Файл: Инфокоммуникаций.pdf

11
Иногда детерминированные параметры представляются случайной величиной. Например, при многократном выполнении программы количество обрабатываемых данных может изменяться. Всю совокупность вариантов данных можно представить случайной величиной с заданным законом распределения вероятностей.
2. Подбор закона распределения.
Для случайных параметров выявляется возможность представления их теоретическими законами распределения. Процедура подбора вида закона распределения заключается в следующем.
По совокупности значений параметра строится гистограмма относительных частот - эмпирическая плотность распределения. Гистограмма аппроксимируется плавной кривой, которая сравнивается с кривыми плотности распределения различных теоретических законов распределения.
По наилучшему совпадению выбирается один из законов. Далее по эмпирическим значениям вычисляют параметры этого распределения. Проверка совпадения эмпирического и теоретического распределения осуществляется по одному из критериев согласия: Пирсона (хи-квадрат), Колмогорова, Смирнова, Фишера,
Стьюдента.
Особую сложность представляет сбор данных по случайным параметрам, зависящим от времени, что характерно для внешних воздействий.
Пренебрежение фактами нестационарности параметров существенно влияет на адекватность модели.
3. Аппроксимация функций.
Для каждого компонента системы существует функциональная связь между параметрами входных воздействий и выходными характеристиками.
Иногда вид функциональной зависимости может быть легко выявлен. Однако для некоторых компонентов удается получить лишь экспериментальные данные по входным параметрам и выходным характеристикам. В этом случае вводится некоторая гипотеза о характере функциональной зависимости, то есть аппроксимация ее некоторым математическим уравнением.
Поиск математических зависимостей между двумя или более переменными по собранным данным может выполняться с помощью методов регрессионного, корреляционного или дисперсионного анализа. Для выяснения того, насколько точно выбранная зависимость согласуется с опытными данными, используется корреляционный анализ. При проектировании новой системы отсутствует возможность сбора фактических данных. Для таких параметров выдвигаются гипотезы об их возможных значениях. Этап сбора и обработки данных

12 заканчивается классификацией на внешние и внутренние, постоянные и переменные, непрерывные и дискретные, линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, детерминированные и стохастические. Для переменных количественных параметров определяются границы их изменений, а для дискретных - возможные значения.
1.6 Выбор метода моделирования
Математическая модель может быть исследована различными методами - аналитическими или имитационными. В некоторых случаях наличие имитационной модели делает возможным применение математических методов оптимизации. Для использования аналитических методов необходимо математическую модель преобразовать к виду явных аналитических зависимостей между характеристиками и параметрами системы и внешних воздействий. Однако это удается лишь для сравнительно простых систем и при наличии хорошо разработанной теории исследуемых объектов. При имитационном моделировании динамические процессы системы - оригинала подменяются процессами, имитируемыми в абстрактной модели, но с соблюдением таких же соотношением длительностей и временных последовательностей отдельных операций. Поэтому метод имитационного моделирования мог бы называться алгоритмическим или операционным.
Методы имитационного моделирования различаются в зависимости от класса исследуемых систем, способа продвижения модельного времени и вида количественных переменных параметров системы и внешних воздействий.
Методы моделирования разрабатываются для дискретных, непрерывных и смешанных дискретно - непрерывных систем. В зависимости от способа продвижения модельного времени методы моделирования подразделяются на методы с приращением временного интервала и методы с продвижением времени до особых состояний. В первом случае модельное время продвигается на некоторую величину A
t
. Далее определяются изменения состояний элементов и выходных воздействий системы, которые произошли за это время.
После этого модельное время снова продвигается на величину A
t
, и процедура повторяется. Так продолжается до конца периода моделирования T
m
. Этот метод моделирования называют «принципом A
t
».
Во втором случае в текущий момент модельного времени t сначала анализируются те будущие особые состояния - поступление дискретного входного воздействия, завершение обслуживания и т.п., для которых

