ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 154
Скачиваний: 1
получаем систему
2
n
уравнений для нахождения
t
i
и
α
i
:
n
X
i
=1
α
i
= 2
,
n
X
i
=1
α
i
t
i
= 0
,
(20)
..................
n
X
i
=1
α
i
t
2
n
−
2
i
=
2
2
n
−
1
,
n
X
i
=1
α
i
t
2
n
−
1
i
= 0
.
Для того, чтобы не находить значения коэффициентов и узлов каждый
раз, их значения табулированы для отрезка интегрирования
[
−
1
,
1]
. Про-
стой заменой переменных произвольный отрезок
[
a, b
]
может быть при-
веден к
[
−
1
,
1]
:
b
Z
a
... dx
→
1
Z
−
1
...dt,
x
=
b
+
a
2
+
b
−
a
2
t,
dx
=
b
−
a
2
dt,
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
b
−
a
2
1
Z
−
1
f
b
+
a
2
+
b
−
a
2
t
dt.
Например, для
n
= 4
узлы и коэффициенты формулы Гаусса
−
t
1
=
t
4
= 0
.
861 136 311 594 0492
−
t
2
=
t
3
= 0
.
339 981 043 584 8646
1
2
α
1
=
1
2
α
4
= 0
.
173 927 422 568 7284
1
2
α
2
=
1
2
α
3
= 0
.
326 072 577 431 2716
4.5.
Точность численного интегрирования
Можно показать, что остаточный член метода прямоугольников на
отрезке
[
a, b
]
имеет вид
|
R
пр
|
6
(
b
−
a
)
h
2
24
max
a
6
x
6
b
|
f
00
(
x
)
|
,
6
для метода трапеций
|
R
тр
|
6
(
b
−
a
)
h
2
12
max
a
6
x
6
b
|
f
00
(
x
)
|
,
для метода Симпсона
|
R
С
|
6
(
b
−
a
)
h
4
180
max
a
6
x
6
b
|
f
(4)
(
x
)
|
,
для
n
-точечного метода Гаусса
|
R
Г
|
6
2
2
n
+1
(
n
!)
4
[(2
n
)!]
3
(2
n
+ 1)
max
a
6
x
6
b
|
f
(2
n
)
(
x
)
|
,
для
n
= 4
– метода Гаусса
|
R
Г
|
6
1
3 472 875
max
a
6
x
6
b
|
f
(8)
(
x
)
|
.
4.6.
Особые случаи численного интегрирования
1. Подынтегральная функция разрывна на отрезке интегрирования.
Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования терпит
разрыв, то интеграл вычисляется численно для каждого отрезка непре-
рывности, и результаты складывают. Например, в случае одной точки
разрыва
x
=
c
(
a < c < b
)
b
Z
a
f
(
x
)
dx
=
c
Z
a
f
(
x
)
dx
+
b
Z
c
f
(
x
)
dx.
2. Несобственные интегралы.
Несобственными интегралами называются такие интегралы, которые
имеют хотя бы одну бесконечную границу интегрирования или подын-
тегральную функцию, обращающуюся в бесконечность хотя бы в одной
точке отрезка интегрирования.
В случае интеграла с бесконечным пределом
∞
Z
a
f
(
x
)
dx
можно:
а) сделать замену переменных
x
=
a
1
−
t
,
7
в результате чего мы от отрезка
[0
,
+
∞
)
переходим к
[0
,
1]
.
б) бесконечную границу заменить некоторым большим числом
A
так,
чтобы полученный результат был близок к точному.
В случае, если функция обращается в бесконечность в некоторой точ-
ке
x
=
c
конечного отрезка интегрирования, можно пробовать выделить
особенность, представив подынтегральную функцию в виде суммы двух
функций
f
(
x
) =
ϕ
(
x
) +
ψ
(
x
)
так, чтобы
ϕ
(
x
)
была ограничена, а несобственный интеграл от
ψ
(
x
)
вычислялся бы аналитически.
Возникающие в ряде задач сингулярные интегралы вида
b
Z
a
f
(
x
)
x
−
c
dx
понимаются в смысле главного значения
lim
ε
→
0
c
−
ε
Z
a
f
(
x
)
x
−
c
dx
+
b
Z
c
+
ε
f
(
x
)
x
−
c
dx
.
Этот интеграл может быть записан как сумма интеграла по отрезку,
симметричному относительно точки
c
и интеграла от гладкой функции
по оставшейся части.
4.7.
Кратные интегралы
Будем рассматривать двойные интегралы
Z Z
G
f
(
x, y
)
dxdy.
(21)
Самым простым методом вычисления данного интеграла является метод
ячеек. Пусть областью интегрирования является прямоугольник:
a
6
x
6
b,
c
6
y
6
d.
По теореме о среднем среднее значение функции
f
(
x, y
)
:
¯
f
(
x, y
) =
1
S
Z Z
G
f
(
x, y
)
dxdy,
S
= (
b
−
a
)(
d
−
c
)
.
(22)
8
Предположим, что среднее значение приближенно равно значению функ-
ции в центре прямоугольника, т.е.
f
(¯
x,
¯
y
)
≈
¯
f
(
x, y
)
,
тогда для вычисления интеграла получаем
Z Z
G
f
(
x, y
)
dxdy
≈
Sf
(¯
x,
¯
y
)
,
¯
x
=
a
+
b
2
,
¯
y
=
c
+
d
2
.
Точность формулы можно повысить, если разбить область
G
на пря-
моугольные ячейки
∆
G
ij
, то для каждой ячейки
Z Z
∆
G
ij
f
(
x, y
)
dxdy
≈
f
( ¯
x
i
,
¯
y
j
)∆
x
i
∆
y
j
(23)
и для интеграла
Z Z
G
f
(
x, y
)
dxdy
≈
M
X
i
=1
N
X
j
=1
f
( ¯
x
i
,
¯
y
j
)∆
x
i
∆
y
j
.
(24)
В правой части последнего равенства стоит интегральная сумма, по-
этому при уменьшении периметров ячеек эта сумма стремится к значе-
нию интеграла для любой непрерывной функции
f
(
x, y
)
. Погрешность
метода ячеек имеет второй порядок малости по
∆
x
и
∆
y
. Для даль-
нейшего повышения точности можно применить метод сгущения узлов
сетки. При этом шаг по каждой переменной уменьшают в одинаковое
число раз, т.е. отношение
M/N
остается постоянным.
В случае, если область
G
непрямоугольная, ее может быть целесооб-
разно привести к прямоугольному виду путем соответствующей замены
переменных.
Рассмотрим область – криволинейный четырехугольник:
a
6
x
6
b
,
ϕ
1
(
x
)
6
y
6
ϕ
2
(
x
)
. Для приведения этой области к прямоугольной, надо
использовать замену:
t
=
y
−
ϕ
1
(
x
)
ϕ
2
(
x
)
−
ϕ
1
(
x
)
,
0
6
t
6
1
.
(25)
Другой возможный способ вычисления многомерных интегралов со-
стоит в сведении их к последовательному вычислению одномерных ин-
тегралов.
9
4.8.
Задания для самостоятельной работы
Вычислить определенный интеграл
b
Z
a
f
(
x
) dx
с точностью
ε
= 10
−
6
а) методом прямоугольников (метод средних);
б) методом трапеций;
в) методом парабол (правило Симпсона);
г) методом Гаусса.
1.
2
Z
1
sin
x
√
x
3
ln
x
dx
2.
3
Z
1
dx
ln
x
3.
1
Z
0
x
3
e
x
cos
x
dx
4.
3
Z
0
x
2
sin
x
·
ln
x
e
2
x
dx
5.
2
Z
1
e
x
·
ln
x
dx
6.
7
Z
2
sin
x
cos
x
√
tg
x
dx
7.
1
Z
−
1
x
3
sin
x
(
x
+ 3) sin (
x
2
+ 2)
dx
8.
5
Z
0
x
2
ln (
x
+ 7) dx
9.
3
Z
1
x
+ 2
x
2
ln
x
dx
10.
5
Z
1
sin
x
ln
x
(
x
3
+ 1)
dx
4.9.
Примеры процедур в среде Maple
4.9.1.
Метод прямоугольников
> restart;
# ввод подынтегральной функции
> f:=x-> evalf(sin(x)-xˆ 3*ln(x));
> prl:=proc(a,b,sh)
# b, a — верхний и нижний пределы интегрирования соответственно
# sh — шаг разбиения отрезка [a,b]
local i,j,xp,n,x,h,slog;
10