ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 27.10.2023
Просмотров: 29
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
- условие возрастания функции f(x).
,
x = -3; 1
Область возрастания: (-3; 1), или [-3; 1] ▲
Экстремум функции
Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности этой точки выполняются неравенства
, то х0 – точка максимума;
, то х0 – точка минимума.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Необходимые условия экстремума
Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х0, лежащий внутри области определения функции, то ее производная
либо равна нулю, либо не существует.
Производная функции
в точке х = 0 не существует, но экстремум в этой точке есть.
Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума, называются критическими точками.
Замечание. Если в какой-то точке имеется экстремум, то эта точка критическая; обратно неверно, т.е. критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Критическая точка должна входить в область определения функции.
Например, рассмотрим функцию y = x3.
, 
x= 0 – критическая точка, но экстремума нет.
Упр. Найти критические точки.
1)
. Обл. опр.: (-; ).
, , 
x = 0; -1 – критические точки.
2)
. Обл. опр.: 0; )
, 
не существует при х = 0, но эта точка не лежит внутри области определения, следовательно, не есть критическая точка.
Вывод: Экстремума нет, поскольку не критических точек.
3)
. Обл. опр.: -1; 1
, 
при 
- критические точки, т.к. лежат внутри области определения функции.
не существует при х = 1, но не критические точки, поскольку не лежат внутри области определения функции.
4)
. Обл. опр.: (-; 0)U(0; )
,
при 
- критические точки, т.к. лежат внутри области определения функции.
не существует при х = 0, но не критические точки, поскольку не лежит внутри области определения функции.
5)
. Обл. опр.: (-; -1)U(-1; 1) U(1; )
, при 
- критическая точки.
не существует при х = 0, но не критические точки, поскольку не лежит внутри области определения функции.
6)
. Обл. опр.: (-; )
, не существует при х = 1- критическая точка.
Достаточное условие экстремума
Если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с плюса на минус, то имеет место максимум функции, а если с минуса на плюс – минимум. Если же знак производной не меняется, то экстремума нет.
Замечание. Факт возрастания функции будем обозначать стрелкой вверх
, а убывание – стрелкой вниз 
, тогда
Схема исследования функции на экстремум и
области возрастания и убывания функции
1) Найти производную .
2) Найти критические точки, которые лежат внутри области определения функции.
3) Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремума функции и области возрастания и убывания функции.
4) Найти экстремум функции.
Замечание. Критические точки отделяют область возрастания и область убывания функции.
Упр. Найти экстремумы и области возрастания и убывания функции.
1)
. Обл. опр.: (-; );
;
х = 0; 2- критические точки. Наносим все критические точки на числовой прямой. Критические точки разбивают числовую ось на три области.
Для определения знака
в каждой области используются следующие способы.
а) Прямой способ. Возьмем контрольные точки в окрестности каждой критической точки и определим знак производной в контрольной точке.
, 
, 
, 
- область возрастания функции;
- область убывания функции.
б) Нанесем график
Корни: х = 0; 2
в) Метод интервалов.
- стандартный вид
Корни: х = 0; 2
2)
. Обл. опр.: (-; ); 
;
х = 1; 5- критические точки.
, 
, 
, 
- область возрастания функции;
- область убывания функции.
3)
. Обл. опр.: (-; ); 
;
х = 1; 1/4- критические точки.
, 
, 
- область возрастания функции;
- область убывания функции.
4)
. Обл. опр.: (-;-2)U(-2; ); 
;
не существует при х = -2, которая не лежит внутри области определения функции, т.е. не критическая точка, следовательно, экстремума нет.
при всех х -2, следовательно, 
- область возрастания функции.
5)
. Обл. опр.: (-; 0)U(0; ); 
;
х = 1- критическая точка.
не существует при х = 0, которая не лежит внутри области определения функции, т.е. не критическая точка.
, 
- область возрастания функции;
- область убывания функции.
