Файл: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003.pdf

þòñÿ ñ ò î ÿ ÷ è å â î ë í û. Äåéñòâèòåëüíî, cos

b

x

ïðè

õ

=

0,

l

/2,

l

, 3

l

/2... îáðàùà-

åòñÿ â ±1, à sin

b

x

— â íóëü, è â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ëèíèè èìååì ïó÷íîñòè

íàïðÿæåíèÿ è óçëû òîêà. Ïðè

õ

= l

/4, 3

l

/4, 5

l

/4... ïî-

ëó÷àåì óçëû íàïðÿæåíèÿ è ïó÷íîñòè òîêà (ðèñ. 17.9),

òàê êàê òîãäà cos

b

x

îáðàùàåòñÿ â íóëü, à sin

b

x

— â ±1.

Äëÿ âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ëèíèè ïðè õîëîñòîì õî-

äå

Z

0

, îáîçíà÷àÿ äëèíó ëèíèè ÷åðåç

l

, ïîëó÷èì

Z

U

I

jz

l

jx

l

0

10

10

ctg

=

= -

=

&
&

,

b

ãäå

x

l

—

ñîîòâåòñòâóþùåå ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå,

ò. å. â ýòîì ñëó÷àå âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè ïðè

0 <

l

<

l

/4 èìååò åìêîñòíûé õàðàêòåð, ïðè

l

/4 <

l <

<

l

/2 — èíäóêòèâíûé õàðàêòåð è ò. ä. (ðèñ. 17.9). Ïðè

l

= l

/4,

l

=

3

l

/4... âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàçîìêíóòîé

ëèíèè ðàâíî íóëþ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåçîíàíñó íà-

ïðÿæåíèé, à ïðè

l

= l

/2,

l

= l

... îíî ðàâíî áåñêîíå÷íî-

ñòè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåçîíàíñó òîêîâ.

 ñëó÷àå êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ ëèíèè, êîãäà

Z

ïð

=

0

è

U

2

=

0,

&

&

&

sin ;

&

&

&

cos ,

U

I

x

jI

x I

I

x I

x

ê

ê

ê

ê

ê

sh

ch

=

=

=

=

2

2

2

2

Z

z

g

b

g

b

ê

îòêóäà âèäíî, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå èìååì íàëîæåíèå

äâóõ íåçàòóõàþùèõ áåãóùèõ âîëí ñ îäèíàêîâûìè

àìïëèòóäàìè, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àþòñÿ ñòîÿ÷èå

âîëíû. Âñå îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ñëó÷àÿ ñîñòîèò

â òîì, ÷òî â êîíöå ëèíèè áóäóò óçåë íàïðÿæåíèÿ

è ïó÷íîñòü òîêà (ðèñ. 17.10). Äëÿ âõîäíîãî ñîïðîòèâ-

ëåíèÿ êîðîòêîçàìêíóòîé ëèíèè

Z

ê

èìååì

Z

U

I

jz

l

jx

l

ê

ê

ê

tg

=

=

=

1

1

b

,

ãäå

x

l

—

ñîîòâåòñòâóþùåå ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, ò. å. â ýòîì ñëó÷àå âõîä-

íîå ñîïðîòèâëåíèå ëèíèè ïðè 0 <

l

<

l

/4 èìååò èíäóêòèâíûé õàðàêòåð, ïðè

l

/4 <

l

<

l

/2

—

åìêîñòíûé õàðàêòåð è ò. ä. (ðèñ. 17.10). Ïðè

l

= l

/2,

l

= l

... âõîäíîå

ñîïðîòèâëåíèå êîðîòêîçàìêíóòîé ëèíèè ðàâíî íóëþ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåçî-

íàíñó íàïðÿæåíèé, à ïðè

l

= l

/4,

l

=

3

l

/4... îíî ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè, ÷òî ñîîòâåò-

ñòâóåò ðåçîíàíñó òîêîâ.

