ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 69
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИфедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования«Тольяттинский государственный университет»
Практическое задание №3по учебному курсу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления»(наименование учебного курса)Вариант 5 (при наличии)
Тольятти 2023
Задача 3.1 Рассчитать наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [1/2;2]Решение:1) Найдем первую производную и все критические точки:f(x) = 0 при х1 = 1, х2 = -1В промежуток [1/2;2] попадает точка х = 12) Вычислим значения функции в критических точках:3) Вычислим значения функции на концах промежутка: , 4) Сравним все полученные значения функции и выбрать среди них самое большое и самое малое:Максимальное значение функции на отрезке [1/2;2] равно fmax = 3 при х = 2, минимальное значение – fmin = -1 при х = 1Ответ: fmax = f(2) = 3, fmin = f(1) = -1.Задача 3.2 Провести полное исследование и построить графики данных функций.1) Решение: 1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме х = 1 и х = -1При х 1- При х 1+ Так как f(1+) = f(1-) = , т.е. пределы функции неконечны, то точка х = 1 – точка разрыва второго рода.При х -1- При х -1+ Так как f(-1+) = f(-1-) = , т.е. пределы функции неконечны, то точка х = -1 – точка разрыва второго рода.2) Так как у(-х) = у(х), то данная функция – четная, график функции симметричен относительно оси ординат.Функция не является периодической.3) - график функции проходит через начало координат при х (-;-1)(1;+ ) и при х (-1;0)(0;1)4) Найдем асимптоты:Так как f(1+) = f(1-) = , то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика
Так как f(-1+) = f(-1-) = , то прямая х = -1 является вертикальной асимптотой графикаПри х график имеет горизонтальную асимптоту у = 1.5) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:y = 0 при х = 0 и у = при х = 1, х = -1При х (-;-1) у > 0 – функция возрастает, при х (-1;0) у > 0 – функция возрастает, х = -1 – точка разрыва.При х (0;1) у < 0 – функция убывает, х = 0 – точка максимума, у(0) = 0.При х (1;+) у < 0 – функция убывает, х = 1 – точка разрыва.6) Для нахождения точек возможного перегиба вычислим вторую производную функции:Для нахождения точек возможного перегиба вычислим вторую производную функции:y = при х = 1 и х = -1При х (-;-1) у > 0 – функция вогнутая,при х (-1;1) у < 0 – функция выпуклая,х = -1 – точка разрыва.При х (1;+) у > 0 – функция вогнутая,х = 1 – точка разрыва7) Построим график, используя полученные результаты:2) Решение: 1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих условию х > -1При х -1 2) Так как у(-х) у(х) и у(-х) -у(х), то данная функция - функция общего вида.Функция не является периодической.3) у(0) = 0 - график функции проходит через начало координату > 0 при всех х > -1 4) Найдем асимптоты:Так как при х -1+ , прямая у = -1 является вертикальной асимптотой графикаПри х + ,график не имеет горизонтальных асимптот
При х + , ,график не имеет наклонных асимптот5) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:y = 0 при х = 0 При х (-1;0) у < 0 – функция убывает, при х (0;+) у > 0 – функция возрастает,х = 0 – точка минимума, у(0) = 0.6) Для нахождения точек возможного перегиба вычислим вторую производную функции:При х (-1;+ ) у > 0 – функция вогнутая.7) Построим график, используя полученные результаты:
| (наименование института полностью) |
| |
| (Наименование учебного структурного подразделения) |
| 20.03.01 Техносферная безопасность |
| (код и наименование направления подготовки / специальности) |
| Безопасность технологических процессов и производств |
| (направленность (профиль) / специализация) |
| Обучающегося | Пряничнеков Виталий Алексеевич | |
| | (И.О. Фамилия) | |
| Группа | ТБбп-2202а | |
| | | |
| Преподаватель | Кузнецова Ольга Александровна | |
| | (И.О. Фамилия) | |
Бланк выполнения задания №3
Вариант 5Задача 3.1 Рассчитать наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [1/2;2]Решение:1) Найдем первую производную и все критические точки:f(x) = 0 при х1 = 1, х2 = -1В промежуток [1/2;2] попадает точка х = 12) Вычислим значения функции в критических точках:3) Вычислим значения функции на концах промежутка: , 4) Сравним все полученные значения функции и выбрать среди них самое большое и самое малое:Максимальное значение функции на отрезке [1/2;2] равно fmax = 3 при х = 2, минимальное значение – fmin = -1 при х = 1Ответ: fmax = f(2) = 3, fmin = f(1) = -1.Задача 3.2 Провести полное исследование и построить графики данных функций.1) Решение: 1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме х = 1 и х = -1При х 1- При х 1+ Так как f(1+) = f(1-) = , т.е. пределы функции неконечны, то точка х = 1 – точка разрыва второго рода.При х -1- При х -1+ Так как f(-1+) = f(-1-) = , т.е. пределы функции неконечны, то точка х = -1 – точка разрыва второго рода.2) Так как у(-х) = у(х), то данная функция – четная, график функции симметричен относительно оси ординат.Функция не является периодической.3) - график функции проходит через начало координат при х (-;-1)(1;+ ) и при х (-1;0)(0;1)4) Найдем асимптоты:Так как f(1+) = f(1-) = , то прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика
Так как f(-1+) = f(-1-) = , то прямая х = -1 является вертикальной асимптотой графикаПри х график имеет горизонтальную асимптоту у = 1.5) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:y = 0 при х = 0 и у = при х = 1, х = -1При х (-;-1) у > 0 – функция возрастает, при х (-1;0) у > 0 – функция возрастает, х = -1 – точка разрыва.При х (0;1) у < 0 – функция убывает, х = 0 – точка максимума, у(0) = 0.При х (1;+) у < 0 – функция убывает, х = 1 – точка разрыва.6) Для нахождения точек возможного перегиба вычислим вторую производную функции:Для нахождения точек возможного перегиба вычислим вторую производную функции:y = при х = 1 и х = -1При х (-;-1) у > 0 – функция вогнутая,при х (-1;1) у < 0 – функция выпуклая,х = -1 – точка разрыва.При х (1;+) у > 0 – функция вогнутая,х = 1 – точка разрыва7) Построим график, используя полученные результаты:2) Решение: 1) Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, удовлетворяющих условию х > -1При х -1 2) Так как у(-х) у(х) и у(-х) -у(х), то данная функция - функция общего вида.Функция не является периодической.3) у(0) = 0 - график функции проходит через начало координату > 0 при всех х > -1 4) Найдем асимптоты:Так как при х -1+ , прямая у = -1 является вертикальной асимптотой графикаПри х + ,график не имеет горизонтальных асимптот
При х + , ,график не имеет наклонных асимптот5) Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:y = 0 при х = 0 При х (-1;0) у < 0 – функция убывает, при х (0;+) у > 0 – функция возрастает,х = 0 – точка минимума, у(0) = 0.6) Для нахождения точек возможного перегиба вычислим вторую производную функции:При х (-1;+ ) у > 0 – функция вогнутая.7) Построим график, используя полученные результаты: