ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 153
Скачиваний: 1
4.
Численное интегрирование
Пусть на отрезке
[
a, b
]
задана функция
y
=
f
(
x
)
. Разобьем отрезок
на
n
элементарных отрезков
[
x
i
−
1
, x
i
]
(
i
= 1
,
2
, ..., n
). На каждом из этих
отрезков выберем произвольную точку
ξ
i
и составим сумму произведений
значения функции
f
(
ξ
i
)
на длину отрезка
∆
x
i
:
S
n
=
n
X
i
=1
f
(
ξ
i
)∆
x
i
,
(1)
S
n
– интегральная сумма.
Определенным интегралом от функции
f
(
x
)
на отрезке
[
a, b
]
называ-
ется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа
точек разбиения, так что длина наибольшего отрезка стремится к нулю:
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
lim
max
∆
x
i
→
0
n
X
i
=1
f
(
ξ
i
)∆
x
i
.
(2)
Во многих случаях, если подынтегральная функция задана в анали-
тическом виде, интеграл вычисляется непосредственно по формуле Нью-
тона – Лейбница
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
.
(3)
Но реально воспользоваться этой формулой получается не всегда. Ос-
новные причины:
вид функции
f
(
x
)
не позволяет выразить первообразную в элемен-
тарных функциях;
аналитический вид функции
f
(
x
)
неизвестен, известны значения функ-
ции в фиксированных точках. В этих случаях используются приближен-
ные методы интегрирования и, прежде всего, численные. Задача чис-
ленного интегрирования функции заключается в вычислении значения
определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной
функции. Численное вычисление однократного интеграла называют квад-
ратурой, двойного — кубатурой.
В случае однократного интеграла подынтегральную функцию
f
(
x
)
заменяют на рассматриваемом отрезке
[
a, b
]
интерполирующей или ап-
проксимирующей функцией
ϕ
(
x
)
, а затем приближенно полагают
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
b
Z
a
ϕ
(
x
)
dx,
(4)
причем интеграл в правой части равенства (4) вычисляется непосред-
ственно. В результате находим
b
Z
a
ϕ
(
x
)
dx
=
n
X
i
=0
α
i
y
i
.
(5)
Таким образом, мы получили, что
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
n
X
i
=0
α
i
y
i
.
(6)
Здесь
y
i
– значения функции в узлах интерполяции,
α
i
– числовые коэф-
фициенты. Формула (6) носит название квадратурная формула, правая
часть – квадратурная сумма.
В зависимости от способа ее вычисления возникают разные мето-
ды численного интегрирования – прямоугольника, трапеций, парабол,
сплайнов и т.д.
Квадратурная формула (6) может быть записана в другом виде
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
n
X
i
=0
σ
i
,
(7)
где
σ
i
– приближенное значение площади элементарной криволинейной
трапеции, соответствующей отрезку
[
x
i
−
1
, x
i
]
.
В случае, если в качестве
ϕ
(
x
)
взять многочлен Лагранжа, постро-
енный на
n
+ 1
равноотстоящих узлах, то полученные с его помощью
значения коэффициентов
α
i
в (6) вместе с самой формулой (6) образуют
т.н. формулы Ньютона – Котеса.
4.1.
Метод прямоугольников
Метод прямоугольников предполагает замену интеграла интеграль-
ной суммой
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
n
X
i
=1
f
(
ξ
i
)∆
x
i
.
(8)
Под
ξ
может пониматься как левая, так и правая граница элементар-
ных отрезков:
ξ
i
=
x
i
−
1
или
ξ
i
=
x
i
. Соответствующие формулы метода
2
прямоугольников
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
h
1
y
0
+
h
2
y
1
+
...
+
h
n
y
n
−
1
,
(9)
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
h
1
y
1
+
h
2
y
2
+
...
+
h
n
y
n
,
(10)
где
h
i
=
x
i
−
x
i
−
1
.
Более точным метод прямоугольников становится, если использовать
значения функции в средних точках элементарных отрезков
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
n
X
i
=1
h
i
f
(
x
i
−
1
/
2
)
,
(11)
где
x
i
−
1
/
2
=
x
i
−
1
+
x
i
2
=
x
i
−
1
+
h
i
2
.
В результате получаем метод средних.
4.2.
Метод трапеций
Метод прямоугольников соответствует кусочно постоянной интерпо-
ляции: на каждом отрезке функция заменяется постоянной. Метод тра-
пеций использует линейную интерполяцию – на каждом отрезке функ-
ция заменятся линейной функцией, в результате получаем ломанную, со-
единяющую узлы. В результате значение интеграла представляется как
сумма площадей элементарных трапеций.
Рис. 1. Метод трапеций
Площадь каждой трапеции
σ
i
=
y
i
−
1
+
y
i
2
h
i
,
i
= 1
, ... , n.