13 определены моменты их наступления t > t. Выбирается наиболее раннее особое состояние, и модельное время продвигается до момента наступления этого состояния. Затем анализируется реакция системы на выбранное особое состояние. В частности, в ходе анализа определяется момент наступления нового особого случая. Затем ближайшего. Так продолжается до завершения периода моделирования T
m
. Данный метод называют «принципом особых состояний». Метод может использоваться лишь, когда имеется возможность определения моментов наступления будущих очередных особых состояний.
Параметры системы и внешних воздействий могут быть детерминированными или случайными. По этому признаку различают детерминированное и статистическое моделирование. При статистическом моделировании для получения достоверных вероятностных характеристик процессов функционирования системы требуется их многократное воспроизведение с различными конкретными значениями случайных факторов и статистической обработкой результатов измерений. В основу статистического моделирования положен метод статистических испытаний, или метод Монте-
Карло. При разработке математической модели различают также принятую систему формализации - алгоритмический (программный) или структурный
(агрегатный) подход. В первом случае процессы управляют компонентами
(ресурсами) системы, а во втором - компоненты управляют процессами, определяют порядок функционирования системы [1,2].
1.7 Выбор средств моделирования
1. Технические средства моделирования.
Современные ЭВМ позволяют моделировать сложные распределенные динамические системы. Фактор распределенности играет важную роль и предполагает построение многопроцессорных вычислительных систем на основе локальных вычислительных сетей. Поэтому для моделирования таких систем перспективным представляется использование распределенных многопроцессорных вычислительных систем.
2. Алгоритмические языки общего назначения.
Применимы для аналитических методов моделировании. Первая трудность моделирования заключается в том, что алгоритмы поведения сложных систем являются параллельными, то есть предполагают выполнение более чем одного преобразования в каждый момент времени. Программная имитация параллельных процессов при использовании языков общего

14 назначения сводится к организации псевдопараллельного развития параллельных процессов, что достаточно сложно для программирования.
Вторая трудность состоит в том, что объемы данных в имитационных алгоритмах трудно оценить априорно. Поэтому требуется использовать динамическое распределение памяти, что не всегда обеспечивает язык программирования.
3. Языки моделирования.
При создании программ имитационного моделирования возникают задачи, общие для широкого класса моделей [1,2]:
- организация псевдопараллельного выполнения алгоритмов;
- динамическое распределение памяти;
- операции с модельным временем, отражающим астрономическое время функционирования оригинала;
- имитация случайных процессов;
- ведение массива событий;
- сбор и обработка результатов моделирования.
Решение перечисленных выше задач осуществляется полностью или частично внутренними средствами языка моделирования.
По структуре и правилам программирования языки моделирования подобны процедурно-ориентированным алгоритмическим языкам высокого уровня. Операторы языков моделирования выполняют более сложные процедуры, поэтому они имеют более высокий уровень и упрощают составление программ.
Языки моделирования рассматриваются как формализованный базис для создания математических моделей.
1.8 Выводы по разделу 1
Моделированием называется замещение одного объекта, называемого системой, другим объектом, называемым моделью. Для описания системы необходимо определить ее структурную и функциональную организацию.
Область определения модели характеризует диапазон исследуемых вариантов организации системы.
Чем шире состав характеристик и параметров, а также область определения модели, тем универсальнее модель в отношении задач, которые можно решать с ее использованием.
Модели объектов делятся на два больших класса: материальные
(физические) и абстрактные (математические).

15
Вопросы для самопроверки по разделу 1:
1. Назовите цели моделирования.
2. Дайте определение понятий система и модель.

16 2 Математические схемы моделирования систем
2.1 Основные подходы к построению математических моделей систем
Исходной информацией при построении математических моделей (ММ) процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к ММ, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.
Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некоторой ММ [1-3].
При пользовании математической схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.
Например, представление процесса функционирования информационно- вычислительной сети коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания даёт возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслуживания не даёт возможности получения результатов в явном виде.
2.2 Общие вопросы моделированпия
Моделирование - это замещение одного объекта (оригинала) другим
(моделью) и фиксация и изучение свойств модели. Замещение производится с целью упрощения, удешевления, ускорения изучения свойств оригинала [4].
В общем случае объектом-оригиналом может быть естественная или искусственная, реальная или воображаемая система. Она имеет множество параметров S
0
и характеризуется определёнными свойствами. Количественной мерой свойств системы служит множество характеристик Y
0
, система проявляет свои свойства под влиянием внешних воздействий Х.
Множество параметров S и их значений отражает её внутреннее содержание - структуру и принципы функционирования. Характеристики S -

