ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 500
Скачиваний: 1
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
6
(
)
1
( )
( )
( )
( )
( )
du
du
A x dx
A x u
u
dx
dv
dv
B x
u x
dx
u
B x u v
dx
v
α
α
α
α
−
=
=
⋅
⇔
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
∫
∫
∫
∫
Из
первого
уравнения
находим
функцию
( )
u x
(
без
произвольной
константы
),
а
из
второго
–
функцию
( )
v x
(
с
произвольной
константой
С
).
Второй
метод
решения
дифференциального
уравнения
Бернулли
:
сведение
его
к
линейному
ДУ
.
Умножим
обе
части
уравнения
Бернулли
( )
( )
y
A x y
B x
y
α
′ =
⋅ +
⋅
на
(1
)
y
α
α
−
−
,
введем
новую
переменную
1
z
y
α
−
=
,
тогда
(1
)
x
x
z
y
y
α
α
−
′
′
=
−
⋅
⋅
и
получится
линейное
дифференциальное
уравнение
относительно
неизвестной
функции
( )
z x
:
1
1
(1
) ( )
(1
) ( )
( )
( )
x
x
z
A x z
B x
z
A x z
B x
α
α
′
′
=
−
⋅ +
−
⇔
=
⋅ +
,
где
1
( )
(1
) ( )
A x
A x
α
=
−
,
1
( )
(1
) ( )
B x
B x
α
=
−
.
Решая
это
линейное
ДУ
методом
Бернулли
или
(
что
почти
одно
и
тоже
)
методом
Лагранжа
,
находим
функцию
( )
z x
,
а
затем
и
1
1
( )
y x
z
α
−
=
.
5)
если
дифференциальное
уравнение
первого
порядка
( , )
dy
f x y
dx
=
не
является
ни
одним
из
этих
четырех
видов
,
надо
его
«
перевернуть
»,
т
.
е
.
записать
в
виде
1
( , )
dx
dy
f x y
=
.
При
этом
часто
получается
линейное
ДУ
( )
( )
dx
A y x
B y
dy
=
⋅ +
, (1)
или
ДУ
типа
Бернулли
( )
( )
dx
A y x
B y x
dy
α
=
⋅ +
⋅
(2)
относительно
неизвестной
функции
( )
x y
,
которые
решаем
вышеописанными
способами
с
тем
исключением
,
что
во
всех
формулах
х
и
у
меняются
местами
.
А
именно
,
решение
дифференциального
уравнения
(1)
ищется
в
виде
( )
( )
x
u y
v y
=
⋅
,
где
( )
( )
A y dy
u y
e
∫
=
,
( )
( )
( )
B y
v y
dy
u y
=
∫
,
а
дифференциальное
уравнение
(2)
сводится
к
линейному
ДУ
умножением
обеих
частей
на
(1
)
x
α
α
−
−
и
введением
новой
переменной
1
z
x
α
−
=
,
получится
1
1
( )
( )
y
z
A y z
B y
′ =
⋅ +
.
6)
Если
дифференциальное
уравнение
имеет
вид
( , )
( , )
0
P x y dx
Q x y dy
+
=
,
то
его
надо
сначала
привести
к
виду
( , )
( , )
( , )
dy
P x y
f x y
dx
Q x y
= −
≡
,
определить
вид
данного
ДУ
и
применить
один
из
вышеописанных
методов
.
Если
оно
не
является
дифференциальным
уравнением
ни
одного
из
вышеуказанных
четырех
видов
,
то
надо
проверить
,
не
является
ли
выражение
( , )
( , )
P x y dx
Q x y dy
+
полным
дифференциалом
некоторой
функции
( , )
U x y
,
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
7
т
.
е
.
проверить
,
существует
ли
такая
функция
( , )
U x y
,
что
( , ),
( , )
U
U
P x y
Q x y
x
y
∂
∂
≡
≡
∂
∂
во
всех
точках
области
Ω
,
в
которой
ищется
решение
данного
дифференциального
уравнения
.
Как
известно
из
курса
дифференциального
исчисления
функций
нескольких
переменных
,
если
область
Ω
односвязна
,
такая
функция
( , )
U x y
существует
тогда
и
только
тогда
,
когда
и
во
всех
точках
этой
области
выполняется
условие
Q
P
x
y
∂
∂
≡
∂
∂
.
Если
это
условие
выполнено
,
то
данное
ДУ
( , )
( , )
0
P x y dx
Q x y dy
+
=
называется
дифференциальным
уравнением
в
полных
дифференциалах
.
Чтобы
его
решить
,
надо
найти
функцию
( , )
U x y
:
( , )
( , )
( , )
( )
y const
U x y
P x y dx
F x y
C y
=
=
=
+
∫
.
