Файл: Первые понятия мат анализа .pdf

ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ

ÂÛÑØÅÃΠÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃΠÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

ÂÎÐÎÍÅÆÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ

ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Å. Ã. Áåëîìûòöåâà,

Í. Ì. Ðàòèíåð,

Å. Á. Òóëåíêî

ÏÅÐÂÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ

ÀÍÀËÈÇÀ

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ

Èçäàòåëüñêî-ïîëèãðàôè÷åñêèé öåíòð

Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà

2008

Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

3 èþëÿ 2008 ã., ïðîòîêî렝 7

Ðåöåíçåíò äîöåíò, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê Ë. À. Ìèíèí

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå ìàòåìàòè÷å-

ñêîé ôèçèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííî-

ãî óíèâåðñèòåòà.

Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 1-ãî êóðñà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

äíåâíîé è âå÷åðíåé ôîðì îáó÷åíèÿ.

Äëÿ ñïåöèàëüíîñòåé: 010801  Ðàäèîôèçèêà è ýëåêòðîíèêà, 010803 

Ìèêðîýëåêòðîíèêà è ïîëóïðîâîäíèêîâûå ïðèáîðû, 010701  Ôèçèêà.

2

Ââåäåíèå

Ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ñîäåðæèò âàæíûé ïîäãîòîâèòåëü-

íûé ìàòåðèàë äëÿ êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Âî-

ïåðâûõ, ýòî ïîíÿòèå ìîäóëÿ âåùåñòâåííîãî ÷èñëà è åãî

ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ. Óïðàæíåíèÿ, ïðèâåäåííûå

â ïîñîáèè, ïîçâîëÿþò ñòóäåíòàì õîðîøî óñâîèòü ïîíÿòèå

îêðåñòíîñòè òî÷êè, êîòîðîå èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü â òåî-

ðèè ïðåäåëîâ. Âî-âòîðûõ, â ïîñîáèè ðàññìàòðèâàåòñÿ ïî-

íÿòèå îòîáðàæåíèÿ äâóõ ìíîæåñòâ è, êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé,

ôóíêöèè âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé. Ïîñêîëüêó ìàòåìàòè-

÷åñêèé àíàëèç, ïî ñóòè, ÿâëÿåòñÿ íàóêîé î ñâîéñòâàõ ôóíê-

öèè, òî ýòî öåíòðàëüíûé âîïðîñ êóðñà. Îáñóæäàåòñÿ âàæ-

íîå è ñëîæíîå ïîíÿòèå îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ (ôóíêöèè),

ðàññìîòðåíû ïðèìåðû îáðàòíûõ ôóíêöèé. Îñîáîå âíèìà-

íèå óäåëåíî ãðàôèêó ôóíêöèè è íåêîòîðûì ïðèåìàì åãî

ïîñòðîåíèÿ. Ñëåäóþùèé âîïðîñ, ðàññìîòðåííûé â ïîñî-

áèè  õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îñ-

íîâàííûé íà ýòîì ñâîéñòâå ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóê-

öèè è ôîðìóëà áèíîìà Íüþòîíà, ïðèâåäåííàÿ íå òîëüêî â

êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà ìàòåìàòè÷å-

ñêîé èíäóêöèè, íî è èìåþùàÿ áîëüøîé ñàìîñòîÿòåëüíûé

èíòåðåñ. Ïîñëåäíèé ðàçäåë ïîñîáèÿ ïîñâÿùåí êîìïëåêñ-

íûì ÷èñëàì, îïåðàöèÿì íàä íèìè, à òàêæå òðèãîíîìåò-

ðè÷åñêîé è ýêñïîíåíöèàëüíîé ôîðìå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.

Äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà îñîáåííî âàæíî ñ

ñàìîãî íà÷àëà èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîçíàêî-

ìèòüñÿ ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè è èñïîëüçîâàòü èõ â ñâî-

åé ðàáîòå. Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ èçó÷åíèÿ â ïåðâûå

íåäåëè ïåðâîãî ñåìåñòðà íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ ïî ìà-

òåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, à òàêæå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðà-

áîòû ñòóäåíòîâ.

3

1. Ìîäóëü âåùåñòâåííîãî ÷èñëà

Îïðåäåëåíèå 1. Ìîäóëåì âåùåñòâåííîãî ÷èñëà

a

íàçû-

âàåòñÿ ñàìî ÷èñëî

a

, åñëè

a

 ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ÷èñ-

ëî ïðîòèâîïîëîæíîå

a

, åñëè

a

îòðèöàòåëüíî, íîëü, åñëè

a

= 0

.

