ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 502
Скачиваний: 1
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
16
3.2.
Метод
Лагранжа
вариации
произвольных
постоянных
Этот
метод
позволяет
находить
общее
решение
любого
неоднородного
линейного
дифференциального
уравнения
(
НЛДУ
),
если
известна
фундаментальная
система
решений
соответствующего
однородного
линейного
дифференциального
уравнения
(
ОЛДУ
).
Рассмотрим
подробно
ЛДУ
второго
порядка
.
Теорема
.
Пусть
для
однородного
ЛДУ
второго
порядка
( )
( )
( )
0
a x y
b x y
c x y
′′
′
+
+
=
нам
известно
его
общее
решение
:
оо
1 1
2 2
( )
( )
y
С
x
С
x
ϕ
ϕ
=
+
,
Тогда
для
неоднородного
ЛДУ
( )
( )
( )
( )
a x y
b x y
c x y
f x
′′
′
+
+
=
общее
решение
можно
найти
в
виде
он
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
y
С
x
x
С
x
x
ϕ
ϕ
=
⋅
+
⋅
,
где
производные
1
( )
C
x
′
и
2
( )
C
x
′
являются
решениями
системы
двух
линейных
уравнений
с
расширенной
матрицей
:
1
2
0
1
2
( )
( )
0
( )
( )
( )
x
x
f
x
x
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
′
′
и
0
( )
( )
( )
f x
a x
f
x
=
.
Эта
система
всегда
имеет
единственное
решение
на
любом
промежутке
,
где
непрерывны
все
коэффициенты
ОЛДУ
и
( )
0
a x
≠
.
Пример
8
Найти
общее
решение
дифференциального
уравнения
8
4
1 cos
y
y
x
′′ + =
+
. (5)
Решение
.
Напишем
соответствующее
однородное
ЛДУ
:
4
0
y
y
′′ + =
,
составим
для
него
характеристическое
уравнение
2
4
1 0
λ
+ =
и
найдем
его
корни
:
1
1,2
2
i
λ
= ±
.
Общее
решение
для
ОЛДУ
имеет
вид
оо
1
2
cos
sin
2
2
x
x
y
C
C
=
+
.
Общее
решение
данного
уравнения
(5)
будем
искать
в
виде
он
1
2
( ) cos
( ) sin
2
2
x
x
y
C x
C x
=
+
. (6)
В
данном
случае
1
2
( )
cos
,
( )
sin
2
2
x
x
x
x
ϕ
ϕ
=
=
.
Производные
функций
1
( )
C
x
′
и
2
( )
C
x
′
удовлетворяют
системе
линейных
уравнений
с
расширенной
матрицей
:
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1 cos
cos
sin
0
sin
cos
x
x
x
x
x
+
−
Решим
эту
систему
по
формулам
Крамера
:
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
cos
sin
cos
sin
sin
cos
x
x
x
x
x
x
∆ =
=
+
=
−
,
( )
2
2
2
1
2
1
2
2
2
0
sin
2sin
sin
2
1 cos
cos
cos
1 cos
x
x
x
x
x
x
x
∆ =
= −
= −
+
+
,
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
17
2
2
2
1
2
2
2
cos
0
2 cos
1
2
1 cos
cos
sin
1 cos
x
x
x
x
x
x
∆ =
=
=
+
−
+
.
Следовательно
,
( )
1
2
1
2
2
2sin
( )
cos
x
x
C
x
∆
′
=
=
∆
,
2
2
2
2
( )
cos
x
C
x
∆
′
=
=
∆
.
Теперь
,
интегрируя
,
находим
:
( )
2
1
1
2
2
2
2 sin
4
( )
,
cos
cos
x
x
x
dx
C x
C
=
=
+
∫
2
2
2
2
2
1 sin
2
( )
4 ln
cos
cos
x
x
x
dx
C x
C
+
=
=
+
∫
, (7)
где
1
2
,
C C
const
=
.
