ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.02.2021
Просмотров: 159
Скачиваний: 1
Программа экзамена по математическому анализу
на первом курсе ФКН (математика – компьютерные науки)
Июнь 2007
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства неопределенного интеграла. Таблич-
ные интегралы.
2. Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование с помощью замены переменной.
Интегрирование методом подстановки. Интегрирование по частям.
3. Интегрирование рациональных выражений.
4. Интегрирование иррациональностей. Интегрирование тригонометрических выражений.
5. Интеграл Римана. Определенный интеграл. Простейшие свойства. Интегрируемость монотонной огра-
ниченной функции. Существование интеграла Римана у непрерывной функции, имеющей первообраз-
ную. Формула Ньютона–Лейбница.
6. Суммы Дарбу. Свойства сумм Дарбу. Признак интегрируемости в терминах сумм Дарбу.
7. Признак интегрируемости в терминах колебания функции на отрезках разбиения. Интегрируемость
непрерывной функции на отрезке.
8. Независимость интеграла от значения функции в конечном множестве точек. Интегрируемость кусочно
непрерывной функции.
9. Определенный интеграл
b
R
a
f
(
x
)
dx
при
b < a
. Равенство
c
R
a
f
(
x
)
dx
+
b
R
c
f
(
x
)
dx
=
b
R
a
f
(
x
)
dx
.
10. Интеграл с переменным верхним пределом. Непрерывность интеграла с переменным верхним преде-
лом.
11. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом для непрерывной функции. Суще-
ствование первообразной у непрерывной функции. Дифференцирование по нижнему пределу интегри-
рования.
12. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
13. Понятие площади фигуры на плоскости. Суммы Дарбу и площадь криволинейной трапеции.
14. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
15. Длина кривой. Вычисление длины кривой.
16. Площадь поверхности вращения кривой. Объем тела вращения.
17. Норма в пространстве
R
n
.
ε
- окрестность точки в
R
n
. Открытые и замкнутые множества в
R
n
. Свойства
открытых и замкнутых множеств в
R
n
.
18. Сходимость последовательности в
R
n
. Свойства сходящихся последовательностей. Компактные мно-
жества. Описание замкнутых и компактных множеств в терминах сходящихся последовательностей.
19. Предельная точка множества. Предел функции нескольких переменных в предельной точке. Свойства
предела функции в предельной точке.
20. Непрерывная функция нескольких переменных. Свойства непрерывных функций (включая суперпози-
цию). Теорема Вейерштрасса об ограниченности и точках максимума и минимума непрерывной функ-
ции нескольких переменных.
21. Частные производные функции нескольких переменных. Необходимое условие локального максимума
и минимума в терминах частных производных. Стационарные точки.
22. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируемости функ-
ции нескольких переменных в терминах частных производных. Определение дифференциала функции
нескольких переменных
23. Правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных.
24. Дифференцирование по направлению. Градиент функции. Геометрический смысл градиента функции
двух и трех переменных.
25. Определение касательной плоскости к поверхности. Уравнение касательной плоскости к поверхности
графика функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.
26. Производные высших порядков. Смешанные производные. Независимость смешанных производных от
порядка дифференцирования.
27. Дифференцирование вдоль вектора. Дифференциалы высших порядков. Связь дифференциалов выс-
ших порядков и производных высших порядков вдоль вектора.
28. Формула Тейлора для функции одной переменной. Остаточный член в формуле Тейлора в форме
Пеано и форме Лагранжа.
29. Формула Тейлора для функций нескольких переменных с остаточным членом в форме Пеано.
30. Необходимое условие локального экстремума в терминах второго дифференциала.
31. Достаточное условие локального экстремума в терминах второго дифференциала.
32. Неявные функции, задаваемые одним уравнением. Производная неявной функции.
33. Уравнение касательной плоскости к поверхности в пространстве.
34. Условный экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
35. Равномерная сходимость последовательности. Свойства равномерной сходимости последовательности
непрерывных функций.
36. Непрерывность равномерного предела последовательности непрерывных функций.
37. Теорема Дини о пределе монотонной последовательности непрерывных функций
38. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру
39. Интегрирование интеграла по параметру. Независимость повторных интегралов от порядка интегри-
рования.
40. Независимость смешанных производных от порядка дифференцирования.(Доказательство.)
41. Дифференцирование интеграла по параметру.
Литература.
1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: в 2 т. / Л.Д.Кудрявцев - 3-е изд., перераб. - М.:
Физматлит, 2002. - Т. 1: Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Ряды.
- 400 с.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: в 2 т. / Л.Д.Кудрявцев - 3-е изд., перераб. -
М.: Физматлит, 2002. - Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных.
Гармонический анализ. - 424 с.
2