Для
нахождения
функции
( )
C y
надо
найти
y
U
F
C
y
y
∂
∂
′
=
+
∂
∂
и
приравнять
функции
( , )
Q x y
.
Если
требуемая
функция
( , )
U x y
найдена
,
то
общее
решение
данного
ДУ
имеет
вид
( , )
U x y
C
=
.
1.3.
Примеры
решения
дифференциальных
уравнений
первого
порядка
.
Пример
1.
Найти
общее
решение
дифференциальных
уравнений
первого
порядка
:
(
а
)
2
2
(
3)
3
x
dy
y x
dx
xydx
+
+
+
=
;
(
б
) (
)
(
)
x dx
dy
y dy
dx
−
=
+
;
(
в
) (
1)
2 ln
x y
y
x
x
′ −
+
=
;
(
г
)
4
y
y
x
y
′ =
−
;
(
д
)
2
2
2
2
1
3
2 cos 2
0
y
x
y
x
y
x
dx
y
dy
−
−
+
+
−
=
Решение
. (
а
)
Запишем
данное
ДУ
в
виде
( , )
dy
f x y
dx
=
:
2
2
2
2
2
2
(
3 )
(
3)
3
(
3)
(
3)
3
y x
x
dy
x
dy
y x
dx
xydx
x
dy
y x
x
dx
dx
x
−
+
+
+
+
=
⇔
+
=
−
+
⇔
=
+
Правая
часть
этого
ДУ
имеет
вид
произведения
двух
функций
:
одной
,
зависящей
только
от
х
,
и
другой
,
зависящей
только
от
у
,
т
.
е
.
это
ДУ
с
разделяющимися
переменными
.
Разделяем
их
(
т
.
е
.
отделяем
их
друг
от
друга
)
и
интегрируем
:
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
(
3 )
1
3
3
3
ln
ln(
3)
ln
3
.
3
3
y x
x
dy
dy
x
dx
dx
y
x
x
x
x dx
dy
dx
y
x
x
x
C
y
x
x
−
+
=
⇔
=
−
⇒
+
+
+
⇒
=
−
⇔
=
+
−
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
Отсюда
2
2
2
1
2
2
2
(
3)
(
3)
3
ln
3
3
3
C
y x
x
y x
x
x
C
e
y
C
x
x
x
x
+
+
+
+
+
=
⇒
= ±
⇒
=
+
+
+
+
,
где
1
C
C
e
= ±
.
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
8
(
б
)
Запишем
данное
ДУ
в
виде
( , )
dy
f x y
dx
=
:
1
(
)
(
)
(
)
(
)
1
y
x
y
x
dy
x
y
x dx
dy
y dy
dx
x
y dx
y
x dy
dx
x
y
−
−
−
=
+
⇔
−
=
+
⇔
=
=
+
+
.
Это
ДУ
с
однородной
правой
частью
,
т
.
к
.
его
правая
часть
зависит
только
от
отношения
y
x
.
Положим
y
dy
du
u
y
x u
u
x
x
dx
dx
=
⇒
= ⋅
⇒
=
+ ⋅
,
тогда
2
1
1
1
1
1
1
1
1
y
x
y
x
dy
du
u
du
u
u
u
u
u
x
x
u
dx
dx
u
dx
u
u
−
−
−
− − −
=
⇔
+ ⋅
=
⇔ ⋅
=
−
=
⇒
+
+
+
+
Получили
ДУ
с
разделяющимися
переменными
,
решим
его
:
( )
(
)
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
(
1)
ln
2
1
ln
ln
1 2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
u
du
u
du
dx
dx
u
u
x
C
x
x
u
u
u
u
x
u
u
C
x
C
x
C
y
xy
x
C
+
+
=
⇒
−
=
⇒
−
+
−
=
+
⇒
−
−
+
−
⋅
+
− =
⇒
⋅
+
− =
⇒
+
−
=
⇒
+
−
=
∫
∫
(
в
)
Запишем
данное
ДУ
в
виде
( , )
y
f x y
′ =
: (
1)
2 ln
2ln
1
y
x y
y
x
x
y
x
x
′
′
−
+
=
⇔
= −
+
+
.
Это
линейное
ДУ
,
т
.
к
.
оно
имеет
вид
( )
( )
y
A x y
B x
′ =
+
,
где
1
( )
,
( )
2ln
1
x
A x
B x
x
= −
=
+
.
Решение
ищем
в
виде
( )
( )
y
u x
v x
=
⋅
,
где
(
)
{
}
1
( )
ln
ln
2
1
( )
;
( )
( )
(2 ln
)
по
частям
ln
.
( )
dx
A x dx
x
x
x
u x
e
e
e
e
x
B x
v x
dx
x
x
x dx
x
x
C
u x
−
−
−
∫
∫
=
=
=
=
=
=
=
+
=
=
+
∫
∫
Следовательно
,
(
)
2
1
ln
ln
x
C
y
u v
x
x
C
x
x
x
= ⋅ = ⋅
+
=
+
.
(
г
)
Дифференциальное
уравнение
4
dy
y
dx
x
y
=
−
не
принадлежит
ни
к
одному
из
известных
нам
типов
,
поэтому
попробуем
«
перевернуть
»
его
,
получим
:
3
dx
x
y
dy
y
=
−
.
Это
линейное
ДУ
относительно
неизвестной
функции
( )
x y
,
3
1
( )
,
( )
y
A y
B y
y
=
= −
,
его
решение
ищем
в
виде
( )
( )
x
u y
v y
=
⋅
,
где
ln
( )
dy
y
y
u y
e
e
y
∫
=
=
=
,
3
3
1
3
( )
( )
( )
B y
y
v y
dy
dy
y
C
u y
y
=
= −
= −
+
∫
∫
,
поэтому
общее
решение
есть
3
4
1
1
3
3
(
)
x
y C
y
Cy
y
=
−
=
−
.
(
д
)
Если
записать
данное
ДУ
в
виде
( , )
dy
f x y
dx
=
,
то
получим
2
2
2
1
2
3
2
2
2cos 2
2
3
1
2
2 cos 2
.
x
x y
y
y
x y
x
x
y
y
y
x
y
dy
dy
dx
dx
+
−
⇔
−
−
−
+
−
⋅
−
=
=
Это
дифференциальное
уравнение
не
принадлежит
ни
к
одному
из
первых
четырех
типов
.
Поэтому
проверим
,
не
является
ли
исходное
ДУ
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
9
2
2
2
2
1
3
2 cos 2
0
y
x
y
x
y
x
dx
y
dy
−
−
+
+
−
=
уравнением
в
полных
дифференциалах
.
Здесь
3
2
2
2
2
2
2
1
( , )
3
,
( , )
2cos 2
,
.
(
)
x
y
y
x
y
x
y
P x y
x
Q x y
y
y
Q
P
x
y
−
−
=
+
=
−
′
′
=
=
−
Следовательно
,
левая
часть
данного
дифференциального
уравнения
есть
полный
дифференциал
некоторой
функции
( , )
U x y
и
2
2
2
2
1
( , )
3
,
( , )
2 cos 2
y
x
y
x
y
U
U
P x y
x
Q x y
y
x
y
−
−
∂
∂
=
=
+
=
=
−
∂
∂
.
Найдем
функцию
( , )
U x y
:
(
)
2
1
2
3
2
( , )
( , )
3
2
( ).
y const
x y
U x y
P x y dx
x
dx
x
x
y
C y
=
−
=
=
+
=
=
+
−
+
∫
∫
Но
(
)
2
3
2
2
2
2
2
( )
( )
( , )
2 cos 2
y
y
x
y
y
U
x
x
y
C y
C y
y
x
y
Q x y
y
−
′
∂
′
=
+
−
+
=
+
=
∂
−
=
=
−
Следовательно
,
( )
2cos 2
( )
sin 2
C y
y
C y
y
′
=
⇒
=
.
Окончательно
,
3
2
( , )
2
sin 2
U x y
x
x
y
y
=
+
−
+
,
и
решение
нашего
ДУ
имеет
вид
3
2
2
sin 2
x
x
y
y
C
+
−
+
=
Ответы
: (
а
)
2
1
2
3
3
x
y
C
x
x
+
=
+
+
; (
б
)
2
2
1
2
y
xy
x
C
+
−
=
; (
в
)
ln
C
y
x
x
x
=
+
;
(
г
)
4
1
3
x
Cy
y
=
−
.; (
д
)
3
2
2
sin 2
x
x
y
y
C
+
−
+
=
.
Пример
2.
Найти
частное
решение
дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее
начальному
условию
:
(
а
)
2
(4
1)
y
x
y
′ =
+
+
, (0)
1
y
=
;
(
б
)
3
1
1
2
2
(
)
0,
(1)
xdy
y
y x dx
y
+
−
=
=
.
Решение
. (
а
)
Сделаем
замену
4
1
z
x
y
=
+
+
,
тогда
4
4
x
x
x
x
z
y
y
z
′
′
′
′
=
+
⇒
=
−
,
подставим
в
исходное
ДУ
,
получим
ДУ
с
разделяющимися
переменными
:
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
2
(4
1)
4
4
4
arctg
2
4
4
1
2 tg
2 tg
4
1.
dz
dz
y
x
y
z
z
z
dx
dx
z
dz
z
dx
x
C
z
x
y
z
x
C
y
x
C
x
′
′
=
+
+
⇔
−
=
⇔
=
+
⇒
=
⇒
+
=
⇒
=
+
⇒
+
⇒
+
+ =
=
+
⇒
=
+
−
−
∫
∫
.
