Файл: Инфокоммуникаций.pdf

19 используются механические, гидравлические, пневматические и электрические системы. Аналоговое моделирование использует при исследовании средства ВТ на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.
6. Математические модели (ММ). Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, с помощью математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математических моделей можно использовать любые математические средства
— алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т.д. По существу вся математика создана для составления и исследования моделей объектов и процессов.
К средствам абстрактного описания систем относятся также языки химических формул, схем, чертежей, карт, диаграмм и т.п. Выбор вида модели определяется особенностями изучаемой системы и целями моделирования, т.к. исследование модели позволяет получить ответы на определённую группу вопросов. Для получения другой информации может потребоваться модель другого вида. Математическое модели можно классифицировать на детерминированные и вероятностные, аналитические, численные и имитационные.
Аналитической моделью называется такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнения (2.2) в явном виде, используя известный математический аппарат.
Численная модель характеризуется зависимостью (2.2) такого вида, который допускает только частные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.
Имитационная модель (ИМ) - это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить вычисления интересующих характеристик. Имитационные модели могут быть созданы для гораздо более широкого класса объектов и процессов, чем аналитические и численные. Поскольку для реализации имитационных моделей служат ВС, средствами формализованного описания ИМ служат универсальные

20 и специальные алгоритмические языки. ИМ в наибольшей степени подходят для исследования ВС на системном уровне.
2.4 Основные подходы к построению ММ систем
Исходной информацией при построении
ММ процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к ММ, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования [6].
Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некоторой ММ.
При пользовании мат. схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.
Например, представление процесса функционирования
ИВС коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания даёт возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящих потоков и потоков обслуживания не даёт возможности получения результатов в явном виде.
Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель - математическая схема - имитационная модель.
Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия её функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.
При построении ММ системы S необходимо решить вопрос о её полноте.
Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ «Система S
- среда Е». Также должна быть решена задача упрощения ММ, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные в плане цели моделирования.

21
ММ объекта моделирования, т.е. системы S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:
- совокупность Х - входных воздействий на S х i
Х, i=1…n x
;
- совокупность воздействий внешней среды v l
V, l=1…n v
;
- совокупность внутренних (собственных) параметров системы h k
H, k=1…n h
;
- совокупность выходных характеристик системы y j
Y, j=1…n y
В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае X, V, H, Y не пересекаемые множества, содержат как детерминированные так и стохастические составляющие. Входные воздействия Е и внутренние параметры S являются независимыми
(экзогенными) переменными,
X t V t H t
( ); ( );
( ).
Выходные характеристики - зависимые переменные (эндогенные)
Y t
( )
. Процесс функционирования S описывается оператором F
S
:

Y t
X V H t
S
F
( )
(
, ,
, )

(2.3)

Y t
( )
- выходная траектория. F
S
- закон функционирования S. F
S
может быть функция, функционал, логические условия, алгоритм, таблица или словесное описание правил.
Алгоритм функционирования A
S
- метод получения выходных характеристик
Y t
( )
с учётом входных воздействий
X t V t H t
( ); ( );
( ).
Очевидно один и тот же F
S
может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных A
S
Соотношение (1) является математическим описанием поведения объекта
S моделирования во времени t, т.е. отражает его динамические свойства. (2.3) - это динамическая модель системы S. Для статических условий ММ есть отображения X, V, H в Y, т.е.

  
Y
f X V H

( , , )
(2.4)
Соотношения (1), (2) могут быть заданы формулами, таблицами и т.д.
Также соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые состояниями.
Состояния системы S характеризуются векторами:
l
l
k
l
Z z
z
  
(
,....
)
1
и
ll
ll
k
ll
Z z
z
  
(
,....
)
1
, где
1 1
l
l
k
l
k
l
z z t
z
z t


( )....
( )
в момент t l
(t
0
, T)
1 1
ll
ll
k
ll
k
ll
z
z t
z
z t


( )....
( )
в момент t ll
(t
0
, T) и т.д. к=1…n
Z

22
Z
1
(t), Z
2
(t)… Z
k
(t) - это координаты точки в к-мерном фазовом пространстве. Каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория.
Совокупность всех возможных значений состояний {