6)
. Обл. опр.: х ≠ 0, (-; 0)U(0; ); 
, x = -3; 1
Область возрастания: (-3; 1), или [-3; 1] ▲
Экстремум функции
Точка х0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой окрестности этой точки выполняются неравенства
, то х0 – точка максимума; , то х0 – точка минимума.Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Необходимые условия экстремума
Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке х0, лежащий внутри области определения функции, то ее производная
либо равна нулю, либо не существует. Производная функции
в точке х = 0 не существует, но экстремум в этой точке есть.Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума, называются критическими точками.
Замечание. Если в какой-то точке имеется экстремум, то эта точка критическая; обратно неверно, т.е. критическая точка не обязательно является точкой экстремума. Критическая точка должна входить в область определения функции.
Например, рассмотрим функцию y = x3.
, x= 0 – критическая точка, но экстремума нет.Упр. Найти критические точки.
1)
. Обл. опр.: (-; ). , ,
x = 0; -1 – критические точки.
2)
. Обл. опр.: 0; ) , не существует при х = 0, но эта точка не лежит внутри области определения, следовательно, не есть критическая точка.Вывод: Экстремума нет, поскольку не критических точек.
3)
. Обл. опр.: -1; 1 , при - критические точки, т.к. лежат внутри области определения функции. не существует при х = 1, но не критические точки, поскольку не лежат внутри области определения функции.4)
. Обл. опр.: (-; 0)U(0; ) , при - критические точки, т.к. лежат внутри области определения функции. не существует при х = 0, но не критические точки, поскольку не лежит внутри области определения функции.5)
. Обл. опр.: (-; -1)U(-1; 1) U(1; ) , при - критическая точки. не существует при х = 0, но не критические точки, поскольку не лежит внутри области определения функции.6)
. Обл. опр.: (-; ) , не существует при х = 1- критическая точка.Достаточное условие экстремума
Если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с плюса на минус, то имеет место максимум функции, а если с минуса на плюс – минимум. Если же знак производной не меняется, то экстремума нет.
Замечание. Факт возрастания функции будем обозначать стрелкой вверх
, а убывание – стрелкой вниз , тогда Схема исследования функции на экстремум и
области возрастания и убывания функции
1) Найти производную
.2) Найти критические точки, которые лежат внутри области определения функции.
3) Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремума функции и области возрастания и убывания функции.
4) Найти экстремум функции.
Замечание. Критические точки отделяют область возрастания и область убывания функции.
Упр. Найти экстремумы и области возрастания и убывания функции.
1)
. Обл. опр.: (-; ); ; х = 0; 2- критические точки. Наносим все критические точки на числовой прямой. Критические точки разбивают числовую ось на три области.     II III II  |
Для определения знака
в каждой области используются следующие способы.а) Прямой способ. Возьмем контрольные точки в окрестности каждой критической точки и определим знак производной в контрольной точке.
, , , - область возрастания функции; - область убывания функции.б) Нанесем график
Корни: х = 0; 2
в) Метод интервалов.
- стандартный видКорни: х = 0; 2
2)
. Обл. опр.: (-; ); ; х = 1; 5- критические точки. , , , - область возрастания функции;
- область убывания функции.
3)
. Обл. опр.: (-; ); ; х = 1; 1/4- критические точки. , , - область возрастания функции; - область убывания функции.4)
. Обл. опр.: (-;-2)U(-2; ); ; не существует при х = -2, которая не лежит внутри области определения функции, т.е. не критическая точка, следовательно, экстремума нет. при всех х -2, следовательно, - область возрастания функции.5)
. Обл. опр.: (-; 0)U(0; ); ; х = 1- критическая точка. не существует при х = 0, которая не лежит внутри области определения функции, т.е. не критическая точка. , - область возрастания функции; - область убывания функции.6)
. Обл. опр.: х ≠ 0, (-; 0)U(0; );