Ïðè î÷åíü âûñîêèõ ÷àñòîòàõ êîðîòêîçàìêíóòàÿ ëèíèÿ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà

÷åòâåðòè äëèíû âîëíû, ïðèìåíÿåòñÿ â êà÷åñòâå êîëåáàòåëüíîãî êîíòóðà, èìåþ-

ùåãî âñëåäñòâèå îòíîñèòåëüíî ìàëûõ ïîòåðü âåñüìà ìàëîå çàòóõàíèå. Òàêàÿ ëè-

íèÿ ïðàêòè÷åñêè îáëàäàåò ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøèì âõîäíûì ñîïðîòèâëåíèåì, è

ýòî äàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü åå ïðè ìàëûõ äëèíàõ âîëí òàêæå äëÿ èçîëÿ-

öèè âûñîêî÷àñòîòíûõ ëèíèé (ðèñ. 17.11) âìåñòî èçîëÿòîðîâ, ïðèìåíåíèå êîòî-

ðûõ â ýòèõ ñëó÷àÿõ âëå÷åò çà ñîáîé áîëüøèå ïîòåðè.

288

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ðèñ. 17.9

Ðèñ. 17.10

Ïðè ðåàêòèâíîé íàãðóçêå ëèíèè, êîãäà

Z

ïð

=

jx

ïð

, èìååì

&

&

cos

sin

&

sin(

)

sin

;

&

U U

x

z

x

x

U

x

I

=

+

æ

è

ç

ç

ö

ø

÷

÷ =

+

=

2

2

b

b

b

s

s

ïð

&

cos

sin

&

cos(

)

cos

,

I

x

x

z

x

I

x

2

2

b

b

b

s

s

-

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ =

+

ïð

åñëè ïðèíÿòü

x

ïð

/

z

=

tg

s

. Òàêèì îáðàçîì, è â äàííîì ñëó÷àå ïîëó÷àþòñÿ ñòîÿ÷èå

âîëíû, íî â êîíöå ëèíèè ïðè ýòîì íå áóäåò íè ïó÷íîñòè, íè óçëà (ðèñ. 17.12).

Äëÿ âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ëèíèè, çàìêíóòîé íà ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå,

Z

U

I

jx

l

jz

l

jx

l

x

x

x

=

=

+

=

+

=

&
&

(

)

(

)

,

1

1

ïð

tg

tg

tg

b s

s

b s

ò. å. çàâèñèìîñòü âõîäíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ëèíèè îò åå äëèíû èìååò òàêîé æå õà-

ðàêòåð (ðèñ. 17.12), êàê è â äâóõ ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ, ïðè÷åì äëÿ

l

= l

/4 è

l

= l/

2

íàéäåì, ñîîòâåòñòâåííî,

Z

x

=

–

z

2

/(

jx

ïð

) è

Z

x

=

jx

ïð

.

Ïðè

x

ïð

=

z

ctg

b

l

, êîãäà

s =

±

p

/2 –

b

l

,

Z

x

=

±

¥

, è òî-

ãäà ëèíèÿ ýêâèâàëåíòíà êîðîòêîçàìêíóòîé ëèíèè,

äëèíà êîòîðîé ðàâíà ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû, à ïðè

x

ïð

=

–

z

tg

b

l

, êîãäà

s =

–

b

l

,

Z

x

=

0, è, ñëåäîâàòåëüíî,

â ýòîì ñëó÷àå ëèíèÿ ýêâèâàëåíòíà ðàçîìêíóòîé ëè-

íèè, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû.

