3.2. m-кратные ренты

Как это часто бывает на практике, выберем теперь за базовую единицу времени 1 год. Обозначим эффективную ставку через i и примем, что за год производится m равностоящих выплат по ден. ед. каждая, причем проценты начисляются также m раз, m=1,2… . Общее число выплат за интервал времени в n лет составит nm, а общая сумма выплат при i=0 составит n ден. ед. Для ренты постнумерандо выплаты производятся и проценты начисляются в моменты

m выплат m выплат

… , ,

а для выплат пренумерандо – в моменты

m выплат m выплат

, .

Заметим, что предпоследняя операция постнумерандо и последняя операция пренумерандо производится в момент

.

Обозначим коэффициенты дисконтирования рент постнумерандо и пренумерандо в случае m выплат и m начислений соответственно и , а коэффициенты наращения – соответственно и . Для краткости в промежуточных результатах мы будем иногда опускать в нижнем индексе.

Приводя стоимость всех выплат ренты постнумерандо к моменту 0, получим:

.

Так как , то

.

Здесь мы воспользовались формулой (6,4), связывающей номинальную ставку с эффективной годовой ставкой i.

Следовательно,

(1.24)

Аналогичным образом,

.

Поэтому, как и следовало ожидать из финансовых соображений,

(1.25)

Проводя аналогичные алгебраические выкладки для ренты пренумерандо, получим.

, (1.26)

. (1.27)

Таким образом, мы обобщили случай однократных рент на случай (l,m)-кратных в том наиболее частом случае, когда число l выплат за год совпадает с количеством m начислений за год.

Заметим, что рента с m-кратным начислением процентов, m выплатами по ден. ед. за год, номинальной годовой ставкой и сроком n лет эквивалентна однократной ренте с периодом лет, выплатой по ден. ед., процентной ставкой за период и сроком nm периодов.

,

То

. (1.28)

3.3 Непрерывные ренты

Пусть на интервале от начального момента 0 до конечного момента рента выплачивается очень часто, так что ее можно считать непрерывной. Очевидно, что при непрерывной выплате различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает. Современную стоимость ренты, выплачиваемой непрерывно с постоянной интенсивностью одна денежная единица за одну единицу времени при непрерывном начислении процентов с постоянной интенсивностью δ обозначим . Так как за интервал будет выплачена ден. ед., а приведенная на момент 0 стоимость этой суммы составит , то после суммирования по интервалу (0,n) и перехода к пределу по получим:

. (1.29)

Здесь n – любое неотрицательное число, не обязательно целое. Если δ = 0, то , что следует из финансовых соображений. Поскольку при непрерывном начислении процентов , то при из (1.29) следует, что

(1.30)

Или

. (1.31)

Пусть h –любое неотрицательное число, не обязательно целое, а - современная стоимость отсроченной на h единиц времени ренты, выплачиваемой непрерывно с интенсивностью 1 на интервале (h,h+n). Тогда

---

.

Следовательно, отсроченную непрерывную ренту легко выразить через немедленную:

. (1.32)

Повторяя рассуждения, сделанные при выводе формулы (1.32) для коэффициентов наращения непрерывной немедленной ренты, получим:

.

Отсюда следует, что

(1.33)

Или

(1.34)

Формула (3.14) сразу следует из финансовых соображений, так как

Теорема 1.1. Для бессрочной ренты

Доказательство следует из (1.30), так как

Из (2.6) и (3.10) следует

Теорема 1.2 . Для любых n=1,2, и любых m=1,2 имеет место:

(1.35)

Теорема 1.3. Для любых n=1,2 и любых m=1,2 имеет место:

(1.36)

Это неравенство позволяет банку правильно рассчитать себестоимость ренты, а клиенту при фиксированной цене ренты, фиксированном сроке n и фиксированной эффективной ставке i выбрать наиболее выгодную для него схему выплат. Очевидно, что при прочих равных условиях наиболее выгодной является выплата пренумерандо в начале каждого периода ренты.