В результате формула трапеций для численно-
го интегрирования имеет вид
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
1
2
n
X
i
=1
h
i
(
y
i
−
1
+
y
i
)
.
(12)
3
В случае постоянного шага формула трапеций
принимает вид
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
h
y
0
+
y
n
2
+
h
n
−
1
X
i
=1
y
i
.
(13)
Очевидно, что погрешность формул прямоугольников и трапеций опре-
деляется шагом интегрирования. С уменьшением шага увеличивается
точность вычисления интеграла. Если увеличение числа точек невоз-
можно (функция задана в табличном виде), повышения точности можно
достичь, увеличивая степень используемых интерполяционных много-
членов.
4.3.
Метод Симпсона
Разобьем отрезок интегрирования
[
a, b
]
на четное число равных ча-
стей с шагом
h
:
[
x
0
, x
2
]
,
[
x
2
, x
4
]
, ... ,
[
x
i
−
1
, x
i
+1
]
, ... ,
[
x
n
−
2
, x
n
]
,
n
– четное
число. На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим интер-
поляционным многочленом второй степени
f
(
x
)
≈
ψ
i
(
x
) =
a
i
x
2
+
b
i
x
+
c
i
.
В качестве
ψ
i
(
x
)
можно взять интерполяционный многочлен Лагранжа,
проходящий через точки
(
x
i
−
1
, y
i
−
1
)
,
(
x
i
, y
i
)
,
(
x
i
+1
, y
i
+1
)
ψ
i
(
x
) =
(
x
−
x
i
)(
x
−
x
i
+1
)
(
x
i
−
1
−
x
i
)(
x
i
−
1
−
x
i
+1
)
y
i
−
1
+
+
(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
+1
)
(
x
i
−
x
i
−
1
)(
x
i
−
x
i
+1
)
y
i
+
(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
)
(
x
i
+1
−
x
i
−
1
)(
x
i
+1
−
x
i
)
y
i
+1
=
=
1
2
h
2
{
(
x
−
x
i
)(
x
−
x
i
+1
)
y
i
−
1
−
2(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
+1
)
y
i
+
+(
x
−
x
i
−
1
)(
x
−
x
i
)
y
i
+1
}
.
(14)
Площадь криволинейной трапеции, соответствующей отрезку
[
x
i
−
1
, x
i
+1
]
,
можно найти с помощью определенного интеграла
s
i
−
1
,i
+1
=
x
i
+1
Z
x
i
−
1
ψ
i
(
x
)
dx
=
h
3
(
y
i
−
1
+ 4
y
i
+
y
i
+1
)
.
(15)
Его вычисление можно провести в системе Maple. Аналогично можно
вычислить такие интегралы для каждого элементарного отрезка и ре-
зультаты просуммировать. В итоге получим
S
=
h
3
(
y
0
+ 4
y
1
+ 2
y
2
+ 4
y
3
+ 2
y
4
+
...
+ 2
y
n
−
2
+ 4
y
n
−
1
+
y
n
)
.
4
Таким образом, мы получили формулу Симпсона (или формулу парабол)
b
Z
a
f
(
x
)
dx
≈
h
3
{
y
0
+ 4(
y
1
+
y
3
+
...
+
y
n
−
1
)+
+ 2(
y
2
+
y
4
+
...
+
y
n
−
2
) +
y
n
}
.
(16)
4.4.
Метод Гаусса
Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на
равные промежутки. Формулы численного интегрирования интерполя-
ционного типа ищутся такими, чтобы они обладали наивысшим поряд-
ком точности при заданном числе узлов.
Задача ставится таким образом: нужно подобрать узлы
t
1
, t
2
, ..., t
n
и
коэффициенты
α
1
, α
2
, ..., α
n
таким образом, чтобы квадратурная форму-
ла
1
Z
−
1
f
(
t
)
dt
=
n
X
i
=1
α
i
f
(
t
i
)
(17)
была точной для всех полиномов
f
(
t
)
наивысшей возможной степени
N
. Так как мы имеем
2
n
постоянных
t
i
,
α
i
, а полином степени
2
n
−
1
определяется
2
n
коэффициентами, то эта наивысшая степень будет равна
N
= 2
n
−
1
.
В частности, необходимо, чтобы равенство (17) было верным при
f
(
t
) = 1
, t, t
2
, ..., t
2
n
−
1
.
(18)
Подставляя последовательно
f
(
t
)
из (18) в (17) и учитывая, что
1
Z
−
1
t
k
dt
=
1
−
(
−
1)
k
+1
k
+ 1
=
2
k
+ 1
,
при
k
четном
;
0
,
при
k
нечетном
,
(19)
5