Подставляя
полученные
функции
1
( )
C x
и
2
( )
C x
(7)
в
(6)
получим
искомое
общее
решение
неоднородного
ЛДУ
(5):
2
1
он
2
2
2
2
2
1 sin
4
cos
4ln
sin
cos
cos
x
x
x
x
x
y
C
C
+
=
+
+
+
=
(
)
оо
чн
2
1
2
2
частное
реш
.
неодн
.
ЛДУ
общее
реш
.
однор
.
ЛДУ
1 sin
4
4sin
ln
cos
sin
2
2
2
cos
x
x
y
y
x
x
x
C
C
−
−
+
=
+
⋅
+
+
(
черту
над
настоящими
константами
уже
можно
опустить
).
3.3.
Задачи
для
самостоятельного
решения
.
1.
Найти
общее
решение
дифференциальных
уравнений
второго
порядка
с
постоянными
коэффициентами
:
(
а
) 3
4
0
y
y
y
′′
′
+
−
=
; (
б
) 4
12
9
0
y
y
y
′′
′
+
+
=
; (
в
)
5
0
y
y
′′
′
−
=
; (
г
)
9
0
y
y
′′ −
=
;
(
д
)
9
0
y
y
′′ +
=
; (
е
) ; (
ж
)
4
13
0
y
y
y
′′
′
−
+
=
;
2.
Найти
частное
решение
,
удовлетворяющее
начальным
условиям
:
(
а
)
6
0
y
y
y
′′
′
+
−
=
, (0)
1,
(0)
4
y
y
′
=
=
;
(
б
)
4
4
0
y
y
y
′′
′
−
+
=
, (0)
1,
(0)
2
y
y
′
= −
=
;
(
в
)
4
5
0
y
y
y
′′
′
−
+
=
, (0)
1,
(0)
0
y
y
′
=
=
.
Найти
общее
решение
неоднородного
ЛДУ
второго
порядка
:
(
а
)
1
3
2
1
x
y
y
y
e
′′
′
+
+
=
+
; (
б
)
2
2
4
x
e
y
y
y
x
′′
′
−
+
=
−
; (
в
)
1
9
sin
y
y
x
′′ +
=
,
4.
Линейные
дифференциальные
уравнения
п
-
го
порядка
с
постоянными
коэффициентами
Неоднородное
линейное
дифференциальное
уравнение
(
НЛДУ
)
имеет
вид
:
( )
(
1)
0
1
1
( )
( )
...
( )
( )
( )
n
n
n
n
a x y
a x y
a
x y
a
x y
f x
−
−
′
+
+
+
+
=
(8)
или
,
символически
,
[ ]
( )
y
f x
=
L
, (8*)
Соответствующее
однородное
линейное
дифференциальное
уравнение
(
ОЛДУ
)
имеет
вид
( )
(
1)
0
1
1
( )
( )
...
( )
( )
0
n
n
n
n
a x y
a x y
a
x y
a x y
−
−
′
+
+
+
+
=
(9)
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
18
или
,
символически
,
[ ]
0
y
=
L
Структура
общего
решения
однородного
ЛДУ
п
-
го
порядка
.
Общее
решение
ОЛДУ
(9)
с
непрерывными
коэффициентами
имеет
вид
оо
1
1
1
1
( ) ...
( )
y
С
x
С
x
ϕ
ϕ
=
⋅
+
+
⋅
,
где
1
1
( ), ...,
( )
x
x
ϕ
ϕ
–
линейно
независимые
частные
решения
этого
ЛДУ
,
образующие
фундаментальную
систему
решений
этого
ОЛДУ
,
1
, ...,
n
C
C –
произвольные
константы
.
4.1.
Решение
ОЛДУ
п
-
го
порядка
с
постоянными
коэффициентами
.
Рассмотрим
ОЛДУ
:
( )
(
1)
0
1
1
...
