ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 150
Скачиваний: 1
6
П ор я док
вы полне ния
.
1.
В осп ольз овать ся
следую щ и ми
соображ ени ями
.
Т ак
как
слои стый
матери ал
составлен
и з
и з отроп ных
слоев
,
т
.
е
.
в
каж дой
точке
тензор
jk
a
и меет
ви д
jk
jk
a
a
δ
⋅
=
,
то
макроскоп и чески е
коэф ф и ц и енты
теп лоп роводности
вдоль
слоев
и
в
п оп еречном
направлени и
будут
соответственно
a
a
1
=
∗
,
1
3
a
/
1
a
−
∗
=
.
Д ля
матери алов
,
и мею щ и х
объемные
конц ентраци и
и
коэф ф и ц и енты
теп лоп роводности
слоев
)
i
(
i
a
,
c
,
одноточечная
п лотность
расп ределени я
оп ределяется
соотнош ени ем
∑
=
−
⋅
=
n
1
i
)
i
(
i
1
)
a
a
(
c
)
x
(
f
δ
,
где
n
-
чи сло
слоев
с
различными
свойствами
.
Поэтому
стати сти чески е
средни е
и мею т
ви д
∑
=
⋅
=
n
1
i
)
i
(
i
a
c
a
,
( )
∑
=
=
n
1
i
i
i
a
c
a
/
1
.
Т еп ерь
точное
реш ени е
з адачи
о
нахож дени и
макроскоп и чески х
п остоянных
теп лоп роводности
двухкомп онентного
слои стого
матери ала
с
и з отроп ными
слоями
п ри ни мает
ви д
a
a
1
=
∗
;
(
)
)
3
(
1
2
2
)
3
(
2
1
j
a
c
c
a
)
a
(
c
c
a
a
⋅
−
+
⋅
⋅
−
=
∗
(2.1)
)
2
(
)
1
(
)
3
(
a
a
a
−
=
.
2.
В ырази ть
a
через
)
i
(
a
,
2
,
1
i
=
и
c
1
,
c
−
с
п омощ ь ю
соотнош ени я
∑
∫
=
⋅
=
⇒
⋅
⋅
=
n
1
i
)
i
(
i
1
a
c
a
da
)
a
(
f
a
a
, (2.2)
3.
При вести
(2.1)
к
без размерному
ви ду
.
Д ля
этого
сделать
следую щ ее
:
1)
разделить
обе
части
каж дого
и з
соотнош ени й
(2.1)
на
)
1
(
a
;
2)
ввести
п еременные
∗
∗
∗
=
1
)
1
(
1
a
a
/
a
,
∗
∗
∗
=
3
)
1
(
3
a
a
/
a
,
k
a
/
a
)
1
(
)
2
(
=
;
3)
сф ормулировать
з ави си мости
(2.1)
в
новых
п еременных
,
т
.
е
.
установи ть
ви д
ф ункц и й
)
c
,
k
(
a
a
1
1
∗
∗
∗
∗
=
,
)
c
/
k
(
a
a
3
3
∗
∗
∗
∗
=
.
4.
Получи ть
граф и ческую
ф орму
з ави си мостей
и з
п
.3):
: 1)
Построи ть
и
и сследовать
п оверхности
)
c
,
k
(
a
a
1
1
∗
∗
∗
∗
=
)
c
/
k
(
a
a
3
3
∗
∗
∗
∗
=
;
7
2)
Построи ть
в
одной
коорди натной
п лоскости
кри вые
)
c
(
a
a
1
1
∗
∗
∗
∗
=
для
двух
случаев
•
1
k
0
≤
<
•
1
k
≥
3)
Построи ть
в
одной
коорди натной
п лоскости
кри вые
,
)
c
(
a
a
3
3
∗∗
∗∗
=
для
двух
случаев
•
1
k
0
≤
<
•
1
k
≥
5.
П р ове ст и
а на лиз
получе нны х
за висимост е й
и
от ве т ит ь
на
сле дующ ие
вопр осы
:
q
К ак
з ави си т
скорость
и з менени я
)
k
(
a
a
1
1
∗
∗
∗
∗
=
,
)
k
(
a
a
3
3
∗
∗
∗
∗
=
от
конц ентраци и
с
?
q
К ак
влияет
вари ант
выбора
комп оз и ц и и
на
ее
макроскоп и чески е
характери сти ки
(
п о
рез ультатам
п
.
п
. 3)
и
4) )?.
П р име р
.
Н а
ри с
.4.2.1.
п ри ведены
кри вые
з ави си мости
комп онент
макроскоп и ческого
тенз ора
теп лоп роводности
слои стого
матери ала
,
состоящ его
и з
и з отроп ных
слоев
,
от
конц ентраци и
.
К ри вые
п олучены
на
основе
точного
реш ени я
.
