Файл: Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 126
Скачиваний: 1
-
Что такое комбинаторика? -
Какие задачи называются комбинаторными? -
Назовите основные понятия комбинаторики. -
Что такое размещения, перестановки, сочетания? -
Что называется выборкой объема k? Какие выборки считают различными? -
Дайте определение символа n!. -
Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний? -
Какими свойствами обладают числа
?
-
Вычислить:
-
Найти число размещений из 10 элементов по 4. -
Решить уравнение:
-
Решить задачу:
-
Сколькими способами можно составить список из 10 человек? -
Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой? -
30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?
III. Изучение нового материала.Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события
к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. – вероятность случайного событияВероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. 0≤P(A)≤1Невозможному событию соответствует вероятность P(A)=0, а достоверному – вероятность P(A)=1теорема сложения вероятностей несовместных событий.Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:P(A+B)=P(A)+P(B);P( + +…+ =P( +P +…+P( ).Теорема сложения вероятностей совместных событий.Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)Для трех совместных событий имеет место формула:P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P(
)=1
Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается 
(A) или P(A/B).
Если A и B – независимые события, то
P(B)-
(B)=
(B).
События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.
Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A)•P(B)
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P(
)=P(
)•P(
)… P(
).
Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A)• (B)=P(B)•
(A)
IV. Применение знаний при решении типовых задач
Задача 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того
, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)=
, получим P(A)=
= 
= 0,2
Задача 2.
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение: Событие A-появление черного шара. Общее число случаев n=5+3=8
Число случаев m, благоприятствующих появлению события A, равно 3
P(A)= = 
= 0,375
Задача 3.
Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2
n=
= 
= 190
Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет
n=
= 
= 28
P(A)= = 
= 
= 0,147
Задача 4.
В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.
Задача 5.Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно Задача 6.В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.Решение: Пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получимP(AB)=P(A)•P(B)=(1/3)•(1/4)=1/12=0,083 Задача 7.В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.Решение: Введем следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна (B)=7/11.Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:P(AB)=P(A)• (B)=(2/3)•(7/11)=14/33=0,424Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.Вариант 1.
-
Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6? -
Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?
-
Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно) является делителем числа 30? -
В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?