Òàêèì îáðàçîì,

|

a

|

=







a,

åñëè

a >

0;

0

,

åñëè

a

= 0;

−

a,

åñëè

a <

0

.

Ðàññìîòðèì êîîðäèíàòíóþ ïðÿìóþ, ò. å. ïðÿìóþ, íà êî-

òîðîé âûáðàíû íàïðàâëåíèå, òî÷êà

O

 íà÷àëî êîîðäèíàò

è ìàñøòàá (ðèñ. 1). Òîãäà êàæäîìó âåùåñòâåííîìó ÷èñëó

x

ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà

M

íà ïðÿìîé, äëÿ êî-

òîðîé âåëè÷èíà íàïðàâëåííîãî îòðåçêà

OM

ðàâíà

x

. È íà-

îáîðîò, êàæäîé òî÷êå íà ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåí-

íîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Ýòî ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êîîðäèíà-

òîé òî÷êè

M

. Â òàêîì ñëó÷àå ìîäóëü ÷èñëà ïðèîáðåòàåò

ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë, à èìåííî: ìîäóëü ÷èñëà

x

 ýòî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè

M

ñ êîîðäèíàòîé

x

äî

íà÷àëà êîîðäèíàò

O

(ðèñ. 1).

Ðèñ. 1

Åñëè æå ó íàñ åñòü äâå òî÷êè íà ïðÿìîé ñ êîîðäèíàòàìè

x

è

y

, ñîîòâåòñòâåííî, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ýòèìè

òî÷êàìè ðàâíî

|

x

−

y

|

(ðèñ. 2). Äëÿ ïðîñòîòû ìû áóäåì

ãîâîðèòü: ¾òî÷êà

x

¿ âìåñòî: ¾òî÷êà

M

ñ êîîðäèíàòîé

x

¿.

Òàêèì îáðàçîì,

|

x

|

 ðàññòîÿíèå îò òî÷êè

x

äî íà÷àëà êîîðäèíàò,

|

x

−

y

|

 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè

x

è

y

.

4

O

| x – y |

Ðèñ. 2

Ýòè ñîîáðàæåíèÿ ïîìîãóò íàì ëåãêî ðåøàòü ïðîñòåéøèå

óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà ñ ìîäóëåì.

Ïðèìåð 1
Ðåøèòü óðàâíåíèå:

|

x

−

5

|

= 3

.

Óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò òå òî÷êè

x

íà êîîðäèíàòíîé

ïðÿìîé, äëÿ êîòîðûõ ðàññòîÿíèå îò òî÷êè

5

äî

x

ðàâíî

3

.

×òîáû íàéòè èõ, ìû îòñòóïèì ïî êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé íà

3

åäèíèöû âïðàâî îò òî÷êè

5

, ïîëó÷èì òî÷êó ñ êîîðäèíàòîé

8

, è íà òðè åäèíèöû âëåâî, ïîëó÷èì òî÷êó ñ êîîðäèíàòîé

2

(ðèñ. 3).

-2    -1       0       1       2       3       4       5       6       7       8

O

3 åä.

3 åä.

Ðèñ. 3

Îòâåò:

x

= 2

,

x

= 8

.

Ïðèìåð 2
Ðåøèòü íåðàâåíñòâî:

|

x

+ 2

|

<

4

.

Ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî â âèäå

|

x

−

(

−

2)

|

<

4

. Åìó óäî-

âëåòâîðÿþò òå òî÷êè

x

, äëÿ êîòîðûõ ðàññòîÿíèå îò òî÷-

êè

(

−

2)

äî

x

ìåíüøå

4

. ×òîáû íàéòè èõ, ìû îòñòóïèì ïî

êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé íà

4

åäèíèöû âïðàâî îò òî÷êè

(

−

2)

,

ïîëó÷èì òî÷êó ñ êîîðäèíàòîé

2

, è íà

4

åäèíèöû âëåâî, ïî-

ëó÷èì òî÷êó ñ êîîðäèíàòîé

(

−

6)

. Íåðàâåíñòâó óäîâëåòâî-

ðÿþò âñå

x

, ëåæàùèå íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé ìåæäó

(

−

6)

è

2

(ðèñ. 4).

Îòâåò:

x

∈

(

−

6

,

2)

.

5