Файл: Лекция 3 иерархия математических моделей.pdf

1.
Содержательная постановка задачи моделирования: перечень сформулированных в содержательной форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих исследователя.
Основным назначением этого этапа является анализ неопределенностей и формализация понятия цели моделирования.
2.
Концептуальная постановка задачи моделирования – это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики,
математики, теоретической механики и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих исследователя, и совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.
На этом этапе строится некоторая идеализированная модель объекта, для чего формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с
окружающей средой,
изменении внутренних параметров.
Например, могут быть сделаны следующие предположения относительно физических
свойств объекта: невесомый стержень, прямолинейное распространение световых
лучей и т.д.
Таким образом, отбрасываются все факторы и эффекты, которые представляются не самыми существенными при функционировании объекта моделирования, и выделяются наиболее значимые для целей исследования его свойства и связи.

3.
Математическая постановка задачи моделирования – это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.
На этом этапе осуществляется выбор и
формулировка закона
(вариационного, аналогии, закона сохранения и т.п.), которому подчиняется объект, и его запись в математической форме:
выбирается (или строится) «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме его важнейшие свойства.
4.
Выбор и обоснование метода решения задачи.
Выбор метода исследования в значительной степени зависит от квалификации и опыта членов рабочей группы. Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей.
5.
Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ
(численный эксперимент, аналитические исследования).
При использовании современных математических пакетов (MathCAD, MatLab,
Maple, Excel и т.д.) существенно ускоряется выполнение данного пункта.

6.
Проверка адекватности модели.
Проверка адекватности модели преследует две цели:
1)
Убедиться в
справедливости совокупности гипотез,
сформулированных на этапах концептуальной и математических постановок.
2)
Установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании.
Проверка разработанной модели выполняется путем сравнения с экспериментальными данными о
реальном объекте или с
результатами других хорошо себя зарекомендовавших ММ.
В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором – о сравнении с результатами решения тестовой задачи.

7.
Практическое использование построенной модели и анализ
результатов моделирования.
Данный этап включает оценку и обобщение результатов вычислений по следующим направлениям:
-
Выявление закономерностей, которые позволяют оптимизировать или уточнить исследуемый процесс;
-
Уточнение области применения модели и оценка возможности ее упрощения с целью повышения эффективности при сохранении требуемой точности;
-
Возможности дальнейшего развития модели;
-
Проведение параметрических исследований с целью определения влияния отдельных характеристик системы или процесса на выходные параметры, которые определяются в результате моделирования.

Л№1
ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В МОДЕЛИРОВАНИИ
При создании машин, технических комплексов и других объектов широко используется моделирование. Как средство познания и преобразования материального мира, моделирование применяется в экспериментальных и теоретических научных исследованиях.
Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его
моделью
и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.
Модель
—
это физический или абстрактный образ моделируемого объекта,
удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.
Удобство проведения исследований определятся различными факторами:
легкостью и
доступностью получения информации;
сокращением сроков и
уменьшением материальных затрат на исследование.

Различают моделирование предметное и абстрактное.
При предметном моделировании строят физическую
модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и
характеристики моделируемого объекта.
При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом
(например, электронная модель гидравлической или механической системы).
Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим.
Физическое
моделирование
широко
применялось
до
недавнего времени при создании сложных технических
объектов.
Обычно
изготавливался
макетный
или
опытный образец технического объекта, проводились
испытания, в процессе которых определялись его
выходные параметры и характеристики, оценивались
надежность функционирования и степень выполнения
технических требований, предъявляемых к объекту.

Если
вариант
технической
разработки
оказывался
неудачным,
все
повторялось
сначала,
т.е.
осуществлялось
повторное
проектирование,
изготовление опытного образца, испытания и т.д.
Физическое моделирование сложных технических систем
сопряжено с большими временными и материальными
затратами.
Абстрактное моделирование связано с построением
абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т.п.
Наиболее мощным и
универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование
Оно широко используется как в научных
исследованиях, так и при проектировании.
Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и
зависимостей составить описание функционирования ТО в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики,
получить оценку показателей эффективности и качества,
осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта.