Z
} называется пространством состояний объекта моделирования Z, причём z k
Z.
Состояние системы S в интервале времени t
0
l полностью определяется начальными условиями
0 1
0 0

Z
z
z
k
 (
,....
)
, где
1 0
1 0
z
z t

( )....
входными

X t
( )
, внутренними параметрами

H t
( )
и воздействиями внешней среды

V t
( )
, которые имели место за промежуток времени t
*
- t
0
c помощью 2-х векторных уравнений
[6,7]:

  

Z t
X V h t
z
( )
(
,
, , , )
 
0
;
(2.5)


Y t
F Z t
( )
( , )

(2.6) иначе:
Y t
F
X V h t
z
( )
( (
,
, , , ))


0

  
Время в мод. S может рассматриваться на интервале моделирования (t
0
,
T) как непрер., так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длин. t.
Таким образом под ММ объекта понимаем конечное множество переменных {
  
X Z h
, ,
} вместе с математическими связями между ними и характеристиками

Y
Моделирование называется детерминированным, если операторы F, Ф детерминированные, т.е. для конкретного входа выход детерминированный.
Детерминированное моделирование - частный случай стохастического моделирования. В практике моделирование объектов в области системного анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: диф. уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д.
Не облад. такой степенью общности, как модели (2.4), (2.5), типовые математические схемы имеют преимущество простоты и наглядности, но при существенном сужении возможности применения.
В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и др. уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени - конечные автоматы и конечно разностные схемы.
В начале стохастических моделей (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем — системы

23 массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся АСУ, имеют так называемые агрегативные модели.
Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов.
Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей
(подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.
2.5 Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы)
Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве ММ дифференциальные уравнения [7].
Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.
Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются - уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.
Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:
l
y
t
y
f y t y


 



( , ), (
)
0 0
(2.7).
Например, процесс малых колебаний маятника описан обыкновенными дифференциальным уравнением
1 1 2
2 2
2 0
m l
t
m
t
gl
t




( )
( )


где m
1
, l
1
- масса, длина подвески маятника,

- угол отклонения маятника от положения равновесия. Из этого уравнения можно найти оценки интересующих характеристик, например период колебаний
T
l g
 2

/
Диф. уравнения, Д - схемы являются математическим аппаратом теории систем автоматического регулирования, управления.
При проектировании и эксплуатации систем САУ необходимо выбрать такие параметры системы, которые бы обеспечивали требуемую точность управления.

24
Следует отметить, что часто используемые в САУ системы диф. уравнений определяются путём линеаризацией управления объекта (системы), более сложного вида, имеющего нелинейности:
F
y
n
n
m
n
n
y y
x x
x
(
,
,... ,
,
,...
)
:



1 1
0
dF
d
dF
d
dF
d
y
dF
d
dF
d
x
n
n
n
n
m
m
y
y
y
y
y
y
x
y
x
x
0 0
1 1
0 0
0














2.6 Дискретно – детерминированные модели (F-схемы)
ДДМ являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА). ТА - раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.
Конечный автомат имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой:
F=0
>, где z,x,y - соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний
(алфавита). z
0
Z - начальное состояние; (z,x) - функция переходов;
(z,x) - функция выхода.
Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.
В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять сигнал x(t) и выдать сигнал y(t)=[z(t),x(t)], переходя в состояние z(t+1)=[z(t),z(t)], z(t)Z; y(t)Y; x(t)X. Абстрактный КА в начальном состоянии z
0
принимая сигналы x(0), x(1), x(2) … выдаёт сигналы y(0), y(1), y(2)… (выходное слово).
Существуют F- автомат 1-ого рода (Миля), функционирующий по схеме: z(t+1)= [z(t),z(t)], t=0,1,2…
(2.8) y(t)=[z(t),x(t)], t=0,1,2…
(2.9)
F- автомат 2-ого рода: z(t+1)= [z(t),z(t)], t=0,1,2…
(2.10) y(t)=[z(t),x(t-1)], t=1,2,3… (2.11)
Автомат 2-ого рода, для которого: y (t)=[z(t)], t=0,1,2, (2.12)