К ак
ви дно
,
п ри
всех
з начени ях
конц ентраци и
вели чи на
коэф ф и ц и ента
теп лоп роводности
в
направлени и
слоев
больш е
,
чем
в
п оп еречном
направлени и
.
При
з начени ях
конц ентраци и
,
п ревыш аю щ и х
0,5,
скорость
и з менени я
комп оненты
3
a
з начи тельно
увеличи вается
с
ростом
c
.
О чеви дно
,
сущ ествует
некоторое
з начени е
c
,
п ри
котором
разни ц а
меж ду
1
a
и
3
a
станови тся
макси мальной
.
Ри с
.4.2.1.
1
0.2
a1 c 0.2
,
(
)
a3 c 0.2
,
(
)
1
0
c
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
a1(
с
,0.2)
а
3(
с
,0.2)
8
Н а
ри с
.4.2.2.
п редставлены
кри вые
з ави си мости
комп оненты
3
a
макроскоп и ческого
коэф ф и ц и ента
теп лоп роводности
слои стого
двухкомп онентного
комп оз и ц и онного
матери ала
от
без размерной
характери сти ки
k
п ри
различных
з начени ях
конц ентраци и
c
.
В се
кри вые
и мею т
монотонный
характер
.
При
( )
1
,
0
k
∈
сущ ествует
некоторое
з начени е
,
п ри
котором
разброс
меж ду
величи нами
коэф ф и ц и ента
теп лоп роводности
Ри с
.4.2.2.
К ри вые
з ави си мости
комп оненты
3
a
макроскоп и ческого
коэф ф и ц и ента
теп лоп роводности
слои стого
двухкомп онентного
комп оз и ц и онного
матери ала
от
без размерной
характери сти ки
k
.
Прерыви стая
лини я
соответствует
составляю щ ей
тенз ора
коэф ф и ц и ентов
теп лоп роводности
вдоль
слоев
,
сп лош ная
лини я
–
составляю щ ей
в
п оп еречном
направлени и
.
3.
Л а бора т орн а я
ра бот а
№
3.
М акроскоп и чески й
тенз ор
коэф ф и ц и ентов
теп лоп роводности
слои стого
матери ала
(
корреляц и онное
п ри ближ ени е
).
З а да ние
.
И сследовать
макроскоп и чески е
характери сти ки
тенз ора
коэф ф и ц и ентов
теп лоп роводности
двухкомп онентного
слои стого
матери ала
с
и з отроп ными
слоями
,
п олученные
в
корреляц и онном
п ри ближ ени и
.
П ор я док
вы полне ния
.
1.
В осп ольз овать ся
п ри ближ енным
методом
реш ени я
з адачи
.
Д ля
комп оз и ц и онных
матери алов
,
состоящ и х
и з
и з отроп ных
комп онентов
,
1.923
0.0
a3t k 0.2
,
(
)
a3t k 0.4
,
(
)
a3t k 0.6
,
(
)
a3t k 0.8
,
(
)
2.50
0
k
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
а
3(
к
,0.2)
а
3(
к
,0.4)
а
3(
к
,0.6
)
а
3(
к
,0.8)
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1.25 2.5
9
выраж ени я
для
математи ческого
ож и дани я
комп онент
вектора
п отока
теп ла
и
уравнени е
теп лоп роводности
относи тельно
ф луктуаци й
темп ературы
и мею т
ви д
j
,
0
j
,
j
a
a
q
Θ
Θ
⋅
−
⋅
−
=
.
))
(
a
(
a
k
,
0
k
,
k
,
0
0
kk
,
Θ
Θ
Θ
+
−
=
⋅
(3.1)
В ведем
корреляц и онные
ф ункц и и
)
y
(
S
)
x
(
a
)
y
x
(
0
0
=
⋅
+
Θ
)
y
(
K
)
x
(
a
)
y
x
(
a
0
0
=
⋅
+
, (3.2)
которые
в
си лу
однородности
рассматри ваемых
случайных
п олей
з ави сят
только
от
разности
коорди нат
двух
точек
y
.
Первое
и з
уравнени й
(3.1)
п ри
этом
мож но
з апи сать
в
ви де
).
0
(
S
a
q
ij
j
,
j
−
⋅
−
=
Θ
(3.3)
У множ и м
второе
и з
уравнени й
(3.1),
вз ятое
в
точке
x
,
на
)
y
x
(
x
0
+
и
п роведем
стати сти ческое
осреднени е
.
Пренебрегая
моментами
треть его
п орядка
,
т
.
е
.
