ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.04.2021
Просмотров: 397
Скачиваний: 1
6
Остаточный
член
первой
интерполяционной
формулы
Ньютона
имеет
вид
…
!
,
где
–
некоторое
промежуточное
значение
между
узлами
интерполирова
-
ния
, , … ,
и
рассматриваемой
точкой
.
1.3.
Вторая
интерполяционная
формула
Ньютона
Первая
интерполяционная
формула
Ньютона
практически
неудобна
для
интерполирования
функции
вблизи
конца
таблицы
.
В
этом
случае
обычно
применяется
вторая
интерполяционная
формула
Ньютона
.
Пусть
имеем
систему
значений
функции
0, 1,2, … ,
для
равноотстоящих
значений
аргумента
.
Построим
интерполирующий
полином
следующего
вида
:
…
.
Или
,
используя
обобщенную
степень
,
получаем
.
Наша
задача
состоит
в
определении
коэффициентов
0,1,2, … ,
по
-
линома
.
∆
!
0,1,2, … ,
.
Подставляя
эти
значения
,
получим
∆
1!
∆
2!
∆
!
(1.9)
…
∆
!
…
.
Это
вторая
интерполяционная
формула
Ньютона
.
Введем
более
удобную
запись
формулы
(1.8).
Пусть
.
Получим
∆
!
∆
…
!
∆
.
Это
и
есть
обычный
вид
второй
интерполяционной
формулы
Нью
-
тона
.
Остаточный
член
второй
интерполяционной
формулы
Ньютона
имеет
вид
…
!
,
где
–
некоторое
промежуточное
значение
между
узлами
интерполирова
-
ния
, , … ,
и
рассматриваемой
точкой
.
Замечание
. 1.3.
Как
первая
,
так
и
вторая
,
обе
интерполяционные
формулы
Ньютона
могут
быть
использованы
для
экстраполирования
функ
-
7
ции
,
т
.
е
.
нахождения
значений
функции
для
значений
аргументов
,
ле
-
жащих
вне
пределов
таблицы
.
Если
и
близко
к
,
то
применяют
первую
интерполяционную
формулу
Ньютона
,
причем
тогда
<
0.
Если
и
близко
к
,
то
применяют
вторую
интерполяционную
формулу
Ньютона
,
причем
тогда
0
.
1.4.
Центральные
разности
При
построении
интерполяционных
формул
Ньютона
используются
лишь
значения
функции
,
лежащие
по
одну
сторону
от
выбранного
началь
-
ного
значения
,
т
.
е
.
эти
формулы
носят
односторонний
характер
.
Введем
понятие
центральных
разностей
.
Это
разности
,
расположен
-
ные
в
горизонтальной
строке
диагональной
таблицы
разностей
данной
функции
,
соответствующей
начальным
значениям
и
,
или
в
строках
,
непосредственно
примыкающих
к
ней
.
Это
разности
∆
,
∆
,
∆
, …
в
табл
. 1.3.
Таблица
1.3
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
1.5.
Интерполяционные
формулы
Гаусса
Пусть
имеется
2
1
равноотстоящих
узлов
интерполирования
,
,
,
, , ,
,
,
,
где
∆
,
1 ,
,
1 ,
и
для
функции
известны
ее
значения
в
этих
узлах
0, 1,
,
.
Требуется
построить
полином
степени
не
выше
2
такой
,
что
8
при
0, 1,
,
.
Будем
искать
этот
полином
в
виде
.
Применяя
для
вычисления
коэффициентов
0, 1,
, 2
тот
же
способ
,
что
и
при
выводе
интерполяционных
формул
Ньютона
,
и
учитывая
формулу
∆
∆
,
последовательно
находим
:
,
∆
1!
,
∆
2!
,
∆
3!
,
∆
4!
, ,
∆
2
1 !
,
∆
2 !
.
Далее
,
введя
переменную
и
сделав
замену
,
получим
первую
интерполяционную
формулу
Гаусса
∆
1
2!
∆
1
1
3!