Применение математического моделирования при проектировании в большинстве
случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно
сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических
объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных
компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая
модель.
«
Математическая модель»
— это приближённое
описание какого-либо класса явлений внешнего
мира, выраженное с помощью математической
символики.
«Математическая модель технического объекта»
есть
совокупность
математических
объектов
(чисел,
переменных,
матриц,
множеств и т.п.) и отношений между ними,
которая адекватно отображает свойства
технического
объекта,
интересующие
инженера, разрабатывающего этот объект.
Математические модели могут представлять собой системы дифференциальных уравнений
(обыкновенных или в частных производных), системы алгебраических уравнений,
простые, алгебраические выражения, бинарные отношения, матрицы и др.

Основные свойства технических моделей
Из основных свойств моделей,
важных для практического их использования, целесообразно выделить следующие:
-
«Адекватность».
-
«Точность».
-
«Практическая ценность».
-
«Удобство использования».
Под адекватностью понимается не столько максимальное соответствие модели самому объекту моделирования, а прежде всего, наличие в модели свойств, соответствующих цели моделирования, параметров,
необходимых и достаточных для успешного решения задач научного исследования или инженерно-технической разработки.
Например, плоские географические карты позволяют изучать местность или прокладывать курс судна, но при этом более компактны и удобны в использовании, чем глобус.
Точность и подробность - количественные характеристики
сходства свойств модели и отображаемого физического объекта (или процесса). Точность неразрывно связана с адекватностью и является ее составляющей.
Подробность модели также непосредственно влияет на ее точность, но не всегда является ее прямым синонимом. Даже очень подробные модели могут быть неточны в силу сделанных погрешностей и допущений.

Таким образом, в практической инженерной деятельности всегда уместны вопросы:
-
Какие сделаны допущения и упрощения в модели?
-
Насколько модель адекватна?
-
Насколько модель точна?
-
Как оценить погрешность моделирования?
Практическую ценность и удобство использования
модели можно объективно оценить, сравнивая затраты на получение новой информации с
применением альтернативных вариантов моделей или субъективно в виде экспертной оценки.
Например,
в
общей
теории
моделирования
систем
предлагаются
научно
обоснованные
методики
оценки
моделей,
практические
рекомендации
по
организации моделирования и обработки полученных результатов.

































/
)
sin(
)
(
)
(
,
/
)
cos(
)
cos(
,
/
)
cos(
)
sin(
_
2 1
2 1
1 1
k
k
b
k
k
k
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
R
r
t
y
y
x
x
z
R
r
t
t
t
r
y
R
r
t
t
t
r
x







2 1
2 1
2 1
)
(
)
(
)
(









k
k
k
k
k
k
k
z
z
y
y
x
x
R





























).
sin(
)
(
)
(
);
cos(
)
cos(
);
cos(
)
sin(
_
2 1
2 1
1 1
t
y
y
x
x
z
t
t
t
r
y
t
t
t
r
x
b
k
k
k
k
k
k
к
к
k
k
k
к
к
k
k
k





















),
sin(
);
cos(
);
sin(
_
t
r
z
t
r
y
t
r
x
b
k
k
k
k
k
k
k
k
k














),
cos(
);
sin(
t
r
y
t
r
t
u
x
п



Принципы математического моделирования
1.
Принцип информационной достаточности.
При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно.
При наличии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла.
Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе
(уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель.
2.
Принцип осуществимости.
Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с
вероятностью,
существенно отличающейся от нуля, и за конечное время.
Обычно задают некоторое пороговое значение Р
0
вероятности достижения цели моделирования P(t), а также приемлемую границу t
0
времени достижения этой цели.
Модель считают осуществимой,
если может быть выполнено условиеP(t
0
)≥P
0
.

3.
Принцип множественности моделей.
(ключевой).
Создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства,
которые влияют на выбранный показатель эффективности.
Соответственно, при использовании любой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс.
4.
Принцип агрегирования.
В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы.
Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

5
. Принцип параметризации.
В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы,
характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования.
При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может за даваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы).
Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако параметризация снижает адекватность модели.

Процесс формирования математической модели и
использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием.
В
конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается
процесс
построения
математической
модели, а проведение исследований на модели в процессе проектирования называют
вычислительным
экспериментом.
Такое деление удобно для проектировщиков и функционально вполне
обосновано.
Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ
необходимо разработать
алгоритм
реализации математической модели.

Алгоритм
—
это предписание,
определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса.
Для наглядности алгоритмы представляют в виде схем или графов, иногда дают их вербальное
(словесное)
описание.
Алгоритм,
записанный в
форме,
воспринимаемой вычислительной машиной,
представляет собой программную модель.
Процесс программирования называют
программным моделированием.