ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 690
Скачиваний: 1
11
соответственно
9
,
0
;
7
,
0
2
1
u
u
.
Значения
целевой
функции
13851
,
0
)
(
;
17493
,
0
)
(
2
1
u
J
u
J
связаны
соотношением
)
(
)
(
2
1
u
J
u
J
,
поэтому
полагаем
9
,
0
;
6
,
0
2
3
2
3
u
b
a
a
.
Аналогичные
вычисления
продолжаем
осуществлять
до
тех
пор
,
пока
длина
рассматриваемого
нами
отрезка
не
станет
меньше
,
чем
.
2.
Исследовать
на
минимум
функцию
)
1
(
)
(
2
3
u
u
u
J
при
условии
,
что
]
1
,
0
[
u
.
Пусть
1
;
0
1
1
b
a
.
Точки
"
золотого
сечения
"
соответственно
равны
618
,
0
382
,
0
2
1
u
u
.
Целевая
функция
в
них
принимает
значение
382
,
0
)
(
;
326
,
0
)
(
2
1
u
J
u
J
.
Так
как
)
(
)
(
2
1
u
J
u
J
,
то
полагаем
2
'
2
1
2
1
2
;
;
u
u
a
b
u
a
.
Осуществляя
последовательно
все
необходимые
действия
получим
,
что
382
,
0
)
(
;
618
,
0
*
*
u
J
u
.
Задание
.
Найти
решение
задачи
одномерной
минимизации
.
,
inf
)
(
b
a
u
u
J
Значения
коэффициентов
целевой
функции
5
4
2
3
3
2
4
1
5
0
)
(
a
u
a
u
a
u
a
u
a
u
a
u
J
приведены
в
таблице
.
Помимо
точек
минимума
посчитать
число
итераций
и
сделать
вывод
о
целесообразности
использования
каждого
из
методов
в
той
или
иной
ситуации
.
Приближенное
решение
задачи
искать
на
промежутке
унимодальности
b
a
,
с
точностью
до
2
10
методом
:
а
)
деления
отрезка
пополам
;
б
) "
золотого
сечения
";
в
)
парабол
;
г
)
Ньютона
.
Решение
поставленной
задачи
оформить
в
виде
отчёта
.
Замечание
:
для
нахождения
промежутка
унимодальности
найдите
)
(
u
J
,
затем
корни
уравнения
0
)
(
u
J
.
Промежутки
,
в
которых
0
)
(
u
J
и
будут
отрезками
унимодальности
)
(
u
J
.
Для
метода
Ньютона
выбор
начального
приближения
рекомендован
в
алгоритме
.
N
0
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
1
1 0 2 0 1 -1
2 1
0
-2
0
1
-2
3 1
0
-1
0
-2
-3
4
1 0 1 0 -2 1
12
5 1
0
-1
0
1/4
2
6 1
0
-1
0
-8
3
7
1 0 1 0 -8 4
8 1
0 1/3 0
-4
-4
9 1
0 -1/3 0
-4
5
10 1
0
2/3
0
-3
-5
11 1
0
-2/3
0
-3
6
12 1
0
-3
0
-2
1
13 1
0
-3
0
-2
4
14
1 0 2 0 -2 -3
15
1 0 2 0 -2 -1
16
1 0 1 0 -1 -2
17 1
0
-1
0
2
2
18
1 0 2 0 -2 3
19
1 0 1 0 -3 -3
20 1
0
-1
0
4
-4
21 1
0
-4
0
1
1
22
1 0 4 0 4 -3
23
1 0 3 0 3 1
24 1
0
-3
0
3
-1
25 1
0
1/2
0
-2
2
ВЫПУКЛЫЕ
МНОЖЕСТВА
И
ВЫПУКЛЫЕ
ФУНКЦИИ
Определение
.
Пусть
X
U
.
