ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 876
Скачиваний: 1
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ
И
НАУКИ
РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«
ВОРОНЕЖСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
»
Е
.
П
.
Белоусова
,
Т
.
И
.
Смагина
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ
АНАЛИЗ
Учебно
-
методическое
пособие
для
вузов
Издательско
-
полиграфический
центр
Воронежского
государственного
университета
2013
2
Утверждено
научно
-
методическим
советом
факультета
ПММ
20
марта
2013
г
.,
протокол
№
8
Рецензент
д
-
р
техн
.
наук
,
доц
.
кафедры
ММИО
факультета
ПММ
Т
.
В
.
Азарнова
Учебно
-
методическое
пособие
подготовлено
на
кафедре
нелинейных
колебаний
факультета
ПММ
Воронежского
государственного
университета
.
Рекомендуется
для
студентов
второго
курса
направления
«
Прикладная
математика
и
информатика
»
факультета
ПММ
.
Для
направления
010500 –
Прикладная
математика
и
информатика
3
Настоящие
методические
указания
предназначены
для
организации
практических
занятий
и
самостоятельной
работы
студентов
,
изучающих
курс
функционального
анализа
,
а
также
при
подготовке
к
экзамену
по
этому
курсу
.
В
начале
каждого
раздела
приводятся
необходимые
теоретические
сведения
,
даются
образцы
решения
задач
,
а
затем
предлагаются
задания
для
самостоятельной
работы
.
При
подборке
задач
и
упражнений
использовалась
приведенная
ниже
литература
.
Рекомедуемая
литература
1.
Треногин
В
.
А
.
Функциональный
анализ
/
В
.
А
.
Треногин
. –
М
.:
Физматлит
, 2002. – 488
с
.
2.
Колмогоров
А
.
Н
.
Элементы
теории
функций
и
функционального
анализа
/
А
.
Н
.
Колмогоров
,
С
.
В
.
Фомин
. –
М
.:
Физматлит
, 2004. -570
с
.
3.
Соболев
В
.
И
.
Лекции
по
дополнительным
главам
математического
анализа
/
В
.
И
.
Соболев
. –
М
.:
Наука
, 1968. – 286
с
.
4.
Люстерник
Л
.
А
.
Краткий
курс
функциональго
анализа
/
Л
.
А
.
Люстерник
,
В
.
И
.
Соболев
. –
М
.:
Высшая
школа
, 1982. – 270
с
.
5.
Треногин
В
.
А
.
Задачи
и
упражнения
по
функциональному
анализу
/
В
.
А
.
Треногин
,
Б
.
М
.
Писаревский
,
Т
.
С
.
Соболева
. –
М
.:
Физматлит
,
2002. – 239
с
.
6.
Антоневич
А
.
Б
.
Функциональный
анализ
и
интегральные
уравнеия
/
А
.
Б
.
Антоневич
,
Я
.
В
.
Радыно
. –
Минск
:
БГУ
, 2003. – 430
с
.
4
1.
Нормированные
пространства
Непустое
множество
X
элементов
некоторой
природы
называется
линейным
пространством
,
если
в
нем
для
любых
X
y
x
∈
,
определены
сумма
X
y
x
∈
+
и
произведение
X
x
∈
α
элемента
x
на
число
α
с
выполнением
обычных
свойств
операций
сложения
и
умножения
на
число
.
Линейное
пространство
X
называется
нормированным
,
если
в
нем
определена
норма
,
то
есть
неотрицательная
функция
R
X
→
⋅
:
,
для
которой
выполнены
следующие
три
аксиомы
1.
0
0
,
0
=
⇔
=
≥
x
x
x
(
невырожденность
нормы
);
2.
x
x
α
α
=
(
однородность
нормы
);
3.
y
x
y
x
+
≤
+
(
неравенство
треугольника
).
Приведем
несколько
примеров
нормированных
пространств
.
1.
n
p
E
-
пространство
n
-
мерных
векторов
)
,...,
(
1
n
x
x
x
=
с
нормой
p
n
k
p
k
x
x
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
.
2.
n
E
∞
-
пространство
n
-
мерных
векторов
)
,...,
(
1
n
x
x
x
=
с
нормой
k
n
k
x
x
≤
≤
=
1
max
.
3.
m
-
пространство
ограниченных
числовых
последовательностей
,...)
,
(
2
1
x
x
x
=
,
для
которых
∞
<
∞
≤
≤
k
k
x
1
sup
,
с
нормой
k
k
x
x
∞
≤
≤
=
1
sup
.
4.
)
1
(
≥
p
l
p
-
пространство
числовых
последовательностей
,...)
,
(
2
1
x
x
x
=
таких
,
что
∑
∞
=
+∞
<
1
k
p
k
x
,
с
нормой
p
k
p
k
x
x
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
∞
=
.
5
5.
]
,
[
b
a
C
-
пространство
непрерывных
на
]
,
[
b
a
функций
)
(
t
x
с
нормой
)
(
max
t
x
x
b
t
a
≤
≤
=
.
6.
]
,
[
b
a
C
k
-
пространство
k
раз
непрерывно
дифференцируемых
на
]
,
[
b
a
функций
)
(
t
x
с
нормой
∑
=
≤
≤
=
k
s
k
b
t
a
t
x
x
0
)
(
)
(
max
.
7.
)
1
](
,
[
≥
p
b
a
L
p
-
пространство
измеримых
на
]
,
[
b
a
функций
)
(
t
x
,
для
которых
∫
+∞
<
b
a
p
dt
t
x
)
(
с
нормой
p
b
a
p
dt
t
x
x
1
)
(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∫
.
При
решении
задач
важное
значение
имеют
следующие
неравенства
.
1.
Неравенство
Гельдера
для
сумм
q
k
q
k
p
k
p
k
k
k
k
y
x
y
x
1
1
1
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
,
где
1
,
>
q
p
и
1
1
1
=
+
q
p
и
ряды
в
правой
части
неравенства
сходятся
.
2.
Неравенство
Гельдера
для
интегралов
q
b
a
q
b
a
p
b
a
p
dt
t
y
dt
t
x
dt
t
y
t
x
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤
∫
∫
∫
,
где
1
,
>
q
p
и
1
1
1
=
+
q
p
и
интегралы
в
правой
части
неравенства
сходятся
.
3.
Неравенство
Минковского
для
сумм
p
k
p
k
p
k
p
k
p
k
p
k
k
y
x
y
x
1
1
1
1
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
,
где
1
≥
p
.