0
n
n
n
n
a y
a y
a
y
a y
−
−
′
+
+
+
+
=
, (10)
где
0
,
0
i
a
const
a
=
∈
≠
R
.
Многочлен
1
0
1
1
0
( )
...
n
n
def
P
a
a
a
a
λ
λ
λ
λ
−
=
+
+
+
+
(11)
называется
характеристическим
для
ОЛДУ
(3).
Алгебраическое
уравнение
( )
0
P
λ
=
также
называется
характеристическим
.
Построение
фундаментальной
системы
решений
для
ОЛДУ
с
постоянными
коэффициентами
п
-
го
порядка
Пусть
1
2
,
, ...,
k
λ λ
λ
–
все
корни
(
вещественные
и
/
или
комплексные
)
характеристического
уравнения
(4),
а
натуральные
числа
1
2
,
, ...,
k
r r
r
–
соответствующие
кратности
этих
корней
.
Это
значит
,
что
характеристический
многочлен
разлагается
в
произведение
1
2
0
1
2
( )
(
) (
) ... (
)
k
r
r
r
k
P
a
λ
λ λ
λ λ
λ λ
=
−
⋅
−
⋅ ⋅
−
,
и
общее
количество
корней
с
учетом
их
кратностей
равно
порядку
п
ОЛДУ
,
т
.
е
.
1
2
...
k
r
r
r
n
+
+
+
=
.
Заметим
также
,
что
все
коэффициенты
характеристического
уравнения
вещественны
,
и
поэтому
его
комплексные
корни
попарно
комплексно
сопряжены
,
т
.
е
.
если
имеется
корень
i
λ α
β
=
+
кратности
r
,
то
имеется
и
корень
i
λ α
β
=
−
той
же
кратности
r
.
(1
°
)
Каждому
вещественному
корню
j
λ
γ
= ∈
R
кратности
r
соответствуют
ровно
r
различных
функций
,
составляющих
ФСР
уравнения
(10):
1
1
2
( )
,
( )
,...,
( )
x
x
r
x
r
x
e
x
x e
x
x
e
γ
γ
γ
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
= ⋅
=
⋅
(2
°
)
Каждой
паре
комплексно
сопряженных
корней
j
i
λ
α
β
=
±
,
где
,
α
β
+
∈
∈
R
R
,
каждый
из
которых
имеет
кратность
r
,
соответствуют
r
пар
функций
,
составляющих
ФСР
уравнения
(3) (
а
всего
их
2
r
):
1
1
2
( )
cos
,
( )
cos
, ...,
( )
cos
;
x
x
r
x
r
x
e
x
x
x e
x
x
x
e
x
α
α
α
ϕ
β ϕ
β
ϕ
β
−
=
⋅
= ⋅
⋅
=
⋅
⋅
1
1
2
( )
sin
,
( )
sin
, ...,
( )
sin
x
x
r
x
r
x
e
x
x
x e
x
x
x
e
x
α
α
α
ψ
β ψ
β
ψ
β
−
=
⋅
= ⋅
⋅
=
⋅
⋅
.
Полная
фундаментальная
система
решений
ОЛДУ
(10)
состоит
из
всех
функций
,
построенных
таким
образом
для
всех
корней
характеристического
уравнения
.
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
19
Пример
9
.
Найти
общие
решения
следующих
ОЛДУ
:
(
а
)
8
0
y
y
′′′ −
=
; (
б
)
5
3
0
y
y
y
y
′′′
′′
′
−
−
−
=
; (
в
)
(7)
(3)
16
0
y
y
−
=
.
Решение
.
Запишем
для
каждого
ОЛДУ
характеристический
многочлен
( )
P
λ
и
разложим
его
на
множители
:
(
а
)
3
2
( )
8
(
2)(
2
4)
0
P
λ
λ
λ
λ
λ
=
− =
−
+
+
=
,
корни
1
2,3
2,
1
3
i
λ
λ
=
= − ±
,
их
кратности
равны
1.