Будем
говорить
,
что
U
выпуклое
множество
,
если
для
любых
двух
элементов
2
1
u
u
,
множества
U
элемент
2
1
1
u
u
)
(
также
принадлежит
множеству
U
,
где
1
0
,
.
Пустое
множество
выпукло
по
определению
.
Определение
.
Функция
R
X
U
J
:
называется
выпуклой
,
если
выполняется
неравенство
2
1
2
1
)
1
(
)
1
(
u
J
u
J
u
u
J
для
любых
элементов
2
1
u
u
,
множества
U
.
ПРИМЕРЫ
1
.
При
каких
значениях
параметра
a
функция
одной
переменной
c
bu
au
u
J
2
)
(
является
выпуклой
?
Воспользуемся
определением
.
Для
выпуклой
функции
должно
выполняться
неравенство
2
1
2
1
)
1
(
)
1
(
u
J
u
J
u
u
J
.
Проверим
,
так
ли
это
.
13
.
)
)(
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
1
)(
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
)
)(
1
(
)
(
)
1
(
)
)
1
(
1
2
(
)
)
1
(
(
)
)
1
(
(
)
1
(
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
u
u
u
J
u
J
u
u
u
u
a
u
J
u
J
au
u
au
au
u
f
u
J
c
u
a
u
u
a
au
c
au
c
bu
au
c
au
c
bu
au
c
u
u
b
u
u
u
u
a
c
u
u
b
u
u
a
u
u
J
Получаем
,
что
2
1
2
1
)
1
(
)
1
(
u
J
u
J
u
u
J
при
0
a
.
2.
Является
ли
выпуклой
функция
)
1
ln(
)
1
(
ln
)
(
u
u
u
u
u
J
,
)
,
(
1
0
u
?
Поскольку
для
выпуклой
функции
выполнено
неравенство
0
,
)
(
u
J
,
где
U
u
,
то
воспользуемся
этим
.
)
1
ln(
1
1
ln
)
(
u
u
u
J
,
u
u
u
J
1
1
1
)
(
.
Вторая
производная
всегда
больше
нуля
,
так
как
0
1
1
)
(
u
u
u
u
при
U
u
.
3
.
Является
ли
выпуклой
функция
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
1
2
)
,
(
u
a
u
u
a
u
a
u
u
J
?
Посчитаем
первую
производную
и
вторую
производные
2
22
1
12
2
,
2
12
1
11
1
2
2
2
2
u
a
u
a
u
J
u
a
u
a
u
J
.
Вторая
производная
для
данной
функции
12
1
2
2
2
1
2
22
2
2
2
11
2
1
2
2
,
2
,
2
a
u
u
J
u
u
J
a
u
J
a
u
J
.
Матрица
вторых
производных
имеет
вид
22
12
12
11
2
2
2
2
a
a
a
a
.
Условие
0
,
)
(
u
J
выполнено
тогда
и
только
тогда
,
когда
0
,
,
)
(
min
u
J
,
а
оно
выполнено
при
0
min
.
Для
этого
посчитаем
определитель
матрицы
22
12
12
11
2
2
2
2
a
a
a
a
.
и
найдем
min
.
Получаем
уравнение
)
(
)
(
22
11
2
12
22
11
2
4
2
a
a
a
a
a
.
Корни
его
2
12
2
22
11
22
11
4
a
a
a
a
a
)
(
)
(
.
Т
.
е
.
2
12
2
22
11
22
11
4
a
a
a
a
a
)
(
)
(
.
Возводя
в
квадрат
и
преобразуя
получаемое
выражение
,
получим
систему
14
0
22
11
2
12
22
11
a
a
a
a
a
,
откуда
следует
,
что
0
min
.
4.
Исследовать
области
выпуклости
и
вогнутости
функции
1
2
1
2
2
2
1
3
2
3
1
2
1
2
2
/
6
/
6
/
)
,
(
u
u
u
u
u
u
u
u
u
J
.
Составим
матрицу
Гессе
и
вычислим
главные
миноры
2
1
1
1
2
1
u
u
;
.