ограни чи ваясь
корреляц и онным
п ри ближ ени ем
,
п олучаем
ди ф ф еренц и альное
уравнени е
относи тельно
ф ункц и и
( )
y
S
k
,
kk
,
kk
,
K
S
a
Θ
⋅
−
=
⋅
(3.4)
Поскольку
корреляц и онные
связ и
меж ду
рассматри ваемыми
случайными
ф ункц и ями
,
вз ятыми
в
различных
точках
,
убываю т
с
увеличени ем
расстояни я
меж ду
ни ми
,
то
ф ункц и и
0
)
x
(
K
),
x
(
S
→
п ри
∞
→
x
.
Т аки м
образом
,
для
оп ределени я
макроскоп и чески х
коэф ф и ц и ентов
теп лоп роводности
необходи мо
найти
реш ени е
уравнени я
(3.4)
п ри
нулевых
услови ях
на
бесконечности
и
п одстави ть
его
в
(3.3).
В
случае
слои стой
структуры
матери ала
,
когда
коэф ф и ц и ент
теп лоп роводности
является
случайной
ф ункц и ей
одной
п еременной
,
корреляц и онные
ф ункц и и
)
x
(
K
),
x
(
S
будут
з ави сеть
только
от
коорди наты
3
y
.
В ыраж ени е
(3.3)
п ри мет
ви д
3
j
3
,
j
,
j
)
0
(
S
a
q
δ
Θ
⋅
−
−
=
, (3.5)
а
ди ф ф еренц и альное
уравнени е
(3.4)
станови тся
обыкновенным
3
,
3
,
33
,
K
S
a
Θ
−
=
. (3.6)
И нтегри руя
его
,
находи м
10
3
,
3
,
a
)
0
(
K
)
0
(
S
Θ
⋅
−
=
. (3.7)
Т еп ерь
и з
(3.5), (3.7)
п олучаю тся
з ави си мости
меж ду
средни ми
теп ловыми
п отоками
и
гради ентами
темп ературы
j
,
1
j
a
q
Θ
⋅
−
=
∗
;
3
,
1
3
a
q
Θ
⋅
−
=
∗
(
2
,
1
j
=
) , (3.8)
где
макроскоп и чески е
коэф ф и ц и енты
теп лоп роводности
и мею т
ви д
a
a
1
=
∗
,
a
)
0
(
K
a
a
3
−
=
∗
. (3.9)
Е сли
матери ал
составлен
и з
двух
комп онентов
с
объемными
конц ентраци ями
и
коэф ф и ц и ентами
теп лоп роводности
)
2
(
2
)
1
(
1
a
,
c
,
a
,
c
,
соответственно
,
то
,
п ольз уясь
п лотность ю
расп ределени я
и
соотнош ени ями
(3.9),
п олучаем
)
2
(
2
)
1
(
1
1
a
c
a
c
a
+
=
∗
;
=
)
0
(
K
2
)
2
(
)
1
(
2
1
)
a
a
(
c
c
−
. (3.10)
Т очные
реш ени я
для
двухкомп онентной
для
двухкомп онентной
слои стой
среды
мож но
п редстави ть
следую щ и м
образом
:
a
a
1
=
∗
,
)
3
(
1
2
3
a
)
c
c
(
a
)
0
(
K
a
a
⋅
−
−
−
=
∗
. (3.11)
Д ля
этого
рассмотреть
математи ческое
ож и дани е
комп онент
вектора
теп лового
п отока
j
,
0
j
,
j
a
a
q
Θ
Θ
⋅
−
⋅
−
=
соотнош ени я
)
2
(
2
)
1
(
1
1
a
c
a
c
a
+
=
∗
;
=
)
0
(
K
2
)
2
(
)
1
(
2
1
)
a
a
(
c
c
−
, (3.12)
a
a
1
=
∗
,
)
3
(
1
2
3
a
)
c
c
(
a
)
0
(
K
a
a
⋅
−
−
−
=
∗
. (3.13)
1.
При вести
(3.12) , (3.13)
к
без размерному
ви ду
Д ля
этого
сделать
следую щ ее
:
1)
разделить
обе
части
каж дого
и з
соотнош ени й
(3.13)
на
)
1
(
a
;
2)
ввести
п еременные
∗
∗
∗
=
1
)
1
(
1
a
a
/
a
,
∗
∗
∗
=
3
)
1
(
3
a
a
/
a
,
k
a
/
a
)
1
(
)
2
(
=
;
3)
сф ормулировать
з ави си мости
(3.13)
в
новых
п еременных
,
т
.
е
.
установи ть
ви д
ф ункц и й
)
c
,
k
(
a
a
1
1
∗
∗
∗
∗
=
,
)
c
/
k
(
a
a
3
3
∗
∗
∗
∗
=
.
3.
Получи ть
граф и ческую
ф орму
з ави си мостей
и з
п
.3):
1)
Построи ть
и
и сследовать
п оверхности
)
c
,
k
(
a
a
1
1
∗
∗
∗
∗
=