Файл: Нов-ПМС-1.pdf

Н.М. Новикова  С.Л. Подвальный

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

СТАТИСТИКА  

Часть 1 

Учебное пособие

Воронеж 2012 

2 

УДК 681.3 

Новикова  Н.М.  Прикладная  математическая  статистика  

учеб.  пособие  /  Н.М.  Новикова,  С.Л.  Подвальный  Воронеж: 
ФГБОУ  ВПО  «Воронежский  государственный  технический 
университет», 2012. Ч.1. 164 с. 

В учебном пособии рассматриваются методы прикладной 

математической  статистики,  которые  реализуются  в  виде 
алгоритмов 

программного 

обеспечения 

обработки 

экспериментальных данных, приводятся  задачи с решениями.  

Издание  соответствует  требованиям  Федерального 

государственного 

образовательного 

стандарта 

высшего 

профессионального  образования  по  направлению  230100 
«Информатика  и  вычислительная  техника»  (магистерская 
программа  подготовки  «Распределенные  автоматизированные 
системы»;  профиль  подготовки  бакалавров  «Вычислительные 
машины,  комплексы,  системы  и  сети»)  дисциплине 
«Обработка экспериментальных данных».  

 
Табл. 3. Ил. 15. Библиогр.: 12 назв. 

Рецензенты:  кафедра  цифровых  технологий  Воронежского 

государственного университета  

                          (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук,  
                          проф. С.Д. Кургалин); 

                                    д-р физ.-мат.наук, проф. В.В. Провоторов 
                                      
                                    © Новикова Н.М., Подвальный С.Л., 2012 
                                           © Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский  
                                        государственный технический универ- 
                                        ситет», 2012 
 
 
 

3 

ВВЕДЕНИЕ 

Прикладная 

математическая 

статистика 

– 

математическая 

дисциплина, 

родственная 

теории 

вероятностей.  Под  прикладной  математической  статистикой 
понимают «раздел математики, посвященный математическим 
методам  сбора,  систематизации,  обработки  и  интерпретации 
статистических  данных,  а  также  использование  их  для 
научных 

или 

практических 

выводов. 

Фундаментом 

прикладной  статистики  является  математическая  статистика. 
Правила  и  процедуры  математической  статистики  опираются 
на  теорию  вероятностей,  позволяющую  оценить  точность  и 
надежность  выводов,  получаемых  в  каждой  задаче  на 
основании  имеющегося    статистического  материала».  Такое 
определение  дает  Гнеденко  Б.В.  Статистическими  данными 
называются сведения о числе объектов в какой-либо более или 
менее обширной совокупности, обладающих теми или иными 
признаками. 

По  типу  решаемых  задач  математическая  статистика 

обычно делится на три раздела: описание данных, оценивание 
и проверка гипотез. 

По  виду  обрабатываемых  статистических  данных 

математическая статистика делится на четыре направления: 



одномерная 

статистика 

(статистика 

случайных 

величин), в которой результат наблюдения описывается 
действительным числом; 



многомерный  статистический  анализ,  где  результат 
наблюдения  над  объектом  описывается  несколькими 
числами (вектором); 



статистика  случайных  процессов  и  временных  рядов, 
где результат наблюдения – функция; 



статистика  объектов  нечисловой  природы,  в  которой 
результат  наблюдения  имеет  нечисловую  природу, 
например,  является  множеством  (геометрической 
фигурой),  упорядочением  или  получен  в  результате 
измерения по качественному признаку. 

4 

Сначала  появились  некоторые  области  математической 

статистики,  исследующие    объекты  нечисловой  природы  (в 
частности, задачи оценивания доли брака и проверки гипотез о 
ней), 

и 

одномерная 

математическая 

статистика. 