Глава 2. Сравнительный финансовый анализ инвестиционных и других коммерческих проектов

Теория инвестиций является весьма сложным и очень интересным разделом финансовой науки. В этой главе мы рассмотрим несколько методов аналитической оценки эффективности инвестиционных и других коммерческих проектов, в которых сначала вкладываются средства в какую-либо сферу (производство, строительство, торговля, ценные бумаги и т.д.), а затем они постепенно возвращаются, принося инвестору к концу срока проекта прибыль. Задача инвестора – на основе имеющихся на момент начала проекта данных о доходности вложений в различные сектора рынка и их прогнозе на период реализации проекта выбрать оптимальный вариант вложения имеющихся в него финансовых средств. Это – сложная задача, содержащая в себе ряд моментов неопределенности риска. Тем не менее построение и использование для сравнительного финансового анализа даже простых теоретических моделей позволяет многое прояснить, выяснить связи между параметрами инвестиционного проекта, допустимые диапазоны их изменения и т.д. Конечно, использование теоретических моделей для финансового анализа реальных проектов не может заменить опыта и интуиции профессионалов, а лишь помогает им принять правильное решение.
В финансовом анализе, как и в других областях науки и практики, целесообразно идти от простых моделей к более сложным, учитывающим большое количество факторов и параметров. При этом рассчитанные на широкое применение модели не должны быть слишком сложными. Даже простые модели вместе с экспертными оценками динамики будущих значений основанных макроэкономических и отраслевых показателей позволяют получить пессимистическую, оптимистическую и какую-то среднюю ожидаемую оценку доходности рассматриваемого проекта.
Использование вероятностно-статистических методов и статистического моделирования на ЭВМ делает прогноз более точным, но более сложным. Выбор методов в значительной мере зависит от стоимости проекта. Однако при всех обстоятельствах изучение инвестиций должно начинаться с самых простых и прозрачных аналитических моделей, позволяющих выяснить сущность проблемы с помощью наиболее простого математического аппарата, изучаемого уже в средней школе.
При этом программу средних школ как с математическим, так и с экономическим уклоном необходимо включать начала теории вероятностей математической статистики, как это фактически часто и делается. Однако за исключением одного простого примера, мы не будем использовать вероятностные понятия и ограничимся только детерминированными моделями.
Для этого, прежде всего, необходимо построить модель детерминированного потока денежных расходов и поступлений в рассматриваемом инвестиционном проекте с различными по величине знаку платежами. Идя от простого к более сложному, рассмотрим сначала дискретные во времени, а затем - непрерывную и дискретно-непрерывные модели потока платежей (cash flow, т.е. буквально – поток наличности).

---

§1. Модели потока платежей
1.1 Модель дискретного потока платежей

Пусть некоторый инвестиционный проект начинается в момент t₀=0 с капиталовложения в размере x(0) ден.ед., а затем в моменты

t₁ , t₂, … , t , 0=t₀<t₁<t₂<…<t_n ,

происходит расход x(t_s) и/или поступление y(t_s) ден.ед., s=1, 2, … ,n. Эти две операции часто называют транзакцией, и в бухгалтерские книги они обе записываются со знаком плюс, но в различные графы. Таким образом, можно сказать, что в момент 0 происходит только одна транзакция (расход), а в каждый момент t₁, t₂, … ,t_n происходит либо одна либо две транзакции.

Например, в случае, когда финансовая отчетность готовится ежемесячно, а инфляция является умеренной, так что все платежи можно при расчетах отнести на конец соответствующего месяца, то естественно в качестве базовой единицы выбрать один месяц. Тогда n – период проекта в месяцах, t_s=j - моменты платежей, а x(s) и y(s) означают соответственно расходы и поступления за месяц s от начала проекта, s=1. 2. … .n.

Поскольку, как платежи, так и отчетность по ним за период проекта могут проводится через разные интервалы времени, то будем в дальнейшем, если не оговорено противное измерять время в годах, а расстояние t_s- t_s-1 считать произвольным.

Введем теперь векторы

,,,

а потоки расходов и поступлений обозначим соответственно через.

Тогда приведенные к моменту 0, т.е. своевременные, стоимости(Present Value = PV ) этих потоков соответственно равны

,

,

где v(t_s) - коэффициент дисконта на интервале (0, t_s).

