Раздел 1. Комплексные числа.

1.1. Построение системы комплексных чисел.
1.1.1 Основные определения.
Пару действительных чисел а и b называют упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, какое – вторым.

Определение 1. Комплексным числом называется любая упорядоченная пара

действительных чисел R.

Множество всех комплексных чисел обозначается С.

Определение 2. Два комплексных числа и считают равными и

пишут = , если .

Условимся в дальнейшем комплексные числа обозначать строчными буквами греческого алфавита.

Определение 3. Пусть и - два комплексных числа.

Сумма определяется равенством

,

а произведение - равенством

.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

1. 
   (коммутативность сложения.)
   
2. 
   (коммутативность умножения).
   
3. 
   (ассоциативность сложения).
   
4. 
   (ассоциативность умножения).
   
5. 
   (дистрибутивность умножения относительно сложения).
   

---

Упражнение. Проверить свойства 1-5.

Упорядоченная пара обладает тем свойством, что сложение ее с любой другой упорядоченной парой не меняет этой пары: . Упорядоченная пара играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; называют ее нуль-парой.

Определение 4. Пусть и - два комплексных числа.

Разностью двух упорядоченных пар называют такую

упорядоченную пару , что .

Найдем x и y. Поскольку , то , т.е. , , откуда , .

Таким образом, вычитание упорядоченных пар определяется формулой

.

Определение 5. Частным двух упорядоченных пар и

называют такую упорядоченную пару , что

.

Найдем x и y. Так как

---

, то , т.е. , . Эта система имеет решение , .Если , т.е. , то частное двух упорядоченных пар определяется так: .

Из последнего равенства при , т.е. , получаем, что

.

Значит, роль единицы при делении упорядоченных пар выполняет упорядоченная пара .
1.1.2 Множество комплексных чисел как расширение множества действительных чисел.
Рассмотрим комплексные числа вида . Множество, состоящее из всех таких чисел, обозначим С^*.

Если каждому действительному числу а сопоставим комплексное число , т. е. , то получим некоторое соответствие между множеством R и множеством С^*. Это соответствие является взаимно однозначным.

Для любых двух действительных чисел а и bимеем . Если учесть, что , то можно записать . Это означает, что сумме действительных чисел а и b отвечает сумма соответствующих им комплексных чисел.

---

То же самое относится к произведению: так как и , то . Итак, произведению действительных чисел а и bотвечает произведение соответствующих им комплексных чисел.

Из сказанного следует, что если отождествить каждое действительное число а с комплексным числом , то тем самым множество R действительных чисел с его обычной арифметикой окажется как бы вложенным в множество С комплексных чисел. В этом смысле говорят, что множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел.
1.1.3 Алгебраическая форма комплексного числа.

Арифметические действия над комплексными числами.

Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.
Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида и действительным числом а, т. е. ; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествах R и С^*.

Рассмотрим упорядоченную пару . Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем , тогда .

Определение 6. Упорядоченную пару ,.удовлетворяющую

соотношению или , называют мнимой единицей.

С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как

,

---

то

.

Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары и записывать комплексное число в виде .

Определение 7. Выражение называют алгебраической формой

комплексного числа. Число а называют действительной частью,

число b – мнимой частью комплексного числа .

Если задано комплексное число , то действительную часть числа обозначают ( от франц. reele – «действительный»), а мнимую - ( от франц. imaginaire – «мнимый»). Например, , .

Если , то число - действительное; если , то число имеет вид и называется чисто мнимым.

Определение 8.Пусть . Число , отличающееся от лишь

знаком коэффициента при мнимой части, называется

сопряженнымчислу и обозначается

---

Смотрите также файлы

• Студенты это будущее каждой страны. Это молодые граждане нашего общества, полные неиссякаемой энергии и инновациооных идей, фантастических планов и благородных амбиций, надежд и мечтаний.doc

• Конструктивный и энергетический обмен веществ у микроорганизмов.docx

• Понятия ток, напряжение, мощность, цепь, коммутация Электрический ток.docx

• 4 Формы сделок с объектами недвижимости.docx

• #историярусскогохоккея Мы помним, как собирались полные стадионы.docx