1
)
1
)(
2
(
;
1
1
2
2
1
1
u
u
u
Функция
J
выпукла
в
любой
области
,
где
матрица
Гессе
неотрицательно
определена
.
Область
положительной
определённости
определяется
условиями
0
1
1
1
u
,
0
1
)
1
)(
2
(
1
2
2
u
u
,
обеспечивающими
строгую
выпуклость
.
Выпуклость
будет
на
замыкании
этого
множества
.
Функция
J
вогнута
в
любой
выпуклой
области
,
где
матрица
Гессе
неположительно
определена
.
Область
её
отрицательной
определенности
определяется
условиями
0
1
1
1
u
,
0
1
)
1
)(
2
(
1
2
2
u
u
,
обеспечивающими
строгую
вогнутость
.
Вогнутость
будет
на
замыкании
этого
множества
.
Рис
. 5
15
Итак
,
функция
выпукла
на
любом
подмножестве
множества
}
1
),
1
/(
1
1
:
)
,
{(
1
1
2
2
1
u
u
u
u
u
и
вогнута
на
любом
выпуклом
подмножестве
множества
}
1
),
1
/(
1
1
:
)
,
{(
1
1
2
2
1
u
u
u
u
u
(
см
.
рис
. 5).
Задания
. 1.
Выяснить
,
влияют
ли
линейные
члены
квадратичной
функции
на
её
выпуклость
?
2.
Построить
вид
областей
выпуклости
и
вогнутости
следующих
функций
:
2.1.
3
2
3
1
2
1
)
1
(
)
1
(
)
,
(
u
u
u
u
J
;
2.2.
2
1
3
2
1
2
1
6
)
1
(
)
1
(
)
,
(
u
u
u
u
u
u
J
.
3.
Построить
вид
областей
выпуклости
и
вогнутости
функций
в
зависимости
от
параметра
p
:
3.1.
2
2
2
1
2
1
2
1
)
,
(
pu
u
u
pu
u
u
J
;
3.2.
2
2
2
1
2
1
2
1
4
)
,
(
u
u
u
pu
u
u
J
;
3.3.
3
2
3
1
2
1
)
,
(
pu
u
u
u
J
.
ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ
МНОГОМЕРНОЙ
МИНИМИЗАЦИИ
Пусть
функция
n
переменных
)
,...,
(
1
n
u
u
J
задана
на
некотором
множестве
пространства
n
R
.
Известно
,
что
если
)
(
u
J
дифференцируема
в
точке
)
,...,
(
1
n
u
u
P
,
то
в
этой
точке
существуют
частные
производные
n
i
u
u
u
J
i
n
,...,
1
,
)
,...,
(
1
и
наоборот
,
если
фукнция
)
,...,
(
1
n
u
u
J
имеет
частные
производные
по
всем
аргументам
в
некоторой
окрестности
точки
)
,...,
,
(
0
0
2
0
1
0
n
u
u
u
P
,
причем
все
эти
частные
производные
непрерывны
в
самой
точке
0
P
,
то
указанная
функция
дифференцируема
в
точке
0
P
.
Определение
.
Говорят
,
что
функция
)
(
u
J
имеет
в
точке
0
P
локальный
максимум
(
локальный
минимум
),
если
найдется
такая
-
окрестность
точки
0
P
,
в
пределах
которой
значение
)
(
0
P
J
является
наибольшим
(
наименьшим
)
среди
всех
значений
)
(
u
J
этой
функции
.
Если
функция
)
,...,
(
1
n
u
u
J
обладает
в
точке
)
,...,
,
(
0
0
2
0
1
0
n
u
u
u
P
частными
производными
первого
порядка
по
всем
переменным
)
,...,
(
1
n
u
u
и
имеет
в
этой
точке
локальный
экстремум
,
то
все
частные
производные
первого
порядка
обращаются
в
точке
0
P
в
нуль
,
т
.
е
.