Òàêèì îáðàçîì, â çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû ïðè-

ëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ, äëèíû ëèíèè è îêîíå÷-

íîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ëèíèÿ áåç ïîòåðü, çàìêíóòàÿ

íà ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

èíäóêòèâíîå èëè åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå, ïðè-

÷åì ýêâèâàëåíòíàÿ èíäóêòèâíîñòü èëè åìêîñòü

ìîãóò èìåòü âñå çíà÷åíèÿ â ïðåäåëàõ îò íóëÿ äî

áåñêîíå÷íîñòè. Âîçìîæíîñòü îñóùåñòâèòü ïðè ïî-

ìîùè ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ïîäîáðàííîé ëèíèè èíäóêòèâíîå èëè åìêîñò-

íîå ñîïðîòèâëåíèå òîãî èëè èíîãî çíà÷åíèÿ âàæíî äëÿ ïðàêòèêè ïðè âûñîêèõ

÷àñòîòàõ.

Èòàê, âî âñåõ òðåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ ðàáîòû ëèíèè áåç ïîòåðü â íåé ïî-

ëó÷àþòñÿ ñòîÿ÷èå âîëíû. Ïðè ýòîì ïó÷íîñòè íàïðÿæåíèÿ è òîêà, à òàêæå óçëû

íàïðÿæåíèÿ è òîêà ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà ÷åòâåðòü äëèíû âîëíû.

Íàïðÿæåíèå è òîê â êàæäîé òî÷êå ëèíèè ðàçëè÷àþòñÿ ïî ôàçå íà ÷åòâåðòü ïå-

ðèîäà, è íàïðÿæåíèå äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, êîãäà òîê âî âñåé ëè-

íèè ðàâåí íóëþ, à òîê äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, êîãäà íàïðÿæåíèå âî

âñåé ëèíèè ðàâíî íóëþ.

Òàê êàê â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè â óçëàõ íàïðÿæåíèÿ

u

=

0, à â óçëàõ òîêà

i

=

0,

òî â ýòèõ òî÷êàõ ëèíèè ìîùíîñòü âñåãäà ðàâíà íóëþ, à ýíåðãèÿ ÷åðåç ýòè òî÷êè

íå ïåðåäàåòñÿ. Îäíàêî íà êàæäîì ó÷àñòêå ëèíèè, îãðàíè÷åííîì óçëàìè íàïðÿ-

æåíèÿ è òîêà, ïðîèñõîäèò ïåðåäà÷à ýíåðãèè âäîëü ëèíèè, ñâÿçàííàÿ ñ êîëåáà-

íèÿìè ýíåðãèè ìåæäó ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì ïîëÿìè íà ýòîì ó÷àñòêå.

Ãëàâà 17. Öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå

289

Ðèñ. 17.12

Ðèñ. 17.11

Âñå òðè ñëó÷àÿ îáðàçîâàíèÿ ñòîÿ÷èõ âîëí â ëèíèè, ðàññìîòðåííûå íàìè, õà-

ðàêòåðèçóþòñÿ îòñóòñòâèåì ðàñõîäà ýíåðãèè êàê â ëèíèè, òàê è â ïðèåìíèêå.

Ïðè íàëè÷èè ðàñõîäà ýíåðãèè èëè â ëèíèè, èëè â ïðèåìíèêå â ëèíèè íåèçáåæíî

äîëæíû ñóùåñòâîâàòü áåãóùèå âîëíû íàïðÿæåíèÿ è òîêà, ñ êîòîðûìè òîëüêî è

ìîæåò áûòü ñâÿçàí ïðîöåññ ïåðåäà÷è ýíåðãèè âäîëü âñåé ëèíèè.

 çàêëþ÷åíèå îñòàíîâèìñÿ êðàòêî íà ðàññìîòðåíèè ëèíèè áåç ïîòåðü, èìåþ-

ùåé äëèíó, ðàâíóþ ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû, è çàìêíóòîé íà àêòèâíîå ñîïðîòèâëå-

íèå

r

ïð

. Â ýòîì ñëó÷àå

ch

g

b

p

l

l

p

l

l

=

=

æ
è

ç

ö
ø

÷ =

=

cos

cos

cos

,

2

4

2

0

à

sh

g

b

p

l

j

l

j

j

=

=

=

sin

sin

2

,

è èìååì

&

&

;

