Должник предлагает кредитору погасить свою задолженность одним платежом суммы x в момент

(2.18)

который является взвешенным среднем арифметическим для моментов всех выплат. Поскольку в (2.18) не входит процентная ставка, то кредитор предлагает должнику произвести платеж x в момент T, определяемый из условия эквивалентности потоков платежей и при известном :

. (2.19)

Поделив обе части этого уравнения на x, найдем из него T в виде

. (2.20)

Величина T называется уравнивающим временем для данного потока платежей при фиксированном .

Теорема 2.1 Если , то

, (2.21)

т.е. выгоднее для должника, а T – для кредитора.

Заметим, что так как не зависит от , то можно использовать как приближенную оценку для T, погрешность которой зависит от .

§2. Внутренняя норма доходности инвестиционного проекта

2.1 Вывод основного уравнения

Экономический анализ эффективности планируемых среднесрочных и особенно долгосрочных инвестиций является сложной задачей. Для выбора наилучших объектов и вариантов вложения средств во всем мире применяются несколько методик. Чаще всего они основаны на использовании следующих четырех показателей для сравнения вариантов инвестиций:

1. Чистая текущая стоимость

2. Внутренняя норма доходности

3. Период окупаемости

4. Индекс рентабельности

Первым показателем является рассмотренная в предыдущем параграфе чистая текущая стоимость проекта, совпадающая с NPV порождаемого проектом потока платежей. Действительно, отрицательное значение NPV говорит о нецелесообразности для инвестора рассматриваемого варианта потока платежей при данном наборе значений и эффективной годовой ставке . Среди вариантов с положительным NPV π естественно выбрать тот, у кого NPV π больше. Однако этот лучший по NPV π вариант надо еще сравнить с вариантом вложения средств на банковский депозит, что может оказаться более рентабельным и к тому же менее рискованным.

Для этой цели служит второй показатель – внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return = IRR)

, (2.22)

где является корнем уравнения

(2.23)

Это уравнение называется уравнением стоимости или уравнением доходности для проекта на момент 0.

Смысл уравнения (2.23) состоит в том, что приведенные на тот момент начала проекта значения потоков расходов и доходов совпадают, т.е. проект является бесприбыльным.

Определение Если уравнения существует единственный платежный корень i₀, то его называют ставкой доходности проекта или внутренней нормой доходности (IRR) за базовую единицу времени.

Если , где - эффективная рыночная ставка процента, то соответствующий проект нужно отвергнуть, а если - соответствующий проект, в принципе, можно принять выбрав из всех вариантов проект с наибольшим значением . Таким образом, экономическая задача требует решения чисто математической задачи – отыскания корней уравнения (2.23).

---

Очевидно, что если поток π платежей задан, то

(2.24)

- недисконтированная сумма всех нетто-платежей за срок проекта. При этом из финансового смысла следует, что нужно отвергнуть все варианты с f(0)<0 и рассматривать лишь варианты, для которых

. (2.25)

Далее при очень больших значениях i имеем:

, (2.26)

Где С(0) – начальная инвестиция.

Теорема 2.2. Если все отрицательные платежи предшествуют всем положительным и наоборот, то определено.

Теорема 2.3 (обобщает предыдущую). Пусть и

(2.27)

- накопленная сумма всех нетто-платежей инвестора от момента 0 до момента t_m включительно.

Если и если после исключения нулевых значений последовательность (C₀, C₁, …, C_n) имеет ровно одну перемену знака, то уравнение доходности (2.23) имеет единственный положительный корень, т.е. определено.

§ 3. Срок окупаемости капиталовложений и индекс рентабельности инвестиционного проекта

Рассмотрим еще два показателя эффективности инвестиционных проектов и обсудим методику их применения.

3.1 Срок окупаемости капиталовложений

Третьим показателем является срок окупаемости капиталовложений (payback period), за который можно возвратить инвестиционные в проект средства. В своем простейшем варианте этот показатель не учитывает фактор времени, т.е. денежные суммы не приводятся к одному моменту времени.

Рассмотрим случай дискретных потоков платежей и примем, что все платежи отнесены к середине месяца (или другой базовой ед.вр., например кварталу или году), причем инвестиции производятся в первые l+1 месяц, а затем следуют доходные месяцы:

Инвестиции чистый доход

Тогда общий доход инвестиций составит

,

а срок окупаемости m без приведения денежных сумм к одному моменту времени можно найти путем последовательного аккумулирования ежемесячных доходов, пока они не превзойдут K:

. (2.28)

Иначе говоря, срок окупаемости m удовлетворяет неравенству

. (2.29)

В наиболее простом случае, когда инвестиции в размере |C₀|=K производится только один раз, а ежемесячные суммы чистого дохода одинаковы и равны C_1, условия (2.29) можно записать в виде

. (2.30)

Поэтому срок окупаемости в этом случае составляет приблизительно m месяцев.

В более сложном, но лучше обоснованном с финансовой точки зрения варианте следует сначала привести все денежные суммы к одному моменту времени – моменту завершения инвестиций, а затем определять срок окупаемости проекта. Это уточненное значение (present value payback period) будет больше первоначального.

Если i=0, то формула (2.28) для периода окупаемости без приведения денежных сумм к моменту 0 примет вид

(2.31)

а с приведением при годовой процентной ставке i –

.. (2.32)

Период окупаемости без приведения денежных сумм к моменту 0 позволяет фирме узнать, сколько времени необходимо для возмещения вложенных средств, что в некоторых случаях может иметь для фирмы жизненно важное значение. Недостаток этого показателя состоит в том, что срок окупаемости занижается. Второй недостаток этого показателя – как с приведением, так и без приведения денежных сумм – состоит в том, что он не учитывает все доходы после момента полного возмещения денежных средств, а они могут быть большими. Однако, приведенная стоимость отдаленных платежей быстро падает, что уменьшает значение второго недостатка, особенно при большой ставке i.

---

В целом, можно сказать, что срок окупаемости является не столько критерием выбора инвестиционного проекта, сколько ограничением: если срок окупаемости больше допустимой для данной фирмы величины, то проект просто исключается из списка рассматриваемых.

§4. Индекс рентабельности

Индекс рентабельности (benefit cost ratio или Present Value Index) проекта представляет собой отношение суммы всех дисконтированных денежных доходов от инвестиций к сумме всех дисконтированных инвестиционных расходов.

Если рентабельности меньше 1, то проект должен быть отклонен, а среди проектов, у которых индекс больше 1, следует отдать предпочтение проекту с наибольшим индексом рентабельности. Однако следует иметь ввиду, что не всегда проект с самым большим индексом рентабельности будет иметь и самую высокую чистую текущую стоимость.

1. Некоторые общие замечания о методике выбора инвестиционного проекта

Рассмотренные четыре финансовых показателя эффективности инвестиционных проектов могут не позволить однозначно выбрать один из возможных вариантов инвестиций. Поэтому обычно следуют такой методике.

Прежде всего все учитываемые суммы очищаются от налогов. Затем, если для фирмы особенно важен период окупаемости, то сначала на его основе отбрасывают неприемлемые варианты. Если этот показатель для фирмы не очень важен, то его не применяют вообще.

Далее, обычно, применяют два из трех финансовых показателей: чистая текущая стоимость, внутренняя норма доходности и индекс рентабельности. На основе своего опыта финансовые аналитики фирмы считают одни из критериев основным, а остальные – дополнительными. Опрос в США показал, что подавляющее большинство больших фирм в качестве пары «основной – дополнительный критерий» используют чаще всего пару IRR – NPV, а на втором месте пару NPV – IRR. Если при выборе инвестиционного проекта с помощью выбранной пары возникают заметные расхождения, то привлекают третий показатель или проводят более глубокий финансовый анализ.

Зарубежный опыт показывает, что крупные фирмы используют формальный инвестиционный анализ гораздо чаще, чем мелкие. Это объясняется тем, что выбор варианта среди небольших по средствам и по продолжительности инвестиционных проектов зачастую очевиден и до анализа. Вместе с тем для формального инвестиционного анализа более сложного, дорогостоящего и продолжительного инвестиционного процесса можно разработать специальную экономическо-математическую модель, в которой учтено большое число требований, условий, предложений и соответствующих им параметров. В случае программной реализации этой модели указываются диапазоны измерения параметров, так что вычисления могут производиться для минимального, максимального и среднего значений каждого из параметров. При этом период проекта может быть разбит на последовательные этапы и тогда анализ выполняется поэтапно. По мере выполнения отдельных этапов проекта в него могут вноситься коррективы, что также можно учесть в модели и программе. Конечно, в такой модели можно учитывать и различные варианты прогноза изменений процентной ставки i внутри отдельных этапов. Вообще, во всех финансовых показателях надежность прогноза изменений i играет огромную роль, так как при большой динамике i следует резко сокращать период реализации рассматриваемых проектов.

---

Кроме того, при выборе проекта учитываются и нефинансовые критики, связанные с экологией, безопасностью персонала и населения, решениями законодательной исполнительной власти, общественным мнением и т.д.

Глава 3. Индексы инфляции и неравенства в распределении семейных доходов

§1. Учет и инфляции

1. Индекс и темпы роста инфляции

Инфляция является очень сложным и важным финансово-экономическим явлением современного мира. Она зависит от многих факторов и является предметом изучения ряда разделов экономической теории, в которых широко применяются методы теории вероятностей и математической статистики. Поскольку инфляция проявляется в падении реально покупательной способности денег и общем повышении уровня цен внутри страны, то ее необходимо учитывать при проведении среднесрочных и особенно долгосрочных финансовых операций. Поэтому мы рассмотрим простейшие способы ее учета.

