Файл: Лекция 3 иерархия математических моделей.pdf

Лекция № 3 ИЕРАРХИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
На различных этапах и стадиях проектирования сложной технической системы используются различные математические модели.
На ранних стадиях обычно модели простые, но чем подробнее проработка проекта, тем сложнее нужна модель.
Сложные модели требуют больших затрат времени на проведение вычислительных экспериментов.
Системы уравнений сложных моделей сильно зависят от входных данных, что создает проблемы обеспечения устойчивости вычислительного процесса,
достижения необходимой точности при приемлемых затратах времени.
Поскольку все проектные работы носят оптимизационный характер, то решать системы уравнений для получения искомого результата приходится многократно.
Ситуация усугубляется также многомерностью и многокритериальностью задач.
На заключительных этапах проектирования часто приходится использовать вероятностные модели для исследования процессов функционирования технической системы (ТС) в условиях, максимально приближенных к реальным.

Любую сложную ТС практически невозможно полно и детально описать в рамках единой математической модели. Различные степени системы изучены в разной степени (
например, с разной степенью достоверности
можно описать процесс
перерезания корней растений при работе
выкопочной машины и процессы в гидроприводе рабочего органа
),
поэтому их математические описания обладают разной точностью, однако при накоплении информации
ММ
становятся более точными и
адекватными.
При использовании единой модели точность моделирования определяется точностью описания наименее изученных систем, а любая новая информация требует полной переделки модели.
Поэтому наиболее эффективные результаты при описании и изучении сложных систем дает иерархический подход (слово
«иерархия»
означает расположение частей или элементов целого в порядке от низшего к высшему).
Он предусматривает разбиение системы на вертикально соподчиненные подсистемы разных уровней и разработку модульных моделей каждой из них. Таким образом, возникает многоуровневая иерархическая система моделей, в основе которой лежит модульный принцип,
предусматривающий разработку не одной,
а семейства взаимосвязанных и взаимодействующих между собой моделей.
При таком подходе изменение представлений об отдельных процессах или об
отдельных элементах системы не требует полной переделки модели и
затрагивает лишь только отдельные ее модули.

Концепции такого иерархического описания предусматривают введение ряда уровней иерархии.
На любом уровне иерархии объект проектирования представляют в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают ММ
элементов и систем.
Понимание физических процессов и точность описания объекта растет с переходом к
нижним уровням иерархии.
Общие цели и
задачи функционирования системы более полно раскрываются на начальных уровнях.
Одним из иерархических подходов является подход, реализующий принцип «
от
простого – к сложному
», когда следующий шаг делается после достаточно подробного изучения не очень сложной модели. При этом возникает цепочка все более полных и точных моделей, каждая из которых обобщает предыдущие.
При переходе к
более высокому иерархическому уровню блочного структурирования система низшего уровня становится элементом системы нового уровня и наоборот, при переходе к низшему уровню элемент становится системой. Обычно, чем ниже уровень иерархии блочного структурирования ТО,
тем более детальное описание его физических свойств.

Иерархия ММ часто строится и по противоположному принципу «
от сложного – к простому
».
В
этом случае из наиболее точно описывающей исследуемый процесс и
сложной модели при соответствующих упрощениях получается последовательность все более простых (но имеющих уменьшающуюся область применимости) моделей.
В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств
ТС
различают
три
основных
иерархических уровня: верхний
(
метауровень)
;
средний
(макроуровень)
;
нижний
(микроуровень)

Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование,
разработка концепции и
технического решения,
разработка технического предложения.
Для построения
ММ
метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов,
математической логики, теории автоматического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов.
На
макроуровне
объект проектирования рассматривают как динамическую систему с
сосредоточенными параметрами
(непрерывные системы). Эти модели используют при определении параметров ТО и его функциональных элементов.
На микроуровне объект представляется как сплошная среда с распределенными параметрами.
Для описания процессов функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы ТС, называемые
базовыми
элементами (примерами таких элементов являются корпусные детали, валы, лемеха, сферические диски и др. )

При этом базовый элемент рассматривается как система,
состоящая из множества однотипных функциональных элементов одной и
той же физической природы,
взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней среды и других элементов ТО,
также являющихся внешней средой по отношению к базовому элементу.
На
микроуровне
осуществляется детальное описание физических свойств ТО. Объекты рассматриваются как сплошные среды,
имеющие конечные области определения, выделяемые в трехмерном геометрическом пространстве.
Функционирование
таких
систем
описывается
дифференциальными уравнениями в частных производных.
Исследуемые объекты – отдельные детали машин и механизмов, у которых принимаются в расчет все геометрические размеры и
другие существенные параметры,
например,
теплофизические свойства и
структура материала.

Общий вид ММ, описывающей физические свойства ТО с распределенными параметрами, может быть представлен в виде системы n независимых уравнений
Независимыми переменными в
этих моделях являются пространственные координаты x
i
, i = 1, 2
…n и время t.
Модели микроуровня универсальны, поскольку дают наиболее полное описание физических свойств
ТО.
Однако они чрезвычайно сложны даже для отдельного элемента машины или механизма и требуют значительных затрат времени на их составление.
Поэтому при моделировании достаточно сложных ТО и ТП
приходится принимать ряд допущений и
упрощений и
переходить к моделированию на макроуровне.