Поэтому
(
)
(
)
2
оо
1
2
2
cos
3
sin
3
x
x
x
y
C e
C e
x
C e
x
−
−
=
+
+
;
(
б
)
3
2
2
2
( )
5
2
(
1)(
2
3)
(
1) (
3)
0
P
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
−
−
− =
+
−
−
=
+
−
=
,
корни
и
их
кратности
:
1
1
1,
2
r
λ
= −
=
,
2
2
3,
1
r
λ
=
=
,
поэтому
3
оо
1
2
3
x
x
x
y
C e
C xe
C e
−
−
=
+
+
.
(
в
)
7
3
3
4
3
2
( )
16
(
16)
(
2)(
2)(
4)
P
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
=
−
=
−
=
−
+
+
,
корни
и
их
кратности
:
1
1
2
2
3
3
0,
3;
2,
1,
2,
1,
r
r
r
λ
λ
λ
=
=
=
=
= −
=
4,5
0 2
i
λ
= ±
,
4,5
1
r
=
,
общее
решение
0
0
2
0
2
2
0
0
оо
1
1
1
4
5
6
7
cos 2
sin 2
x
x
x
x
x
x
x
y
С
e
С
x e
С
x
e
C e
C e
C e
x C e
x
−
=
+
⋅
+
⋅
+
+
+
+
=
2
2
2
1
1
1
4
5
6
7
cos 2
sin 2 .
x
x
С
С
x
С
x
C e
C e
C
x C
x
−
=
+
+
+
+
+
+
Структура
общего
решения
неоднородного
линейного
дифференциального
уравнения
.
Общее
решение
неоднородного
ЛДУ
( )
(
1)
0
1
1
( )
( )
...
( )
( )
( )
n
n
n
n
a x y
a x y
a
x y
a
x y
f x
−
−
′
+
+
+
+
=
(8)
есть
сумма
частного
решения
этого
НЛДУ
и
общего
решения
соответствующего
однородного
ЛДУ
( )
(
1)
0
1
1
( )
( )
...
( )
( )
0
n
n
n
n
a x y
a x y
a
x y
a x y
−
−
′
+
+
+
+
=
(9)
Символически
:
он
чн
оо
y
y
y
=
+
.
Теорема
о
наложении
частных
решений
НЛДУ
).
Пусть
правая
часть
( )
f x
неоднородного
ЛДУ
(1),
т
.
е
.
[ ]
( )
y
f x
=
L
,
является
суммой
других
функций
1
( )
( ) ...
( )
m
f x
f x
f
x
=
+
+
,
а
для
каждого
,
1, ...
m
k
=
функция
( )
k
y
x
является
частным
решением
неоднородного
ЛДУ
[ ]
( )
k
y
f
x
=
L
.
Тогда
функция
1
( )
( ) ...
( )
o
m
y
x
y x
y
x
=
+
+
является
частным
решением
уравнения
(8).
4.2.
Метод
неопределенных
коэффициентов
решения
неоднородных
линейных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными
коэффициентами
и
правой
частью
специального
вида
.
Мы
умеем
строить
общее
решение
оо
( )
y
x
однородного
ЛДУ
с
постоянными
коэффициентами
:
( )
(
1)
0
1
1
...
0
n
n
n
n
a y
a y
a
y
a y
−
−
′
+
+
+
+
=
Для
этого
надо
составить
характеристического
уравнения
1
0
1
1
0
...
0
n
n
a
a
a
a
λ
λ
λ
−
+
+
+
+
=
,
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
20
найти
его
корни
1
2
,
, ...,
k
λ λ
λ
и
определить
их
кратности
1
2
,
, ...,
k
r r
r
(
натуральные
числа
,
т
.
е
.
целые
положительные
).
Условимся
считать
,
что
если
вещественное
или
комплексное
число
λ
не
является
корнем
данного
характеристического
уравнения
,
то
мы
все
равно
будем
считать
его
корнем
кратности
ноль
.