Темпы инфляции измеряются с помощью системы индексов инфляции, которые характеризуют среднее изменение уровня цен для некоторого фиксированного набора (корзины) товаров и услуг за определенный период времени. Состав этих товаров зависит от цели исследования. Например, в российских газетах сейчас регулярно печатается индекс инфляции (роста цен) за неделю, месяц или год, рассчитанный на основе продовольственной потребительской корзины для различных регионов страны. Если же речь идет о прожиточном минимуме, то в него включаются наряду с продовольствием также промышленные товары, различные услуги и т.д. Индекс инфляции рассчитывается также для различных отраслей производства и для валового национального продукта (ВНП) страны за различные промежутки времени (месяц, квартал, полугодие, год).

Рассмотрим теперь для определенности потребительскую корзину из k названий и примем, что товар или услуга s входит в корзину в количестве q_s соответствующих единиц, а цена за эту единицу в момент t составляет x_s(t) ден.ед. за ед. товара s, s=1, 2, …, k. Тогда стоимость корзины в момент t равна

ден.ед. (3.1)

Определение. Индексом инфляции (роста потребительских цен) за время от t₁ до t₂ называется величина

, (3.2)

А темпом инфляции за этот период называется

(3.3)

Из определения следует, что

. (3.4)

Индекс инфляции H показывает, во сколько раз, а темп h (после умножения на 100) – на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. Отметим, что определение (18,3) формально совпадает с определением ставки процента. Поэтому h(t₁,t₂) можно теоретически назвать и ставкой инфляции, но это не принято делать, поскольку инфляция – стихийный процесс, плохо поддающийся регулированию.

Теорема 3.1. Если то индекс инфляции на интервале (t₀,t_n) равен произведению индексов инфляции на каждом из составляющих (t₀,t_n) подынтервалов :

. (3.5)

Выберем теперь базовую единицу времени, естественную для целей конкретного исследования, и назовем индексом H(t) и темпом h(t) инфляции за единичный интервал (t-1, t) соответственно

---

. (3.6)

Отсюда следует, что

, (3.7)

Т.е. рост цен за (t-1, t) происходит по схеме сложных процессов со ставкой h(t). На практике H(t) обычно выражают в абсолютных величинах, а h(t) – в процентах. Например, если H(t)=1,5, h(t)=0,5, то говорят, что за рассматриваемый интервал времени цены выросли в 1,5 раза, или, что эквивалентно, на 50%. Можно сказать, что темп инфляции характеризует относительную скорость прироста цен за базовую единицу времени.

В качестве иллюстрации на рис. 18,1 и 18,2 приводятся соответственно графики индекса H(t) и темпа h(t) годовой инфляции потребительских цен с 1960 по 1991 г. Для шести стран с устойчивой экономикой (1 – Великобритания, 2 – США, 3 – Финляндия, 4 – ФРГ, 5 – Франция, 6 – Япония)

Рис. 3.1

За 31 год индекс потребительских цен в Финляндии вырос более чем в 10 раз, а в ФРГ – только в 4 раза, что отражает различие скорости роста индекса инфляции валового национального продукта (ВНП) в этих странах (рис 3.1). Пик роста темпа h(t) годовой инфляции, приходящейся на начало 70-х годов, связан со скачком на нефть (рис. 3.2).

Однако следует заметить, что наряду с возрастанием индекса потребительских цен в развитых странах происходит также увеличение заработной платы. Так на рис. 18,3 приведены графики темпа годовой инфляции потребительских цен и роста средней годовой заработной платы в Великобритании с 1960 по 1990 г., из которых следует, что, в целом, за весь этот период реальный уровень жизни работающего населения возрастал почти каждый год. Некоторое падение уровня жизни – примерно 5% за год – произошло лишь в конце 70-х годов во время энергетического кризиса.

рис. 3.2 рис. 3.3

2. Индексация ставки процента

Пусть сумма S(0) ден.ед. была положена на банковский депозит на момент n месяцев с ежемесячным начислением сложных процентов по ставке j=i⁽¹²⁾/12, где i⁽¹²⁾ – номинальная годовая ставка процентов. Предположим, что h – ожидаемый месячный темп инфляции. Тогда через т месяцев начисленная вкладчику сумма составит номинально

,

а ее реальная стоимость из-за инфляции составит лишь

.

Если h=j, то реальная стоимость суммы S(0) сохраняется, а при h>j она даже уменьшается (в финансовой литературе это влияние называется эрозией капитала). Лишь при h<j реальная стоимость S(0) за n месяцев возрастает, но в меньшей степени, чем планировалось. Поэтому часто прибегают к увеличению (индексации) первоначальной или нетто-ставки процента на величину инфляционной премии.

Пусть j – первоначальная эффективная нетто-ставка процента, а r – соответствующая ей брутто-ставка, т.е. ставка за ту же базовую единицу времени с поправкой на инфляцию. Для того чтобы реальная стоимость S_реальн(n) совпадала с номинальной S(n), необходимо увеличить коэффициент наращения до

.

Отсюда

,

И если j и h за базовую единицу времени достаточно малы, то брутто-ставку процента можно принять

---

Смотрите также файлы

• Letsii_po_kriminalistike (1).docx

• Уголовно процессуальное право.docx

• Дискретная математика.docx

• ИОГП экзамен 1.docx

• гот.docx