Объекты моделирования на макроуровне рассматриваются как сложные системы,
состоящие из совокупности взаимодействующих элементов. Объект здесь имеет сложную неоднородную структуру, состоящую из элементов – объектов проектирования микроуровня, которые рассматриваются как неделимые единицы.
Математической моделью объектов на макроуровне является система обыкновенных дифференциальных уравнений где t – независимая переменная – время; V – вектор фазовых координат, который требуется определить в процессе решения задачи.

Лекция № 2 КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ.
СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ЕЕ ПОСТРОЕНИЕ.
Все
математические
модели
по использованному формальному языку можно разбить на аналитические и
имитационные.
Аналитические
–
модели,
в которых используется стандартный математический язык.
Имитационные
–
модели,
в которых использован специальный язык моделирования или универсальный язык программирования.
Аналитические модели могут быть записаны в виде формул или уравнений. Если какой-либо процесс не может быть описан в виде аналитической модели, его описывают с помощью специального алгоритма или программы. Такая модель является имитационной.

Аналитическая модель движения гибкого рабочего органа кустореза
































/
)
sin(
)
(
)
(
,
/
)
cos(
)
cos(
,
/
)
cos(
)
sin(
_
2 1
2 1
1 1
k
k
b
k
k
k
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
R
r
t
y
y
x
x
z
R
r
t
t
t
r
y
R
r
t
t
t
r
x







2 1
2 1
2 1
)
(
)
(
)
(









k
k
k
k
k
k
k
z
z
y
y
x
x
R





























).
sin(
)
(
)
(
);
cos(
)
cos(
);
cos(
)
sin(
_
2 1
2 1
1 1
t
y
y
x
x
z
t
t
t
r
y
t
t
t
r
x
b
k
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
к
к
k
k
k





















),
sin(
);
cos(
);
sin(
_
t
r
z
t
r
y
t
r
x
b
k
k
k
k
k
k
k
k
k














),
cos(
);
sin(
t
r
y
t
r
t
u
x
п



Математические модели
Аналитические
Имитационные
Теоретические
Эмпирические
Теоретические
Линейные
Нелинейные
Нелинейные
Статические
Динамические
Динамические
Детерминированные
Стохастические
Детерминированные
Аналитически разрешимые
Численно разрешимые
Численно разрешимые

Аналитические модели разбиваются на теоретические и эмпирические
модели. Теоретические модели отражают реальные структуры и процессы в исследуемых объектах, то есть, опираются на теорию их работы. Эмпирические модели строятся на основе изучения реакций объекта на изменение условий окружающей среды. При этом теория работы объекта не рассматривается, сам объект представляет собой так называемый «черный ящик», а модель –
некоторую интерполяционную зависимость. Эмпирические модели могут быть построены на основе экспериментальных данных, получаемых непосредственно на исследуемых объектах или с помощью их физических моделей.
По форме описания аналитические модели подразделяются на линейные и
нелинейные.
Если все входящие в модель величины не зависят от времени – это статическая
модель объекта или процесса, в противном случае получаем динамическую
модель.
В детерминированных моделях все взаимосвязи, переменные и константы заданы точно, что приводит к однозначному определению результирующей функции. Если часть или все параметры, входящие в модель по своей природе являются случайными величинами или случайными функциями, то модель относят к классу стохастических моделей.
В стохастических моделях задаются законы распределения случайных величин, что приводит к вероятностной оценке результирующей функции.
Если аналитическое исследование может быть доведено до конца, модели называются аналитически разрешимыми. В противном случае говорят о
численно разрешимых аналитических моделях.

СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И ЕЕ ПОСТРОЕНИЕ
Структура технического объекта (ТО) характеризуется качественным и
количественным составом элементов и их взаиморасположением или взаимосвязями. Качественное различие элементов определяется их физическими свойствами.
Количественно
физические свойства элементов выражаются некоторыми скалярными величинами,
называемыми параметрами элементов.
В общем случае изучаемый ТО количественно можно охарактеризовать
внутренними, внешними и выходными параметрами. Одни и те же физические, механические и/или информационные характеристики ТО
в моделях различного уровня и содержания могут выполнять роль как внешних или внутренних, так и выходных параметров.
Внутренние параметры – это параметры элементов, из которых состоит технический объект.
Например, двигатель и трансмиссия являются
элементами автомобиля. Их выходные параметры – мощность двигателя,
передаточные числа трансмиссии, и одновременно это внутренние параметры
автомобиля.
Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры – свойства его элементов.

Внешние параметры – это параметры внешней среды, оказывающей влияние на функционирование ТО.
Например, внешней средой для
автомобиля является дорога и воздушная среда.
При проектировании значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку
ТО,
тогда как внешние параметры характеризуют условия его функционирования.
Величины,
характеризующие состояние
ТО
в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми
координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. В отличие от геометрического, оно многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат.
Обычно в уравнениях ММ фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными
координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Построение любой математической модели можно условно представить состоящим из 7 этапов.