Элементы математического анализа

Пусть x₀, х две точки из области определения функции y = f(x). При переходе из точки x₀ в точку х значение функции меняется с f(x₀) на f(x).

Величина х = х - x₀ называется приращением аргумента.

Величина y = f(x) - f(x₀) называется приращением функции.



Производной функции y = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует

.

Обозначение: ,

Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого промежутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. Учитывая это, можно опустить индекс «0» у величины х₀, и записывать производную как или , где х – произвольная точка.

Правила дифференцирования

1) Производная от постоянной равна нулю, .

2) Производная от независимой переменной равна единице, .

3) Если u = u(x), v = v(x) дифференцируемые функции, то

a)

b)

c)

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной, т.е.

Таблица производных

1	, С- const	6		11
2		7		12
3		8		13
4		9		14
5		10		15

---

Запомнить: ,

Упр. Вычислить производные

1) ; 2)

3) ; 4) ; 5)

6)

7) =

= .



1) ; 2)

3)

4)

5) ; 6)

7) ; 8)

13) ; 14)

Упр.

1) Найти производную функцию f(x) в точке x₀

a) f(x) = x² + x + 1, x₀ = 1

▼ ▲

b) f(x) = x - 3x², x₀ = 2

▼ ▲

2) При каких значениях х производная функции

f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) равна 11

▼ f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) = x³ – 6x² + 11x - 6



Отв. х = 0; 4▲

3) При каких значениях х производная функции

f(x) = 3x⁴ – 4х³ - 12х² + 3 принимает положительные значения

▼

---

x(x² – x – 2) > 0

x = 0; -1; 2



Отв. х = ▲

Производная сложной функции

,

,

Упр. Вычислить производные.

1) , u = sinx

y = u³,

2) ,

,

3) , u = x²,
4) . u = 2x + 3, ,

5) . u = x³ – 2x² + 5, y = u⁶



6) , ,



7) , u = x²

y = cosu,

8) , u = sinx, y = u^1/3



9) , u = lnx, y = sinu


Геометрический смысл производной

---

Производная функции f(x) в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. , где k = tg - угловой коэффициент касательной.

Свойства tg

1) тангенс острого угла положителен;

2) тангенс тупого угла отрицателен;

3) большему углу соответствует большее значение тангенса угла.

Упр.

1) Найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции y = 3x² - 6x + 4 в точке x = 2

▼ ▲

2) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = 1/x + 4 в точке x = 1/2

▼ ▲

Уравнение касательной к кривой

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀,у₀).

,

где k– угловой коэффициент прямой.

Положив , , получим

, или - уравнение касательной к кривой в точке х₀.

Упр.

1) Найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 2x в точке х = 2.

▼ , , , тогда

, y = 6x – 4 – уравнение касательной ▲

2) Найти уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой y = 4x - 5.

▼ У прямой y = 4x – 5 угловой коэффициент k = 4.

. Из условия параллельности находим точку касания х₀, т.е. 2х + 2 = 4, х = 1.

---

,

Составляем уравнение касательной

, ▲

3) Найти уравнение касательной к графику функции , параллельной оси абсцисс.

▼ . Из условия находим точку касания х₀, т.е. 2х + 4 = 0, х = 2.

,

Составляем уравнение касательной

, ▲

5) Укажите точку графика функции , в которой касательная параллельна прямой y - 2x + 5 = 0.

▼ Запишем уравнение прямой в виде , где k = 2 – угловой коэффициент прямой. Искомая точка касания х₀ находится из условия:

, , х = -1,

Точка касания (x₀, f(x₀)) = (-1; -3). ▲
Признаки возрастания и убывания функции

Если во всех точках некоторого промежутка:

а) , то функция f(x) возрастает на этом промежутке;

б) , то функция f(x) убывает на этом промежутке.

1) Найти область возрастания функции

▼ Обл. опр. .

,

---

Смотрите также файлы

• Трансформация человека в цифровую эпоху.docx

• Опишите структуру правоотношения. Охарактеризуйте основные элементы, входящие в его состав.docx

• Лабораторная работа 1 Документоориентированная субд по дисциплине Современные субд Студент гр з421П25.docx

• Реферат Контроль и самоконтроль в занятиях физической культурой и спортом. Профилактика травматизма.rtf

• Юридические коллизии содержание введние.docx