ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.04.2021
Просмотров: 398
Скачиваний: 1
11
лей
корпуса
корабля
в
натуральную
величину
.
Другими
словами
,
сплайн
был
чертежным
инструментом
для
построения
гладких
кривых
.
В
вычислительной
математике
под
сплайном
на
отрезке
,
пони
-
мают
кусочно
-
полиномиальную
функцию
,
гладкую
на
всем
отрезке
.
Пусть
отрезок
,
разбит
на
частичных
отрезков
точками
.
Набор
точек
∆
принято
называть
сеткой
.
Сплайном
степени
порядка
на
отрезке
,
,
соответствую
-
щим
сетке
∆
,
называется
функция
;
,
совпадающая
на
каждом
частичном
отрезке
;
,
1,2,
,
с
многочленом
(2.1)
степени
не
выше
k
(
рис
. 2.1).
Из
определения
следует
,
что
для
многочленов
(2.1),
представляющих
сплайн
на
каждом
частичном
отрезке
;
,
имеет
место
равенство
,
1, 2,
,
1,
0,1,
.
(2.2)
Таким
образом
,
сплайн
–
это
функция
,
склеенная
из
многочленов
так
,
что
в
результате
получается
раз
непрерывно
дифференцируе
-
мая
функция
на
отрезке
,
.
Для
сплайнов
степени
и
порядка
на
отрезке
,
используется
обозначение
; ∆
,
,
где
число
называется
дефектом
сплайна
.
Сплайн
называется
интерполяционным
для
заданной
табл
. 1.1,
если
1
−
j
x
j
x
1
+
j
x
Рис
. 2.1
1
+
j
φ
j
φ
12
; ∆
, (2.3)
где
∆
узлы
интерполяции
.
Интерполяция
посредством
сплайнов
называется
сплайн
-
интерполяцией
.
Замечание
2.1.
Непрерывная
кусочно
-
линейная
функция
(
ломаная
)
является
сплайном
первой
степени
нулевого
порядка
(
дефект
равен
1).
На
практике
чаще
всего
используются
сплайны
третьей
степени
второ
-
го
порядка
.
Такие
сплайны
называют
кубическими
.
Выбор
значения
гладко
-
сти
2
объясняется
в
том
числе
и
тем
,
что
при
движении
режущего
инст
-
румента
в
автоматизированных
металлообрабатывающих
комплексах
по
тра
-
ектории
,
являющейся
дважды
непрерывно
дифференцируемой
кривой
,
не
должны
возникать
ударные
нагрузки
.
В
случае
разрывов
второй
производной
по
второму
закону
Ньютона
они
появляются
и
могут
привести
к
разрушению
инструмента
или
дефектам
обрабатываемой
поверхности
.
При
этом
значение
степени
3
является
минимальным
для
обеспечения
существования
ин
-
терполяционного
сплайна
класса
;
для
любой
табл
. 1.1.
2.2.
Конструирование
интерполяционного
кубического
сплайна
На
частичном
отрезке
;
локальное
представление
(2.1)
куби
-
ческого
сплайна
; ∆
имеет
вид
,
1,2,
,
. (2.4)
Поэтому
для
задания
сплайна
требуется
определить
4
неизвестных
.
При
этом
должны
быть
выполнены
условия
:
1)
интерполяционности
(
2
уравнений
)
,
,
1, 2,
, ;
(2.5)
2)
гладкости
(
2
2
уравнений
)
,
,
1, 2,
,
1
. (2.6)
Таким
образом
,
для
определения
интерполяционного
кубического
сплайна
имеем
систему
(2.5)–(2.6),
состоящую
из
4
2
уравнений
относительно
4
неизвестных
.
Для
того
чтобы
получить
систему
,
в
которой
число
уравнений
совпадает
с
числом
неизвестных
,
можно
дополнительно
задать
два
краевых
условия
.
Наиболее
часто
используют
следующие
крае
-
вые
условия
:
1)
,
.
Если
0
,
то
сплайн
называют
естественным
сплайном
.
Это
условие
соответствует
ситуации
,
когда
в
точках
;
и
;
рейка
(
spline
)
закреплена
шарнирно
(
может
свободно
поворачиваться
во
-
круг
этих
точек
).
В
этом
случае
конец
рейки
,
расположенный
левее
(
пра
-
вее
),
оказывается
прямолинейным
,
следовательно
на
нем
0,
0,
;
13
2)
,
.
В
этом
случае
сплайн
называют
сплайном
с
параболическими
кон
-
цевыми
участками
и
вторая
производная
сплайна
на
концевых
частичных
отрезках
,
и
,
есть
константа
(
как
линейная
функция
,
прини
-
мающая
в
концевых
точках
отрезка
равные
значения
).
Это
означает
,
что
сплайн
на
концевых
отрезках
представляется
многочленом
второй
степени
(
график
такого
многочлена
–
парабола
).
3)
,
.
Это
условие
задает
наклоны
сплайна
в
концевых
узлах
.
Такой
сплайн
называется
сплайном
с
жестко
закрепленными
концами
.