Математический  аппарат  для  них  проще,  поэтому  на  их 
примере 

обычно 

демонстрируют 

основные 

идеи 

математической  статистики.  Следует  отметить,  что  лишь  те 
методы  обработки  данных,  т.е.  математической  статистики, 
являются 

доказательными, 

которые 

опираются 

на 

вероятностные  модели  соответствующих  реальных  явлений  и 
процессов.  Вероятностную  модель  реального  явления  следует 
считать построенной, если рассматриваемые величины и связи 
между  ними  выражены  в  терминах  теории  вероятностей. 
Соответствие  вероятностной  модели  реальности,  т.е.  ее 
адекватность,  обосновывают,  в  частности,  с  помощью 
статистических методов проверки гипотез.  

Вероятностные  и  статистические  методы  применимы 

всюду,  где  удается  построить  и  обосновать  вероятностную 
модель  случайного  явления  или  процесса.  Их  применение 
обязательно,  когда  сделанные  на  основе  выборочных  данных 
выводы  переносятся  на  всю  совокупность  (например,  с 
выборки на всю партию продукции).  

Методы  математической  статистики  находят  широкое 

применение.  В  конкретных  областях  используются  как 
вероятностно-статистические  методы  широкого  применения, 
так  и  специфические.  Например,  при  статистических  методах 
управления  качеством  продукции  используют  прикладную 
математическую 

статистику 

(включая 

планирование 

экспериментов).  С  помощью  ее  методов  проводится 
статистический 

анализ 

точности 

и 

стабильности 

технологических процессов и статистическая оценка качества. 
К специфическим методам относятся методы статистического 
приемочного  контроля  качества  продукции,  статистического 
регулирования технологических процессов, оценки и контроля 
надежности  технических  устройств.  Широко  применяются 
такие  прикладные  вероятностно-статистические  дисциплины, 

5 

как  теория  надежности  и  теория  массового  обслуживания. 
Содержание  первой  из  них  ясно  из  названия,  вторая 
занимается  изучением  систем  типа  телефонной  станции,  на 
которую  в  случайные  моменты  времени  поступают  вызовы  - 
требования  абонентов,  набирающих  номера  на  своих 
телефонных  аппаратах.  Длительность  обслуживания  этих 
требований, т.е. длительность разговоров, также моделируется 
случайными величинами.  

Краткая  историческая  справка.

Математическая 

статистика  как  наука  начинается  с  работ  знаменитого 
немецкого  математика  Карла  Фридриха  Гаусса  (1777-1855), 
который  на  основе  теории  вероятностей  исследовал  и 
обосновал метод наименьших квадратов, созданный им в 1795 
г.  и  примененный  для  обработки  астрономических  данных  (с 
целью уточнения орбиты малой планеты Церера). Его именем 
часто  называют  одно  из  наиболее  популярных  распределений 
вероятностей  –  нормальное,  а  в  теории  случайных  процессов 
основным объектом изучения являются гауссовские случайные 
процессы.  

В  конце  XIX  и  в  начале  ХХ  века  крупный  вклад  в 

математическую статистику внесли английские исследователи, 
прежде всего К. Пирсон (1857-1936) и Р.А. Фишер (1890-1962). 
В  частности,  К.Пирсон  разработал  критерий  проверки 
статистических  гипотез  «хи-квадрат».  Р.А.  Фишер  предложил 
и  использовал  дисперсионный  анализ  для  обработки 
результатов  агрономических  опытов,  а  также  разработал 
теорию  планирования  экспериментов  и  метод  максимального 
правдоподобия оценки параметров. 

В  30-е  годы  ХХ  века  поляк  Ежи  Нейман  (1894-1977)  и 

англичанин  Э.  Пирсон  развили  общую  теорию  проверки 
статистических  гипотез,  а  советские  математики  академик 
А.Н. Колмогоров (1903-1987) и член-корреспондент АН СССР 
Н.В. 

Смирнов 

(1900-1966) 

заложили 

основы 

непараметрической  статистики.  В  сороковые  годы  ХХ  века 
румын 

А. 

Вальд 

(1902-1950) 

построил 

теорию 

последовательного статистического анализа. Большой вклад в