Будем проводить финансовый анализ для инвестора, т.е. считать его расходы отрицательными величинами, а поступления – положительными. Тогда С(0):=-x(0) – начальная инвестиция, а C(t_s):=y(t_s)-x(t_s) – нетто-платеж инвестора в момент t_s, т.е. C(t_s)<0 означает платежи инвестора, а C(t_s)>0 – поступления на его счет, s=1, 2, … ,n. Теперь вместо двух потоков платежей достаточно рассмотреть один нетто-поток . Чистая своевременная стоимость (Netto Present Value = NPV) этого потока составит

. (2.1)

Аналогичным образом, чистое наращенное значение (Netto Accumulated Value = NAV) потока на любой момент t>0 составит

(2.2)

Здесь A(t_s, t) – коэффициент наращения на интервале (t_s, t), t_s<t, а означает, что суммирование производится по всем транзакциям, произошедшим до момента t включительно.

В частности при T>t_n получаем из (2.2) чистое наращенное значение всех платежей потока:

. (2.3)

Заметим, что под среднесрочными и макроэкономическими условиями здесь понимается уровень доходности, который преобладает на рынке в момент анализа выгодности инвестиционных проектов. При этом для определения краткосрочных рыночных ставок доходности чаще всего ориентируются на соответствующие по срокам ставки банковского процента, а для среднесрочных и долгосрочных инвестиций – на обычно более умеренные показатели доходности по государственным ценным бумагам с соответствующими сроками погашения. Это в первую очередь относится к чисто финансовым проекта инвестиций в ценные бумаги. Если же анализируется проект инвестиций в производство, среднеотраслевые показатели доходности аналогичных по классу предприятий.

---

Напомним теперь, что всегда

и что при непрерывном начислении процентов с интенсивностью В год

(2.4)

При постоянной интенсивности коэффициенты наращения и дисконтирования зависят лишь от длины соответствующего интервала:

(2.5)

В этом случае формулы (2.1) – (2.3) принимают особенно простой вид:

(2.1a)

, (2.2a)

, (2.3a)

В иллюстрационных примерах мы будем, как правило, для простоты рассматривать этот случай, когда . Однако если при анализе проекта имеется возможность задать , например, в виде кусочно-постоянной или кусочно-линейной функции, то следует воспользоваться формулами (2.1) – (2.4). Это позволит получить более реальный прогноз для NPV и NAV рассматриваемого потока.

1.2 Модель непрерывного потока платежей

В коммерческой практике часто встречается случай, когда у некоторой фирмы наряду с большими и редкими (например, раз в месяц) платежами происходят частые (например, ежедневные), но сравнительно небольшие денежные расходы и поступления. Если баланс денежных поступлений посчитывается также часто, то эти сравнительно небольшие и частые платежи можно при теоретическом финансовом анализе описать с помощью модели непрерывного потока платежей. При умеренном значении эффективной ставки это приведет к небольшой методической погрешности в подсчете ,а расчеты станут более прозрачными и простыми. При этом надо учесть, что гораздо больше погрешности в прогнозе для рассматриваемого проекта вносят обычно ошибки в оценке величины будущих платежей и самой эффективной ставки i. Поэтому следующим шагом является переход от рассматриваемой в этой главе детерминистской модели к более сложной, но зато и более гибкой вероятностно-статистической модели, которую мы здесь рассматривать не будем.

Примем, что базовой единицей является год и что на интервале [0,T] расходы производятся непрерывно с интенсивностью p-(t) ден.ед. в год, t є [0, T]. Для простоты записи примем, что обе интенсивности являются непрерывными функциями времени, хотя все дальнейшие результаты легко распространяются на случай кусочно-непрерывных интенсивностей с разрывами первого рода.

Суммируя платежи с учетом их знаков с позиции инвестора, получим

(ден.ед. в год) ()

- непрерывная интенсивность нетто-потока платежей в момент t є [0, T]. Поэтому величина платежа в малом интервале (t, t+Δt) приблизительно составит

(ден.ед.)

При этом p(t)<0 соответствует расходу p(t)>0 – поступлению, а p(t)=0 – отсутствию как расходов, так и поступлений в окрестности момента t.

Из курса математического анализа следует, что при сделанных предположениях сумма M(t) всех платежей на интервале (0, t), t < T, равна

, (2.5)

А на интервале , составляет

Если , то на интервале (t, t+Δt) суммарный платеж составляет M(t+Δt)-M(t), и если Δt мало, а p(t) непрерывна на этом интервале, то

ден.ед.

Поэтому дисконтирование на момент 0 значение платежа на (t, t+Δt) приблизительно равно v(t)p(t)Δt , а после суммирования по всему интервалу (0, T) и перехода к пределу при Δt→0 получим дисконтированное значение всего непрерывного потока нетто-платежей

---

. (2.6)

Таким образом, модель непрерывного потока платежей позволяет анализировать те этапы инвестиционного проекта, когда не было значительных вложений или поступлений. Она пригодна также для кратко- и среднесрочного анализа других видов коммерческой деятельности с двусторонними частыми и небольшими платежами. При этом на базовую единицу времени – особенно в условиях инфляции – можно принять не год, а более короткий интервал – сутки, неделю или месяц. Конечно, тогда значения всех параметров следует пересчитать на вновь выбранную базовую единицу времени.

1.3 Модель непрерывно-дискретного потока платежей

Для средне- и долгосрочных проектов движение потока наличности часто носит смешанный характер – наряду с отдельными крупными платежами существуют интервалы, на которых платежи можно считать непрерывными. Для описания такого дискретно-непрерывного потока на периоде [0, T] проекта необходимо задать

а) последовательность , моментов и последовательность , сумм платежей в эти моменты,

б) указать подынтервалы внутри [0, T], на которых интенсивность p(t) непрерывных платежей отлична от 0. Тогда в силу формул (2.1) и (2.6) чистая приведенная на момент 0 стоимость смешанного дискретно-непрерывного потока платежей составит

(2.7)

Аналогичным образом, чистое наращенное значение этого потока на любой момент t є [0, T] составит

(2.8)

1.4 Еще о связи коэффициентов наращения и дисконтирования

Если – неотрицательная переменная интенсивность процента за базовую единицу времени , начинающуюся в момент t, то при

(2.9)

- коэффициент наращения одной денежной единицы на интервале (t₁, t₂) при движении по нему слева направо, а

(2.10)

- коэффициент дисконтирования одной денежной единицы с момента t₂ на момент t₁ т.е. при движении по интервалу (t₁ , t₂) справа налево. Из курса математического анализа известно, что при

. (2.11)

Поэтому (14,12)-(14,13) при t₁<t₂ влекут за собой следующие равенства:

, (2.12)

. (2.13)

Если же t₁>t₂ коэффициент дисконтирования d(t₁, t₂) играет роль коэффициента наращения A(t₂, t₁) и в силу (15,13) и (15,14) совпадает с ним. Поэтому формулы (2.12)-(2.13) и (2.15)-(2.16) справедливы ,как при t₁<t₂, так и при t₁>t₂.

Заметим теперь, что поскольку в рассматриваемом случае

,

и всегда

,

то (15,12), (15,13) при любых t₁ и t₂ можно записать в виде

, . (2.17)

Отсюда также следует справедливость (2.15), (2.16).

Таким образом, коэффициенты наращения и дисконтирования взаимозаменяемы и с математической точки зрения можно было бы пользоваться только одним из них. Однако, в интересах наглядности принято пользоваться двумя коэффициентами.

1.5 Уравнивающее время для серии долговых платежей

Должник обязался погасить свой долг последовательными платежами величиной x₁, x₂, …, x_n в моменты соответственно t₁, t₂, …, t_n. Следовательно, речь идет одностороннем потоке платежей . Обозначим сумму всех недисконтированных платежей через , а вес s-го платежа – через .

---

Смотрите также файлы

• Letsii_po_kriminalistike (1).docx

• Уголовно процессуальное право.docx

• Дискретная математика.docx

• ИОГП экзамен 1.docx

• гот.docx