25 т.е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура.
Т.о. уравнения 2.8 – 2.12 полностью задающие F- автомат, являются частным случаем уравнения

  

z t
x v h t
z
( )
(
, , , , )
 
0
(2.13) где

z
- вектор состояния,

x
- вектор независимых входных переменных,

v
- вектор воздействий внешней среды,

h
- вектор собственных внутренних параметров системы,
0

z
- вектор начального состояния, t - время; и уравнение


y t
F z t
( )
( , )

, когда система S - денорминированная и на её вход поступает дискретный сигнал x.
По числу состояний конечные автоматы бывают с памятью и без памяти.
Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти
(комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием.
При этом согласно (2), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определённый выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида: y(t)=[x(t)], t=0,1,2,…
Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y состоят из 2-х букв.
По характеру отсчёта времени (дискретному) F- автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт синхронизации. Асинхронный F- автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный водной сигнал постоянной величины x, он может, как это следует из 2.8 – 2.12, несколько раз изменить своё состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдёт в устойчивое [7].
Для задания F- автомата необходимо описать все элементы множества
F=0
>, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F- автоматов наиболее часто используются табличный, графический и матричный способ.
В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям. При этом обычно 1-ый столбец слева соответствует начальному состоянию z
0
. На пересечении i-ой строки и j-ого столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение (z k
,x i
) функции переходов,

26 а в таблице выходов - (z k
, x i
) функции выходов. Для F- автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив т.н. отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием z k
автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (2.12), выходной сигнал
(z i
).
Описание работы F- автомата Мили таблицами переходов  и выходов  иллюстрируется таблицей (1), а описание F- автомата Мура - таблицей переходов (2).
Таблица 1
Работа F- автомата Мили x
j z
k z
0
z
1
… z
k
Переходы x
1
(z
0
,x
1
)
(z
1
,x
1
)
…
(z k
,x
1
) x
2
(z
0
,x
2
)
(z
1
,x
2
)
…
(z k
,x
2
)
……………………………………………………
…… x
l
…
…
…
…
Выходы x
1
(z
0
,x
1
)
(z
1
,x
1
)
…
(z k
,x
1
)
……………………………………………………
…… x
l
(z
0
,x l
)
(z
1
,x l
)
…
(z k
,x l
)
Таблица 2
Работа F- автомата Мура
(z k
) x
i
(z
0
)
(z
1
)
…
(z k
) z
0
z
1
… z
k x
1
(z
0
,x
1
)
(z
1
,x
1
)
…
(z k
,x
1
) x
2
(z
0
,x
2
)
(z
1
,x
2
)
…
(z k
,x
2
)
……………………………………………………
…… x
l
(z
0
,x l
)
(z
1
,x l
)
…
(z k
,x l
)

27
Примеры табличного способа задания F- автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 3, а для F- автомата Мура F2 - в таблице 4.
Таблица 3
Табличный способ задания F- автомата Мили F1 x
j z
0
z
0
z
1
z
2
Переходы x
1
z
2
z
0
z
0
x
2
z
0
z
2
z
1
Выходы x
1
y
1
y
1
y
2
x
2
y
1
y
2
y
1
Таблица 4
Табличный способ задания F- автомата Мили F2 y x
i y
1
y
1
y
3
y
2
y
3
z
0
z
1
z
2
z
3
z
4
x
1
z
1
z
4
z
4
z
2
z
2
x
2
z
3
z
1
z
1
z
0
z
0
При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x k
вызывает переход из состояния z i
в состояние z j
, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z i с вершиной z j
обозначается x k
. Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производиться так: если входной сигнал x k действует на состояние z i
, то согласно сказанному получается дуга, исходящая из z i
и помеченная x k
; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y=(z i
, x k
). Для автомата
Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x k
, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z j
, то дугу, направленную в z j
и помеченную x k
, дополнительно отмечают выходным сигналом y=(z j
, x k
). На рис. 1 приведены заданные ранее таблицами F- автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно [8].