17 это в основном её внешние признаки, которые важны при взаимодействии с другими S.
Характеристики S находятся в функциональной зависимости от её параметров. Каждая характеристика системы y
0
Y
0
определяется в основном ограниченным числом параметров {S
0k
}S
0
. Остальные параметры не влияют на значение данной характеристики S. Исследователя интересуют, как правило, только некоторые характеристики S: {y}Y
0
при конкретных воздействиях на систему {x mn
}X.
Модель — это тоже система со своими множествами параметров S
m и характеристик Y
m
. Оригинал и модель сходны по одним параметрам и различны по другим. Замещение одного объекта другим правомерны если интересующие исследователя характеристики оригинала и модели определяются однотипными подмножествами параметров и связаны одинаковыми зависимостями с этими параметрами [4]: y
ok
=f({S
oi
},{x on
},T); (2.1) y
mn
=f({S
mi
},{x mn
},T
m
) (2.2) где, y mn
- к-ая характеристика модели, y mn
Y
m x
mn
- внешнее воздействие на модель, x mn
X
T
m
- модельное время.
При этом s oi
=(S
mi
); x on
(x mn
), T=mT
m
(где m - масштабный коэффициент) на всём интервале [0-T
m
] или в отдельные периоды времени.
Тогда с некоторым приближением можно сделать вывод о том, что характеристики О
р
, связаны с характеристиками М зависимостями y ok
=(y mk
).
Множество характеристик модели
Y
mk
={y mk
} является отображением множества интересующих характеристик оригинала y ok
={ y ok
}, т.е. : Y
ok
y mk
, т.е. : Y
ok
Y
mk
При исследовании сложных естественных S, у которых известны Y
ok
, но мало изучен состав элементов и принципы их взаимодействия с помощью моделирования может решаться обратная задача. Строят предположительную модель, определяющая её характеристики Y
mk при эквивалентных внешних воздействиях {x mn
} (: {x on
} {x mn
}) и, если оказывается, что имеет место отображение : Y
ok
 Y
mk с некоторой известной функцией , то считается, что система-оригинал имеет такие же параметры.
Моделирование целесообразно, когда у модели отсутствуют те признаки оригинала, которые препятствуют его исследованию.

18
Теория моделирования — взаимосвязанная совокупность положений, определений, методов и средств создания моделей. Сами модели являются предметом теории моделирования.
Теория моделирования является основной составляющей общей теории систем - системологии, где в качестве главного принципа постулируются осуществимые модели: система представима конечным множеством моделей, каждая из которых отражает определённую грань её сущности.
2.3 Классификация моделей
1. Физические модели (ФМ). В основу классификации положена степень абстрагирования модели от оригинала. Предварительно все модели можно подразделить на 2 группы - физические и абстрактные (математические) [5].
ФМ обычно называют систему, эквивалентную или подобную оригиналу, но возможно имеющую другую физическую природу. Виды ФМ [5]:
 натуральные;
 квазинатуральные;
 масштабные;
 аналоговые;
2. Натуральные модели — это реальные исследуемые системы (макеты, опытные образцы). Имеют полную адекватность (соответствия) с системой оригиналом, но дороги.
3.
Квазинатуральные модели
— совокупность натуральных и математических моделей. Этот вид используется тогда, когда модель части системы не может быть математической из-за сложности её описания (модель человека оператора) или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с другими частями, но их ещё не существует или их включение очень дорого. (вычислительные полигоны, АСУ)
4. Масштабная модель — это система той же физической природы, что и оригинал, но отличается от него масштабами. Методологической основой масштабного моделирования является теория подобия. При проектировании ВС масштабные модели могут использоваться для анализа вариантов компоновочных решений.
5. Аналоговыми моделями называют системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей