ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 90
Скачиваний: 1
1.
Обыкновенные дифференциальные урав-
нения
ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколь-
ко производных от искомой функции
y
=
y
(
x
)
:
F
(
x, y, y
0
, ..., y
(
n
)
) = 0
.
(1)
Наивысший порядок
n
входящей в уравнение производной называется
порядком дифференциального уравнения. Уравнение первого порядка
F
(
x, y, y
0
) = 0
,
второго порядка
F
(
x, y, y
0
, y
00
) = 0
.
Если из уравнения удается выразить старшую производную и привести
его к виду
y
(
n
)
=
F
(
x, y, y
0
, ..., y
(
n
−
1)
)
,
то такая форма записи называется уравнением, разрешенным относи-
тельно старшей производной.
Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, ли-
нейное относительно искомой функции и ее производных.
Решением дифференциального уравнения называется всякая
n
раз
дифференцируемая функция
y
=
ϕ
(
x
)
, которая после подстановки в
уравнение превращает его в тождество.
Общее решение уравнения
n
-го порядка содержит
n
произвольных
постоянных
C
1
, C
2
, ... , C
n
:
y
=
ϕ
(
x, C
1
, C
2
, ..., C
n
)
.
(2)
Причем любое решение нашего уравнения можно представить в виде (2)
при определенных значениях констант.
Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной про-
извольной постоянной:
y
=
ϕ
(
x, C
)
.
Если постоянной придать определенное значение
C
=
C
0
, то получаем
частное решение
y
=
ϕ
(
x, C
0
)
.
Геометрическая интерпретация общего решения уравнения первого
порядка состоит в том, что оно описывает бесконечное семейство ин-
тегральных кривых
y
=
y
(
x, C
)
с параметром
C
, а частному решению
соответствует одна кривая этого семейства, причем через каждую точку
(
x
0
, y
0
)
проходит одна и только одна интегральная кривая.
Для уравнений высших порядков – через каждую точку
(
x
0
, y
0
)
про-
ходит не одна интегральная кривая, поэтому для выделения некоторого
частного решения надо задать дополнительные условия по числу произ-
вольных постоянных.
1.1.
Приближенные методы решения ОДУ. Метод
Эйлера
Наиболее универсальным методом решения ОДУ является метод ко-
нечных разностей. Он заключается в том, что область непрерывного из-
менения аргумента заменяется дискретным множеством точек – узлами,
образующими разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргу-
мента заменяется функцией дискретного аргумента на данной сетке –
сеточной функцией. Решение ОДУ сводится к отысканию значений се-
точной функции в узлах сетки.
Например, дифференциальное уравнение (задача Коши)
dy
dx
=
f
(
x, y
)
,
y
(
x
0
) =
A
вводя равномерную сетку с шагом
h
и приняв в качестве узлов сетки
x
0
,
x
1
=
x
0
+
h
,..., можно свести к разностному, приближая производную в
i
-ом узле с помощью правых разностей
y
i
+1
−
y
i
h
=
f
i
,
i
= 0
,
1
, ...,
y
0
=
A.
Здесь
f
i
=
f
(
x
i
, y
i
)
. Таким образом мы определили разностную схему.
Разностной схемой называется замкнутая система разностных уравнений
вместе с дополнительными условиями – начальными или краевыми.
Выражая
y
i
+1
, получаем
y
i
+1
=
y
i
+
hf
i
=
y
i
+
hf
(
x
i
, y
i
)
,
i
= 0
,
1
, ...
(3)
В результате приходим к методу Эйлера:
y
1
=
y
0
+
hf
(
x
0
, y
0
)
,
y
2
=
y
1
+
hf
(
x
1
, y
1
)
,
...........
y
n
=
y
n
−
1
+
hf
(
x
n
−
1
, y
n
−
1
)
.
2
Очевидно, что в данном случае искомая интегральная кривая приближа-
ется ломаной, наклон которой на элементарном участке
[
x
i
, x
i
+1
]
опреде-
ляется наклоном интегральной кривой исходного уравнения, выходящей
из точки
(
x
k
, y
k
)
.
Неявный метод Эйлера состоит в приближении производной в окрест-
ности
i
-го узла с помощью левой разности
y
i
−
y
i
−
1
h
=
f
i
,
i
= 0
,
1
, ...,
y
0
=
A.
Очевидно, что в этом методе искомая величина
y
i
входит в уравнение
в общем случае нелинейным образом. Поэтому необходимо применять
известные методы решения нелинейных уравнений.
Можно показать, что явный и неявный метод – методы первого по-
рядка точности. То есть погрешность в точке
x
i
δ
i
=
y
(
x
i
)
−
y
i
,
равная разности между точным значением искомой функции
y
(
x
i
)
и зна-
чением сеточной функции в узле
δ
i
.
h.
Можно построить другие методы решения задачи Коши. Например,
приблизим производную в окрестности
i
-го узла с помощью центральных
разностей:
y
i
+1
−
y
i
−
1
2
h
=
f
i
,
i
= 0
,
1
, ...,
y
0
=
A.
Полученная система уравнений не замкнута – необходимо доопределить
y
1
, что можно сделать с помощью метода Эйлера
y
1
=
y
0
+
hf
(
x
0
, y
0
)
.