∆
1
1
2
4!
∆
2
1
1
2
5!
∆
!
∆
!
∆
.
(1.9)
Первая
интерполяционная
формула
Гаусса
содержит
центральные
разности
∆ , ∆
, ∆
, ∆
, ∆
, ∆
,
Аналогично
можно
получить
вторую
интерполяционную
формулу
Гаусса
∆
1
2!
∆
1
1
3!
∆
2
1
1
4!
∆
1
1
2
1 !
∆
!
∆
,
(1.10)
в
которую
входят
центральные
разности
∆
, ∆
, ∆
, ∆
, ∆
, ∆
,
1.6.
Интерполяционная
формула
Стирлинга
Взяв
среднее
арифметическое
первой
и
второй
интерполяционных
формул
Гаусса
,
получим
формулу
Стирлинг
a
·
∆
∆
2
2
∆
1
3!
·
∆
∆
2
1
4!
∆
1
2
5!
·
∆
∆
2
9
1
2
6!
∆
1
2
3
1
2
1 !
∆
∆
2
1
2
3
1
2 !
∆
,
где
.
Легко
видеть
,
что
при
0, 1,
,
.
Если
2
порядок
максимальной
используемой
разности
таблицы
и
,
,
то
остаточный
член
интерполяционной
формулы
Стирлинга
!
1
2
3
,
где
,
,
.
Если
же
аналитическое
выражение
функции
неизвестно
,
то
при
малом
полагают
∆
∆
2 2
1 !
1
2
3
.
1.7.
Интерполяционная
формула
Бесселя
Для
вывода
этой
формулы
воспользуемся
второй
интерполяционной
формулой
Гаусса
.
Возьмем
2
2
равноотстоящих
узлов
интерполирования
,
,
, ,
,
,
,
с
шагом
,
и
пусть
,
,
1
заданные
значения
функции
.
Выберем
за
начальные
значения
,
и
используем
узлы
0, 1,
,
,
тогда
1
.
Заменим
в
правой
части
формулы
Гаусса
на
1
и
,
увеличив
индексы
всех
разностей
на
1,
получим
вспомогательную
формулу
1 ∆
1
2!
∆
1
2
3!
∆
1
1
2
4!
∆
1
1
2
3
5!
∆
!
∆
!
∆
.
Взяв
среднее
арифметическое
этой
формулы
и
формулы
Гаусса
,
по
-
лучим
формулу
Бесселя
10
2
1
2
∆
1
2
·
∆
∆
2
1
2
1
3!
∆
1
1
2
4!
·
∆
∆
2
1
2
1
1
2
5!
∆
1
1
2
2
3
6!
·
∆
∆
2
1
1
2
2
1
2 !
·
∆
∆
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1 !
∆
,
где
.
Если
2
1
порядок
максимальной
используемой
разности
табли
-
цы
и
,
1
,
то
остаточный
член
интерполяционной
формулы
Бесселя
!
1
2
3
q
n
1
,
где
,
,
1
.
Если
же
функция
задана
таблично
и
шаг
мал
,
то
принимают
∆
∆
2 2
2 !
1
2
3
1
.
Замечание
1.4.
При
построении
интерполяционных
формул
Ньютона
в
качестве
выбирают
первый
или
последний
узел
,
для
центральных
фор
-
мул
начальным
является
средний
.
При
| |
0,25
целесообразней
приме
-
нять
формулу
Стирлинга
,
а
при
0,25
0,75
Бесселя
.
2.
Интерполяция
сплайнами
2.1.
Понятие
сплайна
Возникает
задача
построения
локального
интерполянта
,
являющегося
гладкой
функцией
на
всем
отрезке
,
.
Эта
задача
решается
с
помощью
сплайнов
.
Термин
сплайн
(
англ
.
spline
)
имеет
техническое
происхождение
.
Пер
-
воначально
сплайнами
называли
длинные
гибкие
деревянные
рейки
,
ис
-
пользовавшиеся
английскими
кораблестроителями
для
вычерчивания
дета
-