Файл: Реферат по дисциплине Основы математической обработки информации Принципы построения математический моделей.docx
Добавлен: 27.10.2023
Просмотров: 105
Скачиваний: 6
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО»
(БГУ)
Факультет педагогики и психологии
РЕФЕРАТ
по дисциплине
Основы математической обработки информации
Принципы построения математический моделей.
Выполнил студент:
Факультет: Педагогики и психологии
Направление подготовки:
44.03.05 «Педагогическое образование»
Профиль подготовки
«Дошкольное образование». «Дополнительное образование»
Форма обучения: очная
1 курса, 2 группы
Касьянова Ирина Николаевна
____________________
(подпись)
Проверил:
к.ф.-м.н, профессор Тонких А.П.
___________________
(подпись)
Брянск 2020 г.
Содержание
Введение 3
1. Математические модели и их свойства 3-6
2. Основные этапы разработки математических моделей 7-8
2.1. Обследования объекта моделирования 9-10
2.2. Концептуальная постановка задачи моделирования 11-13
2.3. Математическая постановка задачи моделирования 14
3. Принципы построения математических моделей 15-20
4. Форма представления математических моделей 21
5. Методы получения моделей 22
Заключение 23
Список литературы 24
Введение
Математическое моделирование многие считают скорее искусством, чем стройной и законченной теорией. Здесь очень велика роль опыта, интуиции и других интеллектуальных качеств человека. Поэтому невозможно написать достаточно формализованную инструкцию, определяющую, как должна строиться модель той или иной системы. Тем не менее отсутствие точных правил не мешает опытным специалистам строить удачные модели. К настоящему времени уже накоплен значительный опыт, дающий основание сформулировать некоторые принципы и подходы к построению моделей. При рассмотрении порознь каждый из них может показаться довольно очевидным. Но совокупность взятых вместе принципов и подходов далеко не тривиальна. Многие ошибки и неудачи в практике моделирования являются прямым следствием нарушения этой методологии.
Математическая модель – это совокупность математических объектов и соотношений между ними, адекватно отображающая свойства и поведение исследуемого объекта. Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между этими объектами.
Математическое отношение – это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел).
Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правило соответствия, связывающее специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями. Поучительным и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия.
1. Математические модели и их свойства
Математи́ческая моде́ль — математическое представление реальности. Один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.
Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.
Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект исследования его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.
Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу, человек старается взвесить имеющуюся у него информацию, выбрать из нее существенную. И только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на какой результата рассчитывать, он приступает к решению задачи. Иногда описанный процесс называют “уяснением задачи”, фактически же это замена исходной жизненной задачи ее моделью. В осмыслении простейшей жизненной ситуации присутствует модельный подход, хотя человек обычно не замечает своей деятельности по созданию моделей – настолько она для него естественна. Иное дело, если возникающая задача затрагивает ключевые моменты жизни одного человека или какого – либо сообщества людей. Разнообразие информационных аспектов в каждой такой задаче настолько велико, что бывает сложно из всего многообразия информации об изучаемом явлении или объекте выбрать наиболее существенные. В таких случаях необходимо сделать упрощающее предположение, чтобы выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом. Все это – предположения, исходные данные, результаты, связи между ними – их называют моделью задачи.
Если построенная модель дает удовлетворительные результаты при решении жизненных задач, то говорят, что модель адекватна рассматриваемому объекту (процессу или явлению). Нередко для решения модельной задачи требуется некоторый инструментарий. Этот инструментарий обычно организуется в виде единого объекта, называемого исполнителем. Чтобы исполнитель мог получить ответ, ему нужны указания, что и как делать. Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются математические соотношения, связывающие исходные данные и результат. В этом случае говорят о построении математической модели задачи.
Обычно модель возникает как необходимый этап решения конкретной задачи. Однако в дельнейшем может происходить обособление модели от задачи, и модель начинает жить самостоятельно. Примером может служить сюжет движения с постоянной скоростью, который возникал в человеческой деятельности столь часто, что в конце концов обособился от задач и стал составляющей физического знания, называемого “равномерное прямолинейное движение”. Теперь при необходимости решить какую – либо задачу, связанную с равномерным движением пользуются этой готовой моделью процесса. В одних задачах результатом может оказаться время, в других – пройденный путь, в третьих скорость. Остальные параметры модели процесса станут исходными данными.