Это
соответст
-
вует
ситуации
,
когда
конец
рейки
(
spline
),
расположенный
левее
(
правее
),
жестко
закреплен
под
заданным
углом
к
оси
.
Замечание
2.2.
Система
с
одним
из
краевых
условий
1), 2), 3)
редко
используется
на
практике
для
построения
интерполяционного
кубического
сплайна
из
-
за
большого
числа
неизвестных
.
2.3.
Оптимальный
способ
построения
кубического
сплайна
Напомним
,
что
для
кубического
сплайна
вторая
производная
есть
кусочно
-
линейная
функция
на
отрезке
;
.
Обозначим
для
-
го
частичного
отрезка
;
через
его
длину
и
положим
,
.
График
есть
пря
-
мая
,
проходящая
через
точки
;
и
;
.
Имеем
. (2.7)
Найдем
теперь
как
первообразную
для
на
;
:
.
(2.8)
Аналогично
получим
как
первообразную
для
на
;
:
.
(2.9)
Значения
и
нужно
выбрать
так
,
чтобы
сплайн
на
концах
отрез
-
ка
;
принимал
заданные
условием
интерполяции
значения
и
соответственно
.
Полагая
в
(2.9)
и
,
получим
систему
уравнений
отно
-
сительно
неизвестных
и
:
6
,
6
.
Найдем
решение
этой
системы
.
14
6
,
6
.
Подставив
найденные
выражения
для
и
в
(2.8)
и
(2.9),
имеем
, (2.10)
+[
.
(2.11)
Если
известны
,
,
то
полученные
формулы
(2.7), (2.10)
и
(2.11)
позволяют
вычислить
значение
интерполяционного
ку
-
бического
сплайна
и
его
производных
,
в
любой
точке
отрезка
;
.
Теперь
найдем
,
0,1,2, … ,
.
Положим
в
(2.10)
и
воспользуемся
условием
,
1,2, … ,
1
(
см
. (2.6)),
получим
систему
линейных
уравнений
:
2
,
1,2, … ,
1,
(2.12)
где
6
.
(2.13)
Итак
,
доказана
Теорема
2.1.
Формулы
(2.11)
представляют
для
функции
(
заданной
табл
.
1.1
)
интерполяционный
кубический
сплайн
; ∆
на
каж
-
дом
частичном
отрезке
;
,
1,2, … ,
тогда
и
только
тогда
,
когда
вектор
(
,
, … ,
)
является
решением
системы
(2.12)–(2.13).
Система
(2.12)–(2.13)
содержит
1
уравнение
относительно
1
неизвестных
, , … ,
.
После
добавления
краевого
условия
1)
получа
-
ем
систему
из
1
уравнений
относительно
1
неизвестных
.
Для
краевых
условий
1)
система
имеет
вид
,
2
,
1,2, … ,
1.
,
Матрица
полученной
системы
уравнений
для
определения
, ,
… ,
оказывается
трехдиагональной
.
Замечание
2.3.
Системы
линейных
уравнений
с
трехдиагональными
матрицами
эффективно
решаются
методом
прогонки
(
специальная
моди
-
15
фикация
метода
Гаусса
для
решения
систем
линейных
уравнений
).
Если
трехдиагональная
матрица
имеет
преобладающую
главную
диагональ
,
то
ее
определитель
отличен
от
нуля
.
Из
замечания
2.3
немедленно
следует
Теорема
2.2.
Интерполяционный
кубический
естественный
сплайн
; ∆
(
удовлетворяющий
условиям
(2.5)–(2.6)
и
0,
0
)
существует
и
единственен
.
Сформулируем
без
доказательства
предложение
,
устанавливающее
характер
сходимости
интерполяционного
кубического
естественного
сплайна
.
Имеет
место
Предложение
2.1.
Если
;
и
∆
–
равномерная
сетка
с
шагом
,
,
0, 1, … , ,
то
для
интерполяцион
-
ного
кубического
естественного
сплайна
; ∆
справедливы
оценки
max
;
|
|
,
max
;
|
|
,
max
;
|
|
,
где
max
.
Таким
образом
,
для
;
интерполяционный
кубический
ес
-
тественный
сплайн
и
его
производные
до
второго
порядка
включительно
на
отрезке
;
при
∞
(
0
)
равномерно
сходятся
к
интерполируемой
функции
и
ее
производным
соответственно
.
Задание
(
по
вариантам
).
С
помощью
интерполяционных
многочленов
Ньютона
,
Стирлинга
и
Бесселя
найдите
значение
функции
,
заданной
табл
. 1,
в
точках
, ,
(
табл
. 2). C
помощью
сплайн
-
интерполяции
най
-
дите
значение
данной
функции
в
точке
.
Вариант
1.
Таблица
1
Значения
функции
в
узлах
сетки
Узлы
сетки
Значение
функции
в
узлах
0,0 0,946083
0,1 1,028685
0,2 1,108047
0,3 1,183958
0,4 1,256227
0,5 1,324684
0,6 1,389181
0,7 1,449592
0,8 1,505817
0,9 1,557775