Можно показать, что построенная схема имеет второй порядок точности.
Рассмотрим модифицированный метод Эйлера. Запишем систему урав-
нений
y
i
+1
−
y
i
h
=
f
i
+1
/
2
,
i
= 0
,
1
, ...,
y
0
=
A,
где
f
i
+1
/
2
=
f
(
x
i
+1
/
2
, y
i
+1
/
2
) =
f
(
x
i
+
h
2
, y
i
+1
/
2
)
,
а значение
y
i
+1
/
2
вычисляем по методу Эйлера
y
i
+1
/
2
=
y
i
+
h
2
f
i
=
y
i
+
h
2
f
(
x
i
, y
i
)
,
i
= 0
,
1
, ... .
3
В результате получаем следующую разностную схему:
y
i
+1
−
y
i
h
=
f
(
x
i
+
h
2
, y
i
+
h
2
f
(
x
i
, y
i
))
,
i
= 0
,
1
, ...,
y
0
=
A,
которая, как можно показать, имеет второй порядок точности.
1.2.
Метод Эйлера с пересчетом (предиктор –
корректор)
Предиктор – предсказание результата, корректор – уточнение резуль-
тата. Заменим правую часть нашего уравнения на среднее значений в
соседних узлах:
y
i
+1
−
y
i
h
=
1
2
[
f
(
x
i
, y
i
) +
f
(
x
i
+1
, y
i
+1
)]
.
(4)
Как видно, наклон интегральной кривой посередине отрезка
[
x
i
, x
i
+1
]
приближенно заменяется средним арифметическим наклонов на грани-
цах этого отрезка. Отсюда
y
i
+1
=
y
i
+
h
2
[
f
(
x
i
, y
i
) +
f
(
x
i
+1
, y
i
+1
)]
.
(5)
Искомое значение
y
i
+1
входит и в правую сторону тоже, и его нельзя в
общем случае выразить явно. Но его можно найти по формуле метода
Эйлера:
y
i
+1
=
y
i
+
hf
(
x
i
, y
i
)
–
предиктор
(6)
и, подставляя в правую часть, получаем
y
i
+1
=
y
i
+
h
2
[
f
(
x
i
, y
i
) +
f
(
x
i
+1
,
(
y
i
+
hf
(
x
i
, y
i
)))]
–
корректор. (7)
1.3.
Методы Рунге – Кутта
Рассмотренные ранее метод Эйлера и его модификация относятся к
классу методов Рунге – Кутта. Суть методов – для вычисления
y
i
+1
ис-
пользуется
y
i
, а также значения функции
f
(
x, y
)
в некоторых специ-
альных точках. Широко распространен метод Рунге – Кутта четвертого
порядка. Алгоритм этого метода имеет вид
y
i
+1
=
y
i
+
h
6
(
k
0
+ 2
k
1
+ 2
k
2
+
k
3
)
,
i
= 0
,
1
, ... ,
k
0
=
f
(
x
i
, y
i
)
,
k
1
=
f
x
i
+
h
2
, y
i
+
hk
0
2
,
4
k
2
=
f
x
i
+
h
2
, y
i
+
hk
1
2
,
k
3
=
f
(
x
i
+
h, y
i
+
hk
2
)
.
1.4.
Многоточечные методы
Многоточечные, или многошаговые методы решения задачи Коши от-
личаются тем, что решение в текущем узле зависит от данных не только
в одном предыдущем узле, но и в ряде предшествующих.
Такие методы можно строить, используя метод неопределенных ко-
эффициентов. Для этого запишем разностное соотношение для
i
-го узла
в виде
a
0
y
i
+
a
1
y
i
−
1
+
...
+
a
m
y
i
−
m
h
=
b
0
f
i
+
b
1
f
i
−
1
+
...
+
b
l
f
i
−
l
.
(8)
Коэффициенты
a
i
и
b
i
подбираются так, чтобы получить аппроксимацию
с нужным порядком точности. Если
a
0
=
−
a
1
= 1
,
a
2
=
...
=
a
m
= 0
,
то получаем методы Адамса. Уравнение
y
0
=
f
(
x, y
)
эквивалентно инте-
гральному соотношению
y
i
+1
−
y
i
=
x
i
+1
Z
x
i
f dx .
(9)
Если решение в узлах вплоть до
i
-го уже вычислено, то по известным зна-
чениям
f
i
=
f
(
x
i
, y
i
)
можно интерполировать подинтегральную функ-
цию полиномами различной степени. Далее, вычисляя интеграл от вы-
бранного интерполяционного полинома, получаем формулы Адамса.
Приближая функцию
f
на отрезке
[
x
i
, x
i
+1
]
полиномом в форме Нью-
тона
f
=
f
i
+
f
i
−
f
i
−
1
h
(
x
−
x
i
)+
+
f
i
−
2
f
i
−
1
+
f
i
−
2
2
h
2
(
x
−
x
i
)(
x
−
x
i
−
1
) +
...
(10)
и учитывая первые два слагаемых при вычислении интеграла, получаем
метод Адамса второго порядка точности
y
i
+1
−
y
i
h
=
3
2
f
i
−
1
2
f
i
−
1
.
(11)
5