ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.10.2023
Просмотров: 11
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Астанин Дмитрий Олегович
ДКИП-208
1.Полная группа событий - это совокупность всех возможных исходов эксперимента. Вероятность полной группы событий всегда равна 1.
Например, если при броске монеты рассматривать два исхода - выпадение орла и выпадение решки, то полная группа событий будет состоять из двух элементов: {орел, решка}. Следовательно, вероятность полной группы событий равна 1/1 = 1.
Таким образом, для любого эксперимента полная группа событий будет представлять собой все возможные исходы, а вероятность полной группы событий всегда будет равна 1.
2. Полная группа событий - это совокупность всех возможных исходов эксперимента. Вероятность полной группы событий всегда равна 1.
Например, если при броске монеты рассматривать два исхода - выпадение орла и выпадение решки, то полная группа событий будет состоять из двух элементов: {орел, решка}. Следовательно, вероятность полной группы событий равна 1/1 = 1.
Таким образом, для любого эксперимента полная группа событий будет представлять собой все возможные исходы, а вероятность полной группы событий всегда будет равна 1.
3. Если мы имеем два события A и B, то для расчета вероятности их суммы P(A ∪ B) существуют несколько теорем:
-
Теорема сложения вероятностей: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), где P(A ∩ B) - вероятность пересечения событий A и B. -
Если события A и B являются несовместными, т.е. не могут произойти одновременно, то теорему сложения можно упростить: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). -
Если у нас есть более двух событий, то теорема сложения вероятностей может быть обобщена следующим образом: P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aᵢ) = ΣP(Aᵢ) - ΣP(Aᵢ₋₁ ∩ Aᵢ) + ΣP(Aᵢ₋₂ ∩ Aᵢ₋₁ ∩ Aᵢ) - ... + (-1)^(n+1) P(A₁ ∩ A₂ ∩ ... ∩ Aₙ), где Σ - знак суммы, n - число событий. -
Если события являются попарно независимыми, т.е. наступление одного события не влияет на вероятность наступления другого, то теорему сложения можно упростить следующим образом: P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aᵢ) = ΣP(Aᵢ).
4. Существует несколько теорем для расчета вероятности произведения событий, в зависимости от того, какие условия известны.
Теорема умножения: Если А и В - два независимых события, то вероятность того, что произойдут оба события, равна произведению вероятностей каждого из событий: P(A∩B) = P(A) × P(B)
Теорема условной вероятности: Если А и В - два события, то вероятность того, что событие А произойдет при условии, что произошло событие В, равна произведению вероятности события А и вероятности того, что событие В произойдет после события А: P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Теорема о полной вероятности: Если событие В может произойти только при наступлении одного из нескольких несовместных событий А₁, А₂, ..., Аₙ, то вероятность того, что произойдет событие В, равна сумме произведений вероятности каждого из событий А₁, А₂, ..., Аₙ на вероятность того, что событие В произойдет после каждого из этих событий: P(B) = Σᵢ P(Aᵢ) × P(B|Aᵢ)
5. Формула полной вероятности - это один из методов решения задач на вычисление вероятности события, которые требуют знания вероятности различных взаимоисключающих событий.
Формула полной вероятности гласит: если имеется некоторое событие A, которое может произойти по разным причинам (независимым или зависимым), то вероятность наступления события A можно вычислить как сумму произведений вероятности каждой из возможных причин на вероятность наступления события A при данной причине.
Условия применения формулы полной вероятности:
1.Событие A может произойти по разным причинам (независимым или зависимым).
2.Все возможные причины происхождения события A известны.
3.Для каждой причины известна вероятность наступления этой причины.
4.Для каждой причины известна вероятность наступления события A при данной причине.
6. Формула Байеса используется для решения задач на обратную вероятность, то есть для определения вероятности того, что какое-то событие произошло, при условии, что произошло другое событие.
Формула Байеса имеет следующий вид: P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B), где:
-
P(A|B) - вероятность события A при условии, что произошло событие B (условная вероятность). -
P(B|A) - вероятность события B при условии, что произошло событие A (условная вероятность). -
P(A) - вероятность события A (априорная вероятность). -
P(B) - вероятность события B (апостериорная вероятность).
7. Схема повторных испытаний Бернулли - это последовательность из n независимых испытаний, каждое из которых имеет только два возможных исхода (успех или неудача) с фиксированными вероятностями успеха и неудачи p и q соответственно.
8. Интегральная теорема Муавра-Лапласа (или центральная предельная теорема) - это математическое утверждение, которое гласит, что при выполнении некоторых условий сумма большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин будет приближенно нормально распределенной случайной величиной.
Точнее, пусть X_1, X_2, ..., X_n - независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным средним (математическим ожиданием) и дисперсией. Обозначим их среднее значение как S_n = (X_1 + X_2 + ... + X_n) / n. Тогда, если n достаточно велико, то распределение S_n приближенно нормально с математическим ожиданием E(S_n) = E(X_i) и дисперсией Var(S_n) = Var(X_i) / n.
Практическое применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа заключается в использовании ее для оценки вероятности появления определенного события. Например, можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа для определения вероятности того, что сумма бросков монеты будет лежать в определенном интервале, или для определения вероятности успеха в серии независимых испытаний.