

l

, îáðàçîâàííîãî ëèíèÿìè, ëåæà-

ùèìè íà ñòîðîíàõ 1

b

è 3

à

øèí. Àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå ìîæåì çàïèñàòü è äëÿ

êîíòóðà ñ ëèíèÿìè, ëåæàùèìè íà ñòîðîíàõ 2

b

è 4

a

øèí.

7.

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òîê

&

I

1

ïåðâîé ôàçû ïðîòåêàåò ïî ëåâîé øèíå, òîê âòîðîé

ôàçû

&

&

I

I

2

1

=

(–0,5 –

j

3/2) — ïî ñðåäíåé, à òîê

&

&

I

I

3

1

=

(–0,5 +

j

3/2) òðåòüåé ôà-

çû — ïî ïðàâîé øèíå. Íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà äëèííûõ ñòîðîíàõ
øèí:

&

&

,

&

&

&

,

&

&

&

&

(

H

H

H

H

I

h

H

H

I

h

I

h

a

b

a

b

b

a

1

3

2

1

1

2

3

3

1

0

2

=

=

=

= -

=

=

=

-

1

3

+

j

).

Àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ øèí ðàññ÷èòûâàåì, ïîëüçóÿñü âûðàæåíèÿìè

r

1

=

r

3

=

l h

I

1

2

Re (

-

&

E

H

b

*

b

1

1

),

r

2

=

l h

I

2

2

Re (

&

&

E

H

E

H

a

*

a

b

*

b

2

2

2

2

-

), ãäå

&

E

b

1

= -

&

H

b

1

a

g

cth 2

a

d

,

&

&

E

H

a

a

2

2

=

a

g

cth 2

a

d

–

&

H

d

b

2

1

2

a

g

a

sh

,

&

E

b

2

=

&

H

d

a

2

1

2

a

g

a

sh

–

&

H

b

2

a

g

cth 2

a

d

.

Âûïîëíÿÿ íåñëîæíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íàõîäèì:

r

1

=

l h

g

Re (

a

cth 2

a

d

),

r

2

=

l h

g

Re

a

(2 cth 2

a

d

–

1

2

sh

a

d

), è ïîñëå ïîäñòàíîâêè ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ïî-

ëó÷àåì:

r

1

=

1,8

×

10

–5

×

l

Îì,

r

2

=

2,34

×

10

–5

×

l

Îì.

8.

Ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå òîêè

&

¢

I

1

,

&

¢¢

I

1

øèí ïåðâîé ôàçû

&

&

&

¢ + ¢¢ =

I

I

I

1

1

1

, äîïîëíèì

óðàâíåíèåì

&

&

E l

d

j

l

ò

= - wF

, çàïèñàííûì äëÿ êîíòóðà, äëèííûå ñòîðîíû êîòîðîãî

(äëèíîé

l

êàæäàÿ) ïðîõîäÿò âäîëü øèí ïî ñòîðîíàì 1

b

ïåðâîé øèíû è 2

à

âòîðîé

øèíû:

&

&

&

&

E

E

j

cH

j

c I h

a

b

b

2

1

0

1

0

1

-

= -

=

¢

wm

wm

. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

&

E

b

1

= -

&

H

b

1

a

g

cth 2

a

d

,

&

&

E

H

a

a

2

2

=

a

g

=

cth 2

a

d

–

&

H

d

b

2

1

2

a

g

a

sh

,

&

&

H

H

a

b

2

1

=

,

&

&

H

I h

b

2

1

= - ¢

, íàõîäèì ïîñëå

ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé âûðàæåíèå, àíàëîãè÷íîå ïîëó÷åííîìó ïðè ðåøåíèè

óïð. 3:

&

&

(

)

¢ =

+

I

I

d

c

d

1

1

2

2

cth

sh2

a

a

a

. Ïðè ðàñ÷åòå òîêîâ

&

¢

I

2

,

&

¢¢

I

2

óðàâíåíèå

&

&

E l

d

j

l

ò

= - wF

ïðèíèìàåò âèä

&

&

&

E

E

j

cH

a

b

b

4

3

0

3

-

= - wm

, ãäå

&

&

&

,

&

&

,

&

&

,

E

H

d

H

d

H

H

H

I

h

a

a

b

a

b

b

4

4

4

4

3

4

3

2

2

=

-

=

=

a

g

a

a

g

a

cth

sh

&

&

&

,

&

&

.