&

&

,

U

jU z

r

I

jI

r

z

1

2

1

2

=

=

ïð

ïð

ò. å. òàêóþ ëèíèþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê èäåàëüíûé òðàíñôîðìàòîð ñ êîýô-

ôèöèåíòîì òðàíñôîðìàöèè, ðàâíûì

z

/

r

ïð

. Ýòî âåñüìà âàæíîå ñâîéñòâî äàåò âîç-

ìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ëèíèþ, äëèíà êîòîðîé ðàâíà ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû, äëÿ

ñîãëàñîâàíèÿ ïðèåìíèêà ñ ãåíåðàòîðîì èëè îäíîé ëèíèè ñ äðóãîé ëèíèåé. Òàê

êàê âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå

Z

âõ

ðàññìàòðèâàåìîé ëèíèè ðàâíî

Z

U

I

z

r

âõ

ïð

=

=

&
&

,

1

1

2

òî äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ ãåíåðàòîðà è ïðèåìíèêà, èìåþùèõ àêòèâíûå ñîïðîòèâëå-

íèÿ

r

ã

è

r

ïð

, èëè äâóõ ëèíèé ñ òàêèìè æå õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ñîïðîòèâëåíèÿìè

äîñòàòî÷íî âêëþ÷èòü ìåæäó íèìè ëèíèþ, èìåþùóþ äëèíó, ðàâíóþ ÷åòâåðòè

äëèíû âîëíû, è îáëàäàþùóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñîïðîòèâëåíèåì

z

r r

=

ã ïð

.

290

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé

Ãëàâà âîñåìíàäöàòàÿ

Ýëåêòðè÷åñêèå öåïè ñ ðàñïðåäåëåííûìè

ïàðàìåòðàìè ïðè ïåðåõîäíûõ ïðîöåññàõ

18.1. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïÿõ

ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè

 ïðåäûäóùåé ãëàâå áûëè ðàññìîòðåíû ïðîöåññû â ëèíèè ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ

ïåðèîäè÷åñêîì ðåæèìå. Âìåñòå ñ òåì áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò íåïåðèî-

äè÷åñêèå ïðîöåññû â òàêèõ ëèíèÿõ, íàïðèìåð ïåðåõîäíûå ïðîöåññû ïðè âêëþ÷å-

íèè è âûêëþ÷åíèè ëèíèè, ïðè âîçäåéñòâèè íà ëèíèè ãðîçîâûõ ðàçðÿäîâ è ò. ï.

Òîêè è íàïðÿæåíèÿ â ëèíèÿõ ñâÿçè, êàê ïðàâèëî, íîñÿò íåïåðèîäè÷åñêèé õàðàê-

òåð.

Äëÿ èññëåäîâàíèÿ òàêèõ ïðîöåññîâ íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â

÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, îïèñûâàþùèõ ýòè ïðîöåññû, ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ è

íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ýòî ðåøåíèå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî êëàññè÷åñêèì èëè

îïåðàòîðíûì ìåòîäîì.

18.2. Ðåøåíèå óðàâíåíèé îäíîðîäíîé íåèñêàæàþùåé ëèíèè

ïðè ïåðåõîäíîì ïðîöåññå êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì

Âîñïîëüçóåìñÿ êëàññè÷åñêèì ìåòîäîì äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé îä-

íîðîäíîé ëèíèè

-

= +

-

=

+

¶
¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

u
x

ri L i

t

i

x

gu C u

t

;

äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ — íåèñêàæàþùåé ëèíèè, êîãäà

rC

=

gL

.

Ïðèìåì

r

/

L

=

g

/

C

= d

è ââåäåì âìåñòî

u

è

i

íîâûå ôóíêöèè

u

1

è

i

1

, ñâÿçàííûå

ñ

u

è

i

ñîîòíîøåíèÿìè:

u u e

i i e

t

t

=

=

-

-

1

1

d

d

;

.

