Глава 1. Финансовые ренты

Финансовая рента — ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени. Финансовая рента (далее — рента) может быть охарактеризована рядом параметров:

член ренты — величина каждого отдельного платежа;

период ренты — временной интервал между двумя платежами;

срок ренты — время от начала реализации ренты до момента начисления последнего платежа;

процентная ставка — ставка, используемая для расчёта наращения или дисконтирования платежей (в начале, в середине, или в конце года) и др.

На практике используются различные виды финансовых рент. Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми. При производстве платежей несколько раз в году (p раз) ренты называются p-срочными. Эти ренты называются дискретными. Ренты, у которых платежи производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные называются — непрерывные ренты. В зависимости от частоты начисления процентов различают ренты с начислением процентов один раз в году, несколько раз в году (m раз) и непрерывным начислением. С точки зрения стабильности размера платежей ренты подразделяются на постоянные (платежи — члены ренты равны между собой) и переменные. Ренты могут иметь конечное число членов (ограниченные ренты) и быть с бесконечным числом членов (вечные ренты). По моменту выплат членов ренты последние подразделяются на обычные — постнумерандо, в которых платежи производятся в конце соответствующих периодов (года, полугодия и т. д.), и преднамеренно, в которых платежи осуществляются в начале этих периодов. Наращённая сумма - это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращённая сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

§1. Классификация рент

Финансовые операции часто носят продолжительный характер и состоят не из разового платежа, а из последовательности, т.е. потока платежей, возможно, разных знаков. Примером могут служить погашение займа, арендная плата. Инвестиция в производство или ценные бумаги и т.д.

Пусть финансовая операция по договору начинается в момент времени , а заканчивается в момент , а выплата суммы проходит в момент , k=0, 1, …, n, причем

При теоретическом анализе обычно полагают . В следующей главе мы рассмотрим самые общие потоки платежей, а в этой – самые простые, широко распространенные, давно и хорошо изученные.

Определение. Если все выплаты одного знака и проходят через одинаковые интервалы времени , то такая последовательность платежей называется финансовой рентой или аннуитетом (annuity) независимо от назначения этих выплат. Для удобства анализа рент все выплаты будем считать положительными.

---

Ренты часто встречаются на практике. Их примером являются квартирная плата, взносы по погашению потребительского кредита, пенсия, регулярная выплата процентов по банковскому депозиту или ценным бумагам и т.д. Первоначально рассматривались лишь ежегодные (anno – год на латинском языке) выплаты, оттуда и пошло их название «аннуитет». Позднее оно стало включать и все последовательности платежей одног*-о знака через любые одинаковые промежутки времени.

Перечислим теперь основные параметры и проведем классификацию рент. Прежде всего необходимо выбрать базовую единицу времени и задать постоянную эффективную ставку i сложного процента. По которой производятся все расчеты по ренте, указать способ начисления процента и другие технические подробности.

Затем необходимо задать - член ренты. Если все выплаты одной величины, т.е. , то рента называется постоянной , в противном случае – переменной. Члены переменной ренты могут изменяться по заранее заданному правилу. Мы ограничимся рассмотрением постоянных рент.

Далее необходимо задать τ – период ренты или период выплат, т.е. календарную длину постоянного интервала между двумя последовательными выплатами. Задавая еще число n выплат, мы получаем nτ – календарный срок ренты. При теоретическом анализе часто принимают τ за базовую единицу времени, так что , а число n выплат совпадает со сроком ренты.

Выплата ренты может производиться один раз или l раз за год, начисление процентов – один раз или m раз за год. Это – дискретные (l, m)- кратные ренты , причем мы рассмотрим только случай l=m. Когда выплаты и начисление процентов производятся очень часто (например, еженедельно), их проще анализировать как непрерывные и называть непрерывная рента.

Если выплата производится в конце каждого периода, то рента называется постнумерандо или обычной (ordinary annuity), а если в начале периода, то пренумерандо или авансированный (annuity due).

Иногда выплаты могут производиться в середине каждого периода, примером чего может служить ежемесячная выплата пенсии в определенный для каждого пенсионера день. Характеристики этого случая будут заключены между соответствующими характеристиками рент пренумерандо и постнумерандо.

С точки зрения срока ренты делятся на безусловные (annuity certain), когда заранее оговариваются дата первой и последней выплаты, и условные (contingent annuity), когда дата первой и/или последней выплат зависит от того, произойдет или не произойдет некоторое событие. Примером условной ренты может служить пенсия (life annuity), выплата которой начинается после достижения гражданином определенного возраста и прекращается после смерти пенсионера. Анализ условных рент – один из фундаментальных разделов страховой математики, результаты которой в основу расчетов страховых тарифов. Без этого невозможна законная деятельность страховых фирм и пенсионных фондов. Поскольку расчеты условных рент связаны с вероятностями определенных событий и требуют знания хотя бы элементов теории вероятности и математической статистики, то мы не будем их рассматривать и ограничимся лишь безусловными рентами. Однако изучение безусловных рент важно само по себе и, кроме того, служит хорошим введением в изучение условных рент.