Если же в задаче фигурирует не равномерное движение, а равноускоренное, то физика и здесь предложит готовую модель в виде формулы: S = V0 t + at2
Соответственно говоря, все естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями явлений. Например, гидродинамика является моделью движения жидкости, математическая экономика – моделью процессов экономики и т.д. До появления ЭВМ математическое моделирование сводилось к построению аналитической теории явления. Не всегда математическую теорию явления удавалось доводить до возможности вывода формул. Природа оказывалась сложнее возможностей аналитических методов математики. Приходилось вносить значительные упрощения в модель явления, а тем самым обеднять выводы. В этом веке математика пополнилась мощным математическим методом исследования: моделированием сложных систем на ЭВМ. Теперь исследователь ставит перед собой не ту цель, что раньше – вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять те или иные параметры, характеризующие явление. Таким путем были исследованы сложные вопросы, связанные с термоядерными реакциями, поведением самолетов в критических ситуациях, влиянием различных факторов на экологические системы, распространением эпидемий и пр.
В настоящее время широко используется математическое моделирование и тогда, когда о физической структуре процесса известно крайне мало. В этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся следствия уже доступные наблюдению. Если такие модели не оправдываются опытом, то они живут недолго и отмирают, уступив место другим моделям, позволяющим познать природу вещей точнее. История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные гипотезы и построенные на их основе математические модели явлений.
Математический аппарат, применяемый при построении моделей, весьма разнообразен. Кроме классических разделов математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) широко используются современные разделы математики, в которых изучаются методы, позволяющие находить оптимальные решения: линейное, нелинейное и динамическое программирование. Для анализа многих операций применяют аппарат теории вероятностей. Это вызвано тем, что исследования проводятся в условиях, определенных не полностью, зависящих от случайных причин. В тех случаях, когда в центре внимания находятся вопросы динамики явлений, широко применяют аппарат дифференциальных уравнений, а в более сложных случаях используется метод статистического моделирования.
2. Основные этапы разработки математических моделей:
Разработка математического описания предварительного варианта модели (уточнение задачи моделирования, определение требований к входным и выходным переменным, построение структурной схемы модели, выбор её параметров, выбор методов получения конечных и промежуточных результатов). Результатом этого этапа является формальное математическое описание блоков модели. При этом как бы исчезает физическая сторона исследуемой задачи, то есть для лиц, не знакомых с решаемой задачей, по математическому описанию модели крайне затруднительно или даже невозможно уяснить сущность этой задачи.
В процессе моделирования обязательно присутствуют, участвуют и взаимодействуют тем или иным образом объект исследования и модель.
1 – постановка задачи, определение цели и концептуальное описание объекта исследований;
2 – выбор и построение моделей:
2.1 – выбор и обоснование структуры модели;
2.2 – математическое описание отдельных блоков или узлов объекта;
2.3 – установление связей между этими блоками или узлами;
2.4 – синтез обобщённой модели на основании п. 2.1, 2.3;
3 – организация процесса моделирования и исследования модели;
4 – статистическая оценка результатов моделирования по известным критериям: оценка воспроизводимости опытов, оценка значимости коэффициентов модели, оценка адекватности (соответствия) полученной модели экспериментальным данным;
5 – перенос результатов исследования модели на оригинал, экспериментальная проверка результатов моделирования.
При выполнении 2-го этапа определение структуры модели связано с исследованием нескольких наиболее возможных для описания экспериментальных данных структур математических выражений. Например, для объекта исследования по предварительным данным модель объекта может быть представлена в виде линейного алгебраического уравнения y=ax+b, или нелинейного алгебраического уравнения y=ax2+bx+c.
Для этих моделей определяется по имеющимся экспериментальным данным все необходимые коэффициенты a, b и c и по некоторым критериям выполняется сравнительные точности аппроксимации этими моделями экспериментальных данных объекта.
На этом этапе рассматривают в случае сложных объектов модели отдельных блоков или узлов и дают оценки связей между ними. Т.е. результирующая обобщённая модель должна иметь полную картину взаимодействия входных и выходных величин.
В общем случае математические модели разделяют на функциональные и структурные. Первые отражают закономерности функционирования объекта или системы. Типичная функциональная модель представляет собой уравнение или систему уравнений, которые описывают физические процессы или процессы преобразований входных величин.
Если в математической модели отображается геометрическая форма, размеры, взаимное расположение элементов объекта, последовательность преобразований в ходе технологического процесса, показана взаимосвязь других физических и геометрических характеристик, то такие модели называют структурными. Они чаще всего представляются в виде графов (например, сетевой граф выполнения работ), списков, в виде последовательности блоков и т.д.
В этих моделях их структура может быть представлена в виде математических описаний или уравнений.
На 3-ем этапе выполняют собственно моделирование, т.е. исследование модели. Здесь применяют различные методы исследований, например, методы пассивного или активного эксперимента, численные математические методы.