ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 47
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
.
Так как
, 
, то число лежит в III четверти, поэтому 
.
Следовательно,
, где 
.
1.2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Пусть комплексное число
имеет модуль 
и главный аргумент 
. Используя формулы (4), получим
. (5)
Определение 2. Представление комплексного числа в виде (5) называется
тригонометрической формой числа .
В случае, когда - действительное число, т.е.
, тригонометрическая форма имеет вид 
при 
и 
при 
; при 
может быть каким угодно.
Для простоты письма введем сокращенное обозначение:
,
тогда тригонометрическая форма (5) примет компактный вид:
. (6)
Определение 3. Представление комплексного числа в виде (6) называется
показательной формой числа ..
Пример. Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:
1)
; 2) 
; 3) 
.
Решение. 1) Находим модуль данного числа:
. Далее, так как 
, 
, то 
. Итак,
.
2) Имеем
, 
(точка, изображающая данное число, принадлежит положительной части мнимой оси). Поэтому
.
3) Находим
, 
(данное число является отрицательным действительным числом). Значит,
.
1.2.3 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Тригонометрическую и показательную форму комплексного числа удобно использовать при выполнении операции умножения и деления комплексных чисел.
Пусть
(7)
- комплексные числа, заданные в тригонометрической форме и показательной формах. Пользуясь элементарными формулами тригонометрии и определением умножения, для произведения
в тригонометрической форме получим соотношение 
откуда
(8)
Для показательной формы имеем:
(8*)
Из равенства (8) и (8*) следует, что при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей
, (9)
а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей
. (10)
Используя метод математической индукции, можно распространить формулы (8) и (8*) на любое число п сомножителей:
(11)
или
(11*)
Пример. Выполнить умножение
.
Решение. Сначала найдем модуль и аргумент числа
. Имеем 
, 
. Запишем в тригонометрической и показательной форме:
; 
.
Теперь воспользуемся формулой (8)
или
.
Формула Муавра.
Полагая в формулах (11) и (11*)
, получим
(12)
и
(12*)
Формулы (12) и (12*) называются формулами Муавра.
Пример. Найти
.
Решение. Представим число
в тригонометрической форме и применим формулу Муавра:
Для показательной формы имеем:
.
Следовательно,
.
1.2.4 Деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Для тригонометрической формы комплексных чисел 1и2 , где
, рассмотрим число
.
Согласно правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, имеем
т.е.
или 
. Итак, для тригонометрической формы комплексных чисел имеем:
. (13)
Для показательной формы имеем
и
(13*)
Из равенств (13) и (13*) получаем, что при делении комплексных чисел
модуль частного равен отношению модулей
, (14)
а аргумент частного равен разности аргументов числителя и знаменателя
. (15)
Пример. Выполнить деление
.
Решение. Так как числа записаны в тригонометрической форме, то по формуле (13) имеем:
Запишем решение в показательной форме:
1.2.5 Извлечение корня любой степени из комплексного числа.
Пусть требуется найти все значения корня п-й степени ( п – любое натуральное число) из комплексного числа , не равного нулю. Будем решать задачу нахождения
, используя тригонометрическую форму комплексного числа.
Пусть
, число 
будем искать также в тригонометрической форме: 
. Из условия 
, используя формулу Муавра (12), находим
.
Отсюда следует, что
, 
. Из первого равенства находим, что 
, а из второго – что 
.
Таким образом, получаем следующее представление:
(k-любое целое). (16)
Может показаться, что эта формула дает для бесчисленное множество значений (так как k-любое целое). В действительности же для имеется ровно п различных значений и, чтобы получить эти значения, достаточно в правой части формулы (16) положить k равным 
.
В самом деле, точки
располагаются на окружности радиуса
с центром в начале координат. При этом, если значение k изменяется на 1, то угол 
изменяется на величину 
Так как
, , то число лежит в III четверти, поэтому .Следовательно,
, где . 1.2.2 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Пусть комплексное число
имеет модуль и главный аргумент . Используя формулы (4), получим . (5)Определение 2. Представление комплексного числа в виде (5) называется
тригонометрической формой числа .
В случае, когда - действительное число, т.е.
, тригонометрическая форма имеет вид при и при ; при может быть каким угодно.Для простоты письма введем сокращенное обозначение:
,тогда тригонометрическая форма (5) примет компактный вид:
. (6)Определение 3. Представление комплексного числа в виде (6) называется
показательной формой числа ..
Пример. Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:
1)
; 2) ; 3) .Решение. 1) Находим модуль данного числа:
. Далее, так как , , то . Итак, .2) Имеем
, (точка, изображающая данное число, принадлежит положительной части мнимой оси). Поэтому .3) Находим
, (данное число является отрицательным действительным числом). Значит, .1.2.3 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Тригонометрическую и показательную форму комплексного числа удобно использовать при выполнении операции умножения и деления комплексных чисел.
Пусть
(7)- комплексные числа, заданные в тригонометрической форме и показательной формах. Пользуясь элементарными формулами тригонометрии и определением умножения, для произведения
в тригонометрической форме получим соотношение откуда
(8)Для показательной формы имеем:
(8*)Из равенства (8) и (8*) следует, что при умножении комплексных чисел модуль произведения равен произведению модулей
, (9)а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей
. (10)Используя метод математической индукции, можно распространить формулы (8) и (8*) на любое число п сомножителей:
(11) или
(11*)Пример. Выполнить умножение
.Решение. Сначала найдем модуль и аргумент числа
. Имеем , . Запишем в тригонометрической и показательной форме: ; .Теперь воспользуемся формулой (8)
или
.Формула Муавра.
Полагая в формулах (11) и (11*)
, получим (12)и
(12*)Формулы (12) и (12*) называются формулами Муавра.
Пример. Найти
. Решение. Представим число
в тригонометрической форме и применим формулу Муавра:
Для показательной формы имеем:
.Следовательно,
.1.2.4 Деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.
Для тригонометрической формы комплексных чисел 1и2 , где
, рассмотрим число .Согласно правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, имеем
т.е.
или . Итак, для тригонометрической формы комплексных чисел имеем: . (13)Для показательной формы имеем
и
(13*)Из равенств (13) и (13*) получаем, что при делении комплексных чисел
модуль частного равен отношению модулей , (14)а аргумент частного равен разности аргументов числителя и знаменателя
. (15)Пример. Выполнить деление
.Решение. Так как числа записаны в тригонометрической форме, то по формуле (13) имеем:
Запишем решение в показательной форме:
1.2.5 Извлечение корня любой степени из комплексного числа.
Пусть требуется найти все значения корня п-й степени ( п – любое натуральное число) из комплексного числа , не равного нулю. Будем решать задачу нахождения
, используя тригонометрическую форму комплексного числа.Пусть
, число будем искать также в тригонометрической форме: . Из условия , используя формулу Муавра (12), находим .Отсюда следует, что
, . Из первого равенства находим, что , а из второго – что .Таким образом, получаем следующее представление:
(k-любое целое). (16)Может показаться, что эта формула дает для
бесчисленное множество значений (так как k-любое целое). В действительности же для имеется ровно п различных значений и, чтобы получить эти значения, достаточно в правой части формулы (16) положить k равным .В самом деле, точки
располагаются на окружности радиуса
с центром в начале координат. При этом, если значение k изменяется на 1, то угол изменяется на величину