---

Если n = ∞, то соответствующая рента называется бессрочной, или вечной (perpetuity). Хотя такая рента на первый взгляд может показаться нам странной, но случай n = ∞ имеет не только теоретический интерес. Примером здесь могут служить «консоли» - бессрочные облигации британского казначейства, выпущенные еще в XIX в. Выплаты по ним производятся два раза в год обычно под 2,5 % годовых, а сама облигация может быть выкуплена в любое время по желанию владельца. Облигации рассматриваются в теории ценных бумаг, которой посвящено много книг и статей.

Если период ренты совпадает с периодом начисления процентов, то рента называется простой, в противном случае – общей. Мы будем рассматривать только простые постоянные безусловные ренты и если это не вызывает сомнений, называть их кратко «рента». Тип выплат постнумерандо или пренумерандо будут указываться дополнительно.

§2 . Финансовый анализ базовых рент пренумерандо и постнумерандо

2.1.Коэффициенты дисконтирования и наращения рент

Примем период τ ренты за базовую единицу времени, тогда ее срок составит n этих единиц, где n – любое целое число, n≥1. Пусть каждый член ренты равен Y ден. Ед., а ставка сложного процента за базовую единицу времени равна i (эффективная ставка). Для краткости ренту пренумерандо обозначим через , а ренту постнумерандо – через . Для удобства применим момент начала договора ренты за 0. Чтобы избежать в математической модели выплат на границе интервалов, разобьем интервал [0,n) – срок действия договора – на n прилегающих, но непересекающихся интервалов длины 1:

[0, 1), [1, 2),…, [n-1,n).

Левый конец каждого из этих интервалов включен в него, а правый – нет. Для наглядности выберем также некоторое малое положительное число и представим себе, что в интервале [k-1, k) выплата постнумерандо происходит в момент k - ℇ, k=1, 2, …, n-1. Такой подход позволяет избежать путаницы при подсчете общего числа выплат до момента k (рис.1.1).

Рис. 1.1

Например, пусть период ренты равен одному месяцу, выплата постнумерандо происходит в первый, а пренумерандо – в последний рабочий день месяца. Тогда в математической модели можно принять, что

.

Как правило, в действительности мы не будем пользоваться этой конкретизацией, а будем считать, что выплаты постнумерандо непосредственно предшествуют, а выплаты пренумерандо сразу следуют за числом (датой) k – границей между смежными периодами ренты. Формально это означает, что ℇ пренебрежимо мало.

Заключив построение модели выплат, перейдем к чисто финансовому анализу. В главе 2 мы установили, что стоимость каждой денежной суммы зависит от момента ее получения, так что при суммировании разновременных денежных сумм нужно сначала привести их к одному интересующему нас моменту времени.

Пусть (t) – суммарная стоимость всех выплат ренты , приведенная к моменту t, а (t) – аналогичная величина для ренты , . Выведем теперь формулы для суммарной стоимости этих рент в момент 0 начала договора о ренте (современная или текущая стоимость, или PV ренты) и в момент n конца договора о ренте (наращенная стоимость или AV ренты). Эти величины нужны для правильного определения цены продажи или покупки ренты. Введем обозначения:

---

,

, .

Приводя все выплаты к моменту 0, получим с помощью формул для суммы членов геометрической прогрессии совершенные стоимости рент пренумерандо и постнумерандо (рис.12,1):

, (1.1)

. (1.2)

Знаменателем прогрессии здесь служит введенный ранее коэффициент дисконтирования

.

Перейдя теперь от стоимости рент в момент 0 к их стоимости в момент n, получим наращенные стоимости рент пренумерандо и постнумерандо:

, (1.3)

. (1.4)

Для стоимости рент с единичными выплатами Y=1 ден. ед. в международной финансовой практике широко применяются специальные обозначения. Так, современные стоимости в момент 0 таких рент постнумерандо и пренумерандо обозначают соответственно

(1.5)

Отсюда следуют простые соотношения

(1.6)

Наращенные стоимости в момент n рент постнумерандо и пренумерандо обозначают соответственно

(1.7)

Отсюда следует, что

(1.8)

Величины и называют коэффициентами дисконтирования, а и – коэффициентами наращения ренты. Отметим, что если величина i эффективной процентной ставки фиксирована, то то в нижнем индексе пишут вместо .

Удобство введенных величин состоит в том, что для получения стоимости ренты с выплатой Y достаточно соответствующую стоимость ренты с единичной выплатой (1.6), (1.8) легко выразить через любую из них, каждая из них является простой функцией от n и i , их легко вычислить с помощью калькулятора. Они обладают рядом интересных свойств, часть из которых будет рассмотрена ниже.

Заметим, что обозначения величин для (1.5)-(1.8) и для ряда других введены еще в конце XlX в. Международным союзом актуариев – страховых и финансовых математиков – и повсеместно применяются в финансовых расчетах до настоящего времени.

2.2. Свойства коэффициентов дисконтирования и наращения рент

Приведем теперь несколько утверждений о свойствах коэффициентов дисконтирования и наращения рент. Для удобства по-прежнему считаем, что базовая единица времени равна периоду ренты

1. Если i = 0, то v = 1 и для любых n, n=1,2,

(1.9)

Это следует как из формального определения указанных величин, так и из финансового смысла при отсутствии наращения и дисконтирования полная стоимость ренты в любой момент времени равна просто сумме всех выплат.

2. Рассмотрим теперь более подробно случаи n=0 и n=1

Случай n=0 означает, что выплаты отсутствуют. Поэтому удобно рассмотреть и этот случай, приняв

(1.10)

При n=1 по определению (1.5) получим, что

(1.11)

Как и следовало ожидать, этот результат следует и из (1.6)

3. (1.12)

При n2 доказательство сразу следует из

а при n=1 – из (1.10)

4. 

(1.13)

Действительно, в ренте пренумерандо первая выплата происходит в момент 0, но в ней отсутствует выплата 1 ден. Ед. в момент n.

5. , (1.16)

С финансовой точки зрения это очевидно, так как последовательность выплат пренумерандо выгоднее для получения ренты – она начинается раньше.

---

6. Из 12,6 следует, что

(1.17)

c (1.18)

Действительно, пусть вкладчик положил 1 ден. ед. на банковский депозит на срок n месяцев по ставке i за месяц. Тогда при ежемесячной выплате процентов и возврате вклада в размере ден. ед. по истечении n месяцев современная стоимость этого депозита в начальный момент эквивалентна 1 ден. ед., как при выплате суммы i ден. ед. в конце каждого месяца, так и суммы d ден. ед. в начале каждого месяца.

Можно проинтегрировать (1.17) и как погашение долга в 1 ден. ед. равными месячными платежами в сумме i ден. ед. в конце месяца 1, 2,… ,n-1 и при возврате (1+i) ден. ед. в конце месяца n.

7. Пусть теперь , а n неограниченно возрастает, так что

Тогда для современной стоимости бессрочной ренты получим из (1.6):

(1.19)

Таким образом, современная стоимость даже неограниченного числа выплат конечна, поскольку далекие деньги мало что стоят сегодня. При большой инфляции , когда обесценивание денег происходит особенно быстро.

Отметим, что гипотетическому случаю полного отсутствия инфляции, когда стоимость любой суммы денег остается постоянной , соответствует их определению и финансовому смыслу случая i=0.

8. Для бессрочной ренты при любом

(1.20)

С финансовой точки зрения это очевидно: современная стоимость бессрочной ренты при выплате пренумерандо на 1 ден. ед. – величину первой выплаты – превосходит современную стоимость ренты постнумерандо.

9. Чтобы дать выплате бессрочной ренты прямую финансовую интерпретацию, запишем (1.19) в виде

(1.21)

Тогда первое соотношение означает процент в размере 1 ден. ед. , выплачиваемый в конце каждой единицы времени с суммы , помещенной в начальный момент на банковский депозит по постоянной эффективной ставке i. Второе соотношение также означает процент в размере 1 ден. ед., но выплачиваемый в начале каждой единицы времени при прочих равных условиях.

§3. Oтсроченные m-кратные ренты и непрерывные ренты

3.1. Отсроченные ренты

Рассмотрим обобщение базовых рент, когда первая из последовательности n единичных выплат происходит в момент

для пренумерандо и – для постнумерандо (рис.1.2).

Рис. 1.2

Определение. Такой поток платежей называется отсроченной на h единиц времени рентой (deferred annuities), а его современную стоимость в момент 0 обозначают через для выплат пренумерандо через - для выплат пренумерандо, n=1,2,…, . При h=0 отсроченная рента совпадает с базовой.

Поскольку

,

(1.22)

То для вычисления современной стоимости ренты можно использовать (1.6) при любых значениях , включая дробные. Вместе с тем при любом целом h=1,2, и n=1,2,

(1.23)

Таким образом, при для вычисления коэффициентов дисконтирования отсроченной ренты можно пользоваться как (1.22), так и (1.23), а при любом , включая дробные, только (1.22)

Как и следовало ожидать из финансовых соображений, коэффициенты дисконтирования (1.22)-(1.23) отсроченной ренты при h=0 совпадают с и

---

Смотрите также файлы

• Letsii_po_kriminalistike (1).docx

• Уголовно процессуальное право.docx

• Дискретная математика.docx

• ИОГП экзамен 1.docx

• гот.docx