Òîãäà èìååì

¶
¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

d

¶

¶

¶

¶

d

d

d

u
x

u

x

e

u

t

u

t

e

u e

i

x

i

x

e

t

t

t

=

=

-

=

-

-

-

-

1

1

1

1

;

;

d

d

d

¶

¶

¶

¶

d

t

t

t

i

t

i

t

e

i e

;

.

=

-

-

-

1

1

Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ â îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ëèíèè

è ñîêðàùàÿ íà

e

–

d

t

, ïðèâåäåì èõ ê âèäó

-

=

-

=

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

¶

u

x

L i

t

i

x

C u

t

1

1

1

1

;

è, âçÿâ ïðîèçâîäíóþ îò ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïî

x

, à îò âòîðîãî — ïî

t

, ïîëó÷èì

-

=

-

=

¶

¶

¶

¶ ¶

¶

¶ ¶

¶

¶

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

u

x

L

i

x t

i

x t

C u

t

;

.

Îòñþäà íàéäåì

¶

¶

¶

¶

2

1

2

2

1

2

u

x

LC u

t

=

è, ïðèíÿâ

CL

=

1/

v

2

, ïðèäåì ê

âîëíîâîìó óðàâíåíèþ

¶

¶

¶

¶

2

1

2

2

2

1

2

u

t

v

u

x

=

.

Ââåäåì âìåñòî

x

è

t

íîâûå ïåðåìåííûå, à èìåííî

x

h

= -

= +

x vt

x vt

;

.

Òîãäà, ïðèíÿâ âî âíèìàíèå, ÷òî

¶x
¶

¶h
¶

¶x

¶

¶h

¶

¶

¶

¶

¶x

¶

¶h

¶

x

x

t

v

t

v

u

x

u

u

u

=

=

= -

=

=

+

1

1

1

1

1

1

;

;

;

;

;

¶

¶

¶x

¶

¶h

¶

¶

¶

¶x

¶

¶x¶h

¶

¶h

t

v u

v u

u

x

u

u

u

= -

+

=

+

+

1

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

;

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

2

;

,

¶

¶

¶

¶x

¶

¶x¶h

¶

¶h

u

t

v

u

v

u

v

u

=

-

+

è ïîäñòàâèâ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ â âîëíîâîå óðàâíåíèå,

ïîëó÷èì

¶

¶x¶h

¶

¶x

¶

¶h

2

1

1

0

0

u

u

=

æ
è

çç

ö
ø

÷÷ =

èëè

.

Îòñþäà, èíòåãðèðóÿ, íàõîäèì

¶

¶h

u h

u h h j x

j x

y h

u

u

d

1

1

=

=

+

=

+

ò

( )

( )

( )

( )

( ),

è

åñëè ïðèíÿòü

u h h y h

( )

( )

d

ò

=

.

Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííûì

x

è

t

, ìîæåì íàïèñàòü

u

x vt

x vt

1

=

-

+

+

j

y

(

)

(

)

è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íàïðÿæåíèÿ

u

ìåæäó ïðîâîäàìè ëèíèè èìååì

u

x vt

x vt e

t

=

-

+

+

-

[ (

)

(

)]

.

j

y

d

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ

i

1

ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå

-

=

¶

¶

¶

¶

i

x

C u

t

1

1

òîëüêî ÷òî íàéäåííîå

âûðàæåíèå äëÿ

u

1

. Òîãäà ïîëó÷èì

-

=

+

=

+

é
ë

ê

ù
û

ú =

¶

¶

¶ j x

y h

¶

¶j
¶x

¶x

¶

¶y

¶h

¶h

¶

i

x

C

t

C

t

t

Cv

1

[ ( )

( )]

-

+

é
ë

ê

ù
û

ú = -

-

é
ëê

ù
ûú

¶j
¶x

¶y

¶h

¶j
¶

¶y

¶

C

L x

x

,

292

×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé