ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2023
Просмотров: 145
Скачиваний: 1
.
Иначе говоря,
, 
.
Это неравенство можно было доказать и графически.
Пример 4. Справедливо неравенство
. (5)
Рассмотрим функцию
, для 
.
Она дифференцируема в указанном промежутке и её производная будет
.
Здесь
и
при ;
(это следует из того, что квадратный трехчлен 
на отрезке 
принимает неотрицательные значения).
Поэтому 
, т.е. 
– возрастающая функция, значит
или 
, при .
Отсюда, в частности, вытекает:
,
т. е.
.
(Здесь мы использовали неравенство 
, для 
. Это неравенство также можно получить, используя монотонность функции 
).
Часто на школьных олимпиадах по математике встречаются задачи на сравнение двух чисел, заданных в виде степеней. Для решения этих задач можно использовать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть для чисел 
и 
выполняется условие 
. Тогда справедливо следующее неравенство:
(6)
Доказательство. Рассмотрим функцию 
. Эта функция определена и дифференцируема на отрезке 
и
.
Так как 
и 
(тогда 
), значит 
.
Таким образом
.
Отсюда, используя теорему 2, следует, что 
возрастающая на отрезке функция.
Используя свойство возрастающей функции 
на отрезке , имеем
.
У нас
.
.
Отсюда
или 
.
Потенцируя это неравенство, получим
.
Что и требовалось доказать.
Значит, при условиях теоремы из двух степеней та степень больше, где показатель степени больше. Нетрудно заметить, что при 
и 
неравенство (6) не выполняется.
Хотелось бы отметить, что теорему 2 можно использовать при выполнения задания ЕГЭ части В на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции 
на отрезке .
Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений.
Задача 1 Упростить выражение: Решение: Обозначив данное выражение будем иметь:Таким образом, заданное выражение (1) равно . Задача 2. Упростить выражение: Решение: Обозначив это выражение через , будем иметь: отсюда . и при получаем: Так что Задача 3. Упростить запись функции: (2)Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной: Отсюда Найдём : Таким образом функция (2) равна Задача 4. Упростить запись многочлена: (3)Решение: Обозначим многочлен (3) через и найдём последовательно первую и вторую производные этой функции:Ясно, что
Поэтому 
, где 
, найдём 
: при 
, 
.
Задания для самостоятельного решения.
1. Проверить тождество:
2.
3. Проверить тождество:
4.
5. Упростить запись многочлена:
6. 
7. 
8. Выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение:
9. 
10. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее неравенство: 
Список литературы
1.Агаханов С.А. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функций на заданном
отрезке // Материалы ежегодной научно-практ. конф. – Махачкала: Институт (филиал) МГМУ, 2012.-С. 102-105.
2.В