Файл: Элементы математического анализа.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.10.2023

Просмотров: 127

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Элементы математического анализаПусть x0, х две точки из области определения функции y = f(x). При переходе из точки x0 в точку х значение функции меняется с f(x0) на f(x).Величина х = х - x0 называется приращением аргумента.Величина y =f(x) - f(x0) называется приращением функции. Производной функцииy = f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует .Обозначение: , Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. Учитывая это, можно опустить индекс «0» у величины х0, и записывать производную как или , где х – произвольная точка.Правила дифференцирования1) Производная от постоянной равна нулю, .2) Производная от независимой переменной равна единице, .3) Если u = u(x), v = v(x) дифференцируемые функции, тоa) b) c) Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной, т.е. Таблица производных

1
, С- const
6


11


2


7


12


3


8


13


4


9


14


5


10


15

Запомнить: , Упр. Вычислить производные 1) ; 2) 3) ; 4) ; 5) 6) 7) == .1) ; 2) 3) 4) 5) ; 6) 7) ; 8) 13) ; 14) Упр. 1) Найти производную функцию f(x) в точке x0a) f(x) = x2 + x + 1, x0 = 1▼ ▲b) f(x) = x - 3x2, x0 = 2▼ ▲2) При каких значениях х производная функцииf(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) равна 11▼ f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) = x3 – 6x2 + 11x - 6 Отв. х = 0; 4▲3) При каких значениях х производная функцииf(x) = 3x4 – 4х3 - 12х2 + 3 принимает положительные значения▼
x(x2 – x – 2) > 0x = 0; -1; 2Отв. х = ▲Производная сложной функции , , Упр. Вычислить производные.1) , u = sinxy = u3, 2) , , 3) , u = x2, 4) . u = 2x + 3, , 5) . u = x3 – 2x2 + 5, y = u66) , , 7) , u = x2 y = cosu, 8) , u = sinx, y = u1/3 9) , u = lnx,y = sinu Геометрический смысл производной
Производная функции f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. , где k = tg - угловой коэффициент касательной.Свойства tg1) тангенс острого угла положителен;2) тангенс тупого угла отрицателен;3) большему углу соответствует большее значение тангенса угла.Упр. 1) Найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y = 3x2 - 6x + 4 в точке x = 2▼ ▲2) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = 1/x + 4 в точке x = 1/2▼ ▲Уравнение касательной к кривойЗапишем уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0,у0). ,где k– угловой коэффициент прямой.Положив , , получим , или - уравнение касательной к кривой в точке х0.Упр.1) Найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 + 2x в точке х = 2.▼ , , , тогда , y = 6x – 4 – уравнение касательной ▲2) Найти уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой y = 4x - 5.▼ У прямой y = 4x – 5 угловой коэффициент k = 4. . Из условия параллельности находим точку касания х0, т.е. 2х + 2 = 4, х = 1.

,

Составляем уравнение касательной

, ▲

3) Найти уравнение касательной к графику функции , параллельной оси абсцисс.

▼ . Из условия находим точку касания х0, т.е. 2х + 4 = 0, х = 2.

,

Составляем уравнение касательной

, ▲

5) Укажите точку графика функции , в которой касательная параллельна прямой y - 2x + 5 = 0.

▼ Запишем уравнение прямой в виде , где k = 2 – угловой коэффициент прямой. Искомая точка касания х0 находится из условия:

, , х = -1,

Точка касания (x0, f(x0)) = (-1; -3). ▲
Признаки возрастания и убывания функции

Если во всех точках некоторого промежутка:

а) , то функция f(x) возрастает на этом промежутке;

б) , то функция f(x) убывает на этом промежутке.

1) Найти область возрастания функции

▼ Обл. опр. .

,

Смотрите также файлы