E

H

d

H

d

H

I

h

b

a

b

a

3

3

3

3

1

2

2

=

-

= -

a

g

a

a

g

a

sh

cth

Èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, íàõîäèì âåëè÷èíó

&

H

b

3

è äàëåå òîêè

&

I

2

,

&

¢

I

2

.

354

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

9.

Ïðèíèìàÿ äîïóùåíèå, ÷òî ëèíèè íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïàçó ïà-

ðàëëåëüíû äíó ïàçà, â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååì

&

&

H

k

=

H

z

. Ïðè

h

<

y

<

h

1

èìååì

&

&

H

I d

=

=

ñonst â ñèëó óñëîâèÿ

m = ¥

âåùåñòâà çóáöîâ è òåëà ðî-

òîðà. Ïîýòîìó óðàâíåíèå

d H

dy

2

2

&

=

j

w m

0

g

&

H

ñëåäóåò ðåøàòü ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ

âèäà:

&

H

=

0 ïðè

y

=

0,

&

&

H

I d

=

ïðè

y

=

h

. Îïðåäå-

ëèâ âõîäÿùèå â ðåøåíèå

&

( )

H y

=

A

1

e

–

a

y

+

A

2

e

a

y

ïîñòîÿííûå

A

1

,

A

2

, ïîëó÷àåì:

&

( )

&

H y

I

d

y
h

=

sh
sh

a
a

,

&

( )

&

&

J

y

dH

dy

I

d

y

h

=

= a

a

a

ch

sh

.

Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ïðîíèêàåò â ïðîâîä
ñêâîçü åãî âåðõíþþ ïîâåðõíîñòü, îãðàíè÷åííóþ
ëèíèåé

y

=

h

, òàê ÷òî

r

I

d

d

h

s

=

=

ò

1

1

2

Re

&

Re (

)

S s

g

a

a

cth

=

2,3

×

10

–4

Îì.

Êðèâûå

H

(

y

),

J

(

y

) ïðè çàäàííûõ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèÿõ èçîáðàæåíû íà ðèñ. Ð30.7.

10.

Çàïèøåì ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ

d H

dy

2

2

&

=

j

H

wm g

0

&

, îïèñûâàþ-

ùåãî ïîëå â ëþáîì èç ïðîâîäíèêîâ ïðè ãðàíè÷íîì óñëîâèè îáùåãî âèäà

&

H

=

&

H

a

ïðè

y

=

0 è

&

H

=

&

H

b

ïðè

y

=

h

íà ñòîðîíàõ ïðîâîäíèêà:

&

( )

&

(

)

&

.

H y

H

h

y

h

H

y
h

a

b

=

-

+

sh

sh

sh
sh

a

a

a
a

Íà ñòîðîíàõ ïðîâîäíèêà 1 èìååì

&

H

a

1

=

0,

&

H

b

1

=

&

I d

, òîãäà êàê íà ñòîðîíàõ ïðî-

âîäíèêà 2 —

&

H

a

2

=

&

I d

,

&

H

b

2

=

2

&

I d

. Ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü ñîîòíîøåíèÿ:

&

( )

&

,

&

( )

&

[

(

)

],

H y

I

d

y
h

H

y

I

d

h

h

y

y

1

2

2

=

=

-

+

sh
sh

sh

sh

sh

a
a

a

a

a

&

( )

&

,

&

( )

&

[

(

)

J

J

1

2

2

y

I

d

y

h

y

I

d

h

h

y

=

=

-

-

+

a

a

a

a

a

a

a

ch

sh

sh

ch

ch

y

].

Àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà 1 ìîæíî
ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå, ïîëó÷åííîé ïðè ðåøå-
íèè óïð. 9, ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäíèêà 2 — ïî
ôîðìóëå

r

I

d

l d
I

E h H

h

E

H

s

*

*

=

=

=

-

ò

1

0

0

2

2

2

2

2

2

Re

Re[

&

( )

( )

&

( )

( )].

S s

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

355

Ðèñ. Ð30.7

Ðèñ. Ð30.8