ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2023
Просмотров: 29
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
.
Иначе говоря,
, 
.
Это неравенство можно было доказать и графически.
Пример 4. Справедливо неравенство
. (5)
Рассмотрим функцию
, для 
.
Она дифференцируема в указанном промежутке и её производная будет
.
Здесь
и
при ;
(это следует из того, что квадратный трехчлен
на отрезке 
принимает неотрицательные значения).
Поэтому
, т.е. 
– возрастающая функция, значит
или 
, при .
Отсюда, в частности, вытекает:
,
т. е.
.
(Здесь мы использовали неравенство
, для 
. Это неравенство также можно получить, используя монотонность функции 
).
Часто на школьных олимпиадах по математике встречаются задачи на сравнение двух чисел, заданных в виде степеней. Для решения этих задач можно использовать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть для чисел
и 
выполняется условие 
. Тогда справедливо следующее неравенство:
(6)
Доказательство. Рассмотрим функцию
. Эта функция определена и дифференцируема на отрезке 
и
.
Так как
и 
(тогда 
), значит 
.
Таким образом
.
Отсюда, используя теорему 2, следует, что
возрастающая на отрезке функция.
Используя свойство возрастающей функции
на отрезке , имеем
.
У нас
.
.
Отсюда
или 
.
Потенцируя это неравенство, получим
.
Что и требовалось доказать.
Значит, при условиях теоремы из двух степеней та степень больше, где показатель степени больше. Нетрудно заметить, что при
и 
неравенство (6) не выполняется.
Хотелось бы отметить, что теорему 2 можно использовать при выполнения задания ЕГЭ части В на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке .
Прием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения:
Задача 1 Упростить выражение:
Решение: Обозначив данное выражение
будем иметь:
Таким образом, заданное выражение (1) равно
.
Задача 2. Упростить выражение:
Решение: Обозначив это выражение через
, будем иметь:
отсюда
.
и при
получаем: 
Так что
Задача 3. Упростить запись функции:
(2)
Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:
Отсюда
Найдём
: 
Таким образом функция (2) равна
Задача 4. Упростить запись многочлена:
(3)
Решение: Обозначим многочлен (3) через и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции:
Ясно, что
Поэтому
, где 
, найдём 
: при 
, 
.
Задания для самостоятельного решения.
1. Проверить тождество:
2.
3. Проверить тождество:
4.
5. Упростить запись многочлена:
6.
7.
8. Выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение:
9.
10. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:
Список литературы
1.Агаханов С.А. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функций на заданном
отрезке // Материалы ежегодной научно-практ. конф. – Махачкала: Институт (филиал) МГМУ, 2012.-С. 102-105.
2.В
Иначе говоря,
, .Это неравенство можно было доказать и графически.
Пример 4. Справедливо неравенство
. (5)Рассмотрим функцию
, для .Она дифференцируема в указанном промежутке и её производная будет
.Здесь
и
при ;(это следует из того, что квадратный трехчлен
на отрезке принимает неотрицательные значения).Поэтому
, т.е. – возрастающая функция, значит или , при .Отсюда, в частности, вытекает:
,
т. е.
.(Здесь мы использовали неравенство
, для . Это неравенство также можно получить, используя монотонность функции ).Часто на школьных олимпиадах по математике встречаются задачи на сравнение двух чисел, заданных в виде степеней. Для решения этих задач можно использовать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть для чисел
и выполняется условие . Тогда справедливо следующее неравенство: (6)Доказательство. Рассмотрим функцию
. Эта функция определена и дифференцируема на отрезке и .Так как
и (тогда ), значит .Таким образом
.Отсюда, используя теорему 2, следует, что
возрастающая на отрезке
функция.Используя свойство возрастающей функции
на отрезке , имеем .У нас
. .Отсюда
или .Потенцируя это неравенство, получим
.Что и требовалось доказать.
Значит, при условиях теоремы из двух степеней та степень больше, где показатель степени больше. Нетрудно заметить, что при
и неравенство (6) не выполняется.Хотелось бы отметить, что теорему 2 можно использовать при выполнения задания ЕГЭ части В на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции
на отрезке .Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений.
Прием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения:
Задача 1 Упростить выражение:
Решение: Обозначив данное выражение
будем иметь: Таким образом, заданное выражение (1) равно
. Задача 2. Упростить выражение:
Решение: Обозначив это выражение через
, будем иметь: отсюда
. и при
получаем: Так что
Задача 3. Упростить запись функции:
(2)Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:
Отсюда
Найдём
: Таким образом функция (2) равна
Задача 4. Упростить запись многочлена:
(3)Решение: Обозначим многочлен (3) через
и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции: Ясно, что
Поэтому
, где , найдём : при , .Задания для самостоятельного решения.
1. Проверить тождество:
2.
3. Проверить тождество:
4.
5. Упростить запись многочлена:
6.
7.
8. Выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение:
9.
10. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство:
Список литературы
1.Агаханов С.А. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функций на заданном
отрезке // Материалы ежегодной научно-практ. конф. – Махачкала: Институт (филиал) МГМУ, 2012.-С. 102-105.
2.В