Файл: m12-191(1).pdf

1 

МИНИСТЕРСТВО

ОБРАЗОВАНИЯ

И

НАУКИ

РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ

«

ВОРОНЕЖСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

»

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ

МНОГОЧЛЕНАМИ

. 

СПЛАЙН

-

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Учебно

-

методическое

пособие

для

практических

занятий

в

вузах

Составители

: 

А

.

П

. 

Карпова

, 

М

.

Н

. 

Небольсина

Издательско

-

полиграфический

центр

Воронежского

государственного

университета

2012 

2 

Утверждено

научно

-

методическим

советом

математического

факультета

30 

ноября

 2011 

г

., 

протокол

№

 0500-09 

Рецензент

канд

. 

физ

.-

мат

. 

наук

, 

доц

. 

Воронежского

государственного

архи

-

тектурно

-

строительного

университета

В

.

П

. 

Трофимов

Учебно

-

методическое

пособие

подготовлено

на

кафедре

математического

моделирования

математического

факультета

Воронежского

государствен

-

ного

университета

Рекомендуется

для

студентов

 4-

го

курса

дневного

отделения

и

 5-

го

курса

ве

-

чернего

отделения

математического

факультета

. 

Для

направлений

: 010100 – 

Математика

, 010200 – 

Математика

. 

Прикладная

математика

; 

специальности

 010101 – 

Математика

3 

ТЕОРИЯ

ПРИБЛИЖЕНИЯ

ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ

ВЕЩЕСТВЕННОЙ

ПЕРЕМЕННОЙ

1. 

Интерполяция

алгебраическими

многочленами

1. 1. 

Постановка

задачи

интерполяции

Пусть

для

функции

:

 ,

известны

ее

значения

в

 (n + 1)-

й

точках

,

0,

,

. 

Запишем

эти

значения

функции

в

табл

. 1.1.  

Таблица

 1.1 

Далее

будем

считать

, 

что

выполнено

условие

. 

Задача

приближенного

вычисления

для

заданной

табл

. 1.1 

значения

функции

при

,

0,

,

называется

задачей

интерполяции

(

распространения

внутрь

). 

Решение

этой

задачи

можно

найти

следующим

образом

: 

строится

ал

-

гебраический

многочлен

степени

не

выше

n

;  ,   ,

,

;  

 ;  

,                     (1.1) 

принимающий

в

точках

,   ,

,

те

же

значения

, 

что

и

функция

  : 

  ;   ,

0, 1,

,  

                     (1.2) 

Интерполяционным

многочленом

(

интерполянтой

)

для

табл

. 1.1 

называется

многочлен

 (1.1) 

степени

не

выше

, 

удовлетворяющий

условию

(1.2). 

Точки

,   ,

,

называются

узлами

интерполяции

.  

Вычисление

значения

при

,

0,

,

по

формуле

 ;

                                       (1.3) 

называется

интерполяцией

функции

с

помощью

алгебраического

мно

-

гочлена

. 

Замечание

 1.1

.

Если

,

, 

то

вычисление

с

помощью

 (1.3) 

называют

экстраполяцией

. 

Теорема

 1.1.

Для

табл

. 1.1 

интерполяционный

многочлен

существует

и

единственен

.

Для

табл

. 1.1 

с

равноотстоящими

узлами

,

0,

,  ,

0 

введем

в

рассмотрение

конечные

разности

функции

  . 

Обозначим

,

0,

,

.  

Величину

. 

∆

∆

назовем

конечной

разностью

первого

порядка

функции

в

точке

. 

x 

4 

Конечной

разностью

второго

порядка

функции

в

точке

назо

-

вем

величину

∆

∆

∆ ∆

∆

∆

2

. 

Если

известны

конечные

разности

m

-

го

порядка

, 

то

конечная

раз

-

ность

1

-

го

порядка

функции

в

точке

определяется

как

∆

∆

∆ ∆

∆

∆

, 

где

1, ∆

. 

Замечание

 1.2.

При

малых

∆

справедлива

прибли

-

женная

формула

∆

∆

  .

Для

табл

. 1.1 

можно

построить

таблицу

конечных

разностей

 (

табл

. 1.2) 

Таблица

 1.2 

Узлы

Конечные

разности

0

-

го

порядка

1

-

го

порядка

2

-

го

порядка

1

-

го

порядка

-

го

порядка

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

Число

разно

-

стей

1

1

2

1

Обобщенной

степенью

числа

называется

произведение

сомно

-

жителей

: 

2

1

,   

1

. 

∆

,       ∆

0  при  

. 

∆

1

2

1

∆

 при 

.

1.2. 

Первая

интерполяционная

формула

Ньютона

Пусть

для

функции

заданы

значения

для

равно

-

отстоящих

значений

независимой

переменной

:  

0, 1,

 2, … ,

, 

где

   – 

шаг

интерполяции

. 

Требуется

подобрать

полином

степени

не

выше

   , 

принимающий

в

точках

значения

5 

0,1,2, … ,

.

(1.4) 

Условия

  (1.4)  

эквивалентны

тому

,  

что

∆

∆

при

= 

0,1,2, … , .

Следуя

Ньютону

, 

будем

искать

полином

в

виде

…

.

Пользуясь

обобщенной

степенью

, 

последнее

выражение

запишем

так

: 

.

 (1.5)

Наша

задача

состоит

в

определении

коэффициентов

0, 1, 

2, … ,

полинома

. 

Полагая

в

выражении

 (1.5), 

получим

.

Чтобы

найти

коэффициент

   , 

составим

первую

конечную

разность

∆

2

3

.

Полагая

в

последнем

выражении

 , 

получим

∆

∆

, 

откуда

∆

!

. 

Последовательно

продолжая

этот

процесс

, 

мы

обнаружим

, 

что

∆

!

0,1,2, … ,

, 

где

0!

1

и

∆

. 

Подставляя

найденные

значения

коэффициентов

в

выражение

(1.5), 

получим

интерполяционный

полином

Ньютона

∆

!

∆

!

∆

!

.

 (1.6) 

Для

практического

использования

интерполяционную

формулу

Нью

-

тона

обычно

записывают

в

несколько

преобразованном

виде

. 

Для

этого

введем

новую

переменную

по

формуле

.

Получим

∆

!

∆

…

!

∆

,     (1.7) 

где

представляет

собой

число

шагов

, 

необходимых

для

достиже

-

ния

точки

исходя

из

точки

. 

Это

и

есть

окончательный

вид

первой

ин

-

терполяционной

формулы

Ньютона

.

Формулу

 (1.7) 

выгодно

использовать

для

интерполирования

функции

в

окрестности

начального

значения

, 

где

мало

по

абсолютной

величине

. 

Если

в

формуле

 (1.7) 

положить

1

, 

то

получим

формулу

линейно

-

го

интерполирования

: 

∆

.

При

2

будем

иметь

формулу

параболического

, 

или

квадратич

-

ного

, 

интерполирования

:  

∆

∆

.