С
.
К
.
Соболев
.
Дифференциальные
уравнения
10
Подставим
начальное
условие
(
0,
1)
x
y
=
=
и
определим
значение
константы
С
:
1
2 tg( ) 1
4
C
C
π
=
−
⇒
=
.
Следовательно
,
(
)
4
2 tg
4
1.
y
x
x
π
=
+
−
−
(
б
)
Запишем
данное
ДУ
в
виде
( , )
y
f x y
′ =
:
3
3
1
1
1
2
2
(
)
0
x
x
dy
xdy
y
y x dx
y
y
y
dx
′
+
−
=
⇔
=
= −
+
.
Это
ДУ
типа
Бернулли
с
показателем
3
α
=
.
Умножим
обе
части
этого
ДУ
на
3
(1
)
2
y
y
α
α
−
−
−
= −
и
положим
1
2
z
y
y
α
−
−
=
=
.
Тогда
3
2
x
x
z
y
y
−
′
′
= −
,
и
получим
линейное
ДУ
относительно
неизвестной
функции
( )
z x
:
3
2
2
2
2
1
1
x
x
x
x
y
y
y
z
z
−
−
′
′
−
=
− ⇔
= ⋅ −
Решим
его
:
(
)
2
2
2ln
ln
2
2
1
1
( )
( ),
( )
,
( )
dx
x
x
x
z
u x
v x
u x
e
e
e
x
v x
dx
C
x
x
∫
=
⋅
=
=
=
=
= −
=
+
∫
,
2
2
2
2
1
1
1
(
)
z
u v
x
C
x
Cx
y
x
y
x
Cx
= ⋅ =
+
=
+
=
⇒
= ±
+
Подставляем
начальное
условие
1
2
(
1,
)
x
y
=
=
,
получаем
знак
«
плюс
»
и
3
C
=
.
Окончательно
2
1
3
y
x
x
=
+
Ответы
: (
а
)
(
)
4
2 tg
4
1.
y
x
x
π
=
+
−
−
; (
б
)
2
1
3
y
x
x
=
+
.
1.4.
Задачи
для
самостоятельного
решения
1.
Найти
общее
решение
дифференциального
уравнения
:
(
а
)
2
3
y
x y
′ =
; (
б
)
2
sin
3
y
y
x
′ =
+
; (
в
)
x y
y
e
+
′ =
; (
г
)
2
ln
0
dy
y
x dx
−
=
;
(
д
)
2
2
(1
)(
)
(1
)
x
y
y e dx
e dy
y dy
+
−
=
+
; (
е
)
sin(
1)
y
y
x
′ =
− −
[
указание
:
ввести
новую
переменную
1
1,
1
x
x
z
y
x
y
z
x
y
z
′
′
=
− −
⇒
= +
+
=
+
].
(
ж
)
( )
sin
y
x
y
y
x
′ =
+
; (
з
)
2
2
y dx
x dy
xydy
+
=
; (
и
)
(
)
cos ln( )
0
y
x
xdy
y
dx
−
=
;
(
к
)
(
)
2
2
(sin 2
2
)
cos3
0
x y
x y
x
e
dx
y
e
dy
−
−
+
+
−
=
2.
Найти
частное
решение
дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее
начальному
условию
:
(
а
)
2
tg
,
( )
1
y
x
y y
π
′
=
=
; (
б
)
2
2
(
)
0
y
x
y
dx
xdy
+
+
−
=
, (1)
0
y
=
.
3.
Найти
общее
решение
дифференциального
уравнения
:
(
а
)
3
y
y
x
x
′ =
+
.; (
б
)
cos
sin
1
y
x
y
x
′
+
=
; (
в
)
2
(1
)
(
arctg )
0
y dx
x
y dy
+
+
−
=
;
(
г
)
2
ln
(
2ln )
y
y
y
x
y y
′
′
+
=
+
; (
д
)
2
y
y
y
xy
′
′
−
=
+
; (
е
)
2
x
ydx
dy
y e dx
+
=
;
(
ж
)
3
sin
2
y x
y
y
xy
′
′
+
=
.
4.
Найти
частное
решение
дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее
начальному
условию
:
(
а
)
2
x
x
y
y
e
′
+
=
+
,
1
4
(0)
y
=
; (
б
)
2
3
(1 3
) sin
0
dy
y
y
x dx
+
+
=
,
( )
2
1
y
π
=
.