Для
нахождения
общего
решения
он
( )
y
x
неоднородного
ЛДУ
( )
(
1)
0
1
1
...
( )
n
n
n
n
a y
a y
a
y
a y
f x
−
−
′
+
+
+
+
=
надо
знать
его
какое
-
нибудь
частное
решение
чн
( )
y
x
,
поскольку
он
чн
оо
y
y
y
=
+
.
Такое
частное
решение
можно
найти
методом
неопределенных
коэффициентов
в
том
случае
,
если
функция
( )
f x
имеет
специальный
вид
первого
или
второго
типа
.
Специальный
вид
правой
части
1-
го
типа
:
( )
( )
x
m
f x
e
P
x
α
=
,
где
α
∈
R
,
( )
m
P
x
–
многочлен
степени
т
.
Пусть
число
α
является
корнем
кратности
r
характеристического
уравнения
.
В
этом
случае
частное
решение
можно
найти
в
виде
:
чн
( )
r
x
m
y
x e
P
x
α
=
,
где
( )
P x
–
многочлен
степени
т
с
неопределенными
коэффициентами
.
Напомним
,
что
многочлены
степени
0, 1
и
2
с
неопределенными
коэффициентами
имеют
вид
2
,
,
A Ax
B Ax
Bx
D
+
+
+
соответственно
( , ,
, ...
A B D
–
неопределенные
коэффициенты
,
которые
надо
найти
).
Чтобы
найти
эти
коэффициенты
,
следует
:
(1)
найти
первую
,
вторую
и
т
.
д
.
производные
функции
чн
( )
r
x
m
y
x e
P
x
α
=
;
(2)
подставить
их
в
данное
НЛДУ
( )
(
1)
0
1
1
...
( )
n
n
x
n
n
a y
a y
a
y
a y
e
P x
α
−
−
′
+
+ +
+
=
,
привести
подобные
и
сократить
левую
и
правую
части
на
x
e
α
;
(3)
Приравнять
коэффициенты
при
одинаковых
степенях
переменной
х
слева
и
справа
;
получится
система
линейных
уравнений
(
число
этих
уравнений
будет
равно
(
1)
m
+
–
числу
искомых
неопределенных
коэффициентов
);
(4)
Решить
полученную
систему
уравнений
.
Специальный
вид
правой
части
2-
го
типа
:
(
)
( )
( ) cos
( ) sin
x
m
k
f x
e
P
x
x Q x
x
α
β
β
=
⋅
+
,
где
α
∈
R
,
β
+
∈
R
,
( )
m
P
x
и
( )
k
Q x
–
многочлены
степени
т
и
k
соответственно
(
один
из
этих
многочленов
может
вовсе
отсутствовать
,
т
.
е
.
быть
нулевым
).
Нулевой
многочлен
будем
считать
имеющим
степень
минус
один
.
Пусть
комплексные
числа
i
λ α
β
=
±
являются
корнями
характеристического
уравнения
кратности
r
и
max{ , }
N
m k
=
.
В
этом
случае
частное
решение
можно
найти
в
виде
:
(
)
чн
( ) cos
( ) sin
r
x
N
N
y
x e
P
x
x Q
x
x
α
β
β
=
⋅
⋅
+
.
Чтобы
найти
коэффициенты
многочленов
( )
N
P
x
и
( )
N
Q
x
,
надо
:
(1)
найти
первую
,
вторую
и
т
.
д
.
производные
функции
чн
( )
r
x
m
y
x e
P
x
α
=
;
(2)
подставить
их
в
данное
НЛДУ
(
)
( )
(
1)
0
1
1
...
( ) cos
( ) sin
n
n
x
n
n
m
k
a y
a y
a
y
a y
e
P
x
x Q x
x
α
β
β
−
−
′
+
+
+
+
=
⋅
+
,
привести
подобные
и
сократить
левую
и
правую
части
на
x
e
α
;