Файл: Рис. 14. 1 Следует обратить внимание на то, что в отличие от е, первые три составляющие (компоненты) и,, v, с, являются закономерными, неслучайными..docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2023
Просмотров: 53
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
= 0 против альтернативной гипотезы 
: 
Эта проверка основана на том, что статистика (
, имеет t-распределение Стьюдента с k = n - р - 1 степенями свободы. Поэтому 
значимо отличается от нуля на уровне значимости а
Рассматривая ковариационную матрицу К, легко заметить, что на ее главной диагонали находятся дисперсии оценок параметров регрессии, ибо
(13.34)
В сокращенном виде ковариационная матрица К имеет вид:
K = M[(b -
) (b - )']
(в этом легко убедиться, перемножив векторы (b - ) и (b - )'.
Учитывая (13.32), преобразуем это выражение:
K= M{[(X'X
X'
] [(XX X' ]'}=
= M[(X'X X'
X(X
X ]=(X'X X'M( )X(X'X (13.35)
ибо элементы матрицы Х- неслучайные величины.
Матрица М( ) представляет собой ковариационную матрицу
вектора возмущений с:
=
в которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю в силу предпосылки 4 о некоррелированности возмущений
и 
, между собой (см. (13.5)), а все элементы, лежащие на главной диагонали, в силу предпосылок 2 и 3 регрессионного анализа (см. (13.3) и (13.4)) равны одной и той же дисперсии 
:
M(
) = M(
- 0)
= D( ) =
Поэтому матрица М(
) = E, где Е - единичная матрица п-го порядка. Следовательно, в силу соотношения (13.35) ковариационная матрица вектора b оценок параметров:
K = [(X'X
X' (
)]X (X'X .= (X'X (X'EX
,
или
K= (X'X . (13. 36)
добычу угля большее влияние оказывает фактор «мощность пласта» по сравнению с фактором «уровень механизации работ».
Преобразуем вектор оценок (13.28) с учетом формулы (13.23):
b = (X'X X'(X
+
) = (X'X (X'X) +(X'X X' =
= E + (X'X X'
или
b = + (X'X X' . (13. 32)
т.е. оценки параметров (13.28), найденные по выборке, будут содержать случайные ошибки.
13.6. Ковариационная матрица и ее выборочная оценка
Вариации оценок параметров будут в конечном счете определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу К, являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной:
где элементы
- ковариации (или корреляционные моменты) оценок параметров 
и 
(i, j = 0, 1, …, р). Ковариация двух переменных определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих переменных от их математических ожиданий (см. § 5.6). Поэтому
= M [( - M ( ))( 
- M( ))]. (13. 33)
Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных.
В силу того, что оценки , полученные методом наименьших квадратов, являются несмещенными оценками параметров
, т.е.
M( ) 
, выражение (13.33) примет вид:
= M [( - )( - )].
зависимой переменной Y при изменении на единицу объясняющей переменной
в чистом виде, независимо от 
. В случае парной регрессии 
учитывает воздействие на У не только переменной , но н косвенно корреляционно связанной с ней переменной .
На практике часто бывает необходимо сравнение влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии
и коэффициенты эластичности 
(j = 1, 2, … p):
(13. 30)
(13. 31)
Стандартизованный коэффициент регрессии
показывает, на сколько величин 
изменится в среднем зависимая переменная Y при увеличении только j-й объясняющей переменной на 
, а коэффициент эластичности 
, - на сколько процентов (от средней) изменится в среднем У при увеличении только Х на 1%.
Пример 13.5. По данным примера 13.4
сравнить раздельное влияние на сменную добычу угля двух факторов - мощности пласта и уровня механизации работ.
Р е ш е н и е. Для сравнения влияния каждой из объясняющих переменных по формуле (13.30) вычислим стандартизованные коэффициенты регрессии:
= 0,8539.13
= 0,728; 
= 0,3670 
=0,285,
а по формуле (13.31) - коэффициенты эластичности:
, = 0,8539 
= 1,180; 
= 0,3670 
= 0,340.
(Здесь мы опустили расчет необходимых характеристик переменных:
9,4; 
= 6,3; 
= 6,8; 
= 1,56; 
= 1,42; 
=1,83.)
Таким образом, увеличение мощности пласта и уровня механизации работ только на одно или на одно увеличивает в среднем сменную добычу угля на одного рабочего соответственно на 0,728 , или на 0,285 , а увеличение этих переменных на 1% (от своих средних значений) приводит в среднем к росту добычи угля соответственно на 1,18% и 0,34%. Итак, по обоим показателям на сменную
Теперь
: Эта проверка основана на том, что статистика (
, имеет t-распределение Стьюдента с k = n - р - 1 степенями свободы. Поэтому значимо отличается от нуля на уровне значимости аРассматривая ковариационную матрицу К, легко заметить, что на ее главной диагонали находятся дисперсии оценок параметров регрессии, ибо
(13.34)В сокращенном виде ковариационная матрица К имеет вид:
K = M[(b -
) (b - )'](в этом легко убедиться, перемножив векторы (b -
) и (b - )'.Учитывая (13.32), преобразуем это выражение:
K= M{[(X'X
X' ] [(XX X' ]'}== M[(X'X
X' X(X X ]=(X'X X'M( )X(X'X (13.35)ибо элементы матрицы Х- неслучайные величины.
Матрица М(
) представляет собой ковариационную матрицувектора возмущений с:
  …  |   …  | … … … … |   …  |
=в которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю в силу предпосылки 4 о некоррелированности возмущений
и , между собой (см. (13.5)), а все элементы, лежащие на главной диагонали, в силу предпосылок 2 и 3 регрессионного анализа (см. (13.3) и (13.4)) равны одной и той же дисперсии :M(
) = M( - 0) = D( ) = Поэтому матрица М(
) = E, где Е - единичная матрица п-го порядка. Следовательно, в силу соотношения (13.35) ковариационная матрица вектора b оценок параметров:K = [(X'X
X' ( )]X (X'X .= (X'X (X'EX ,или
K=
(X'X . (13. 36)добычу угля большее влияние оказывает фактор «мощность пласта» по сравнению с фактором «уровень механизации работ».
Преобразуем вектор оценок (13.28) с учетом формулы (13.23):
b = (X'X
X'(X +
) = (X'X
(X'X) +(X'X X' == E
+ (X'X X' или
b =
+ (X'X X' . (13. 32)т.е. оценки параметров (13.28), найденные по выборке, будут содержать случайные ошибки.
13.6. Ковариационная матрица и ее выборочная оценка
Вариации оценок параметров будут в конечном счете определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу К, являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной:
где элементы
- ковариации (или корреляционные моменты) оценок параметров и (i, j = 0, 1, …, р). Ковариация двух переменных определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих переменных от их математических ожиданий (см. § 5.6). Поэтому = M [( - M ( ))( - M( ))]. (13. 33)Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных.
В силу того, что оценки
, полученные методом наименьших квадратов, являются несмещенными оценками параметров
, т.е.M(
) , выражение (13.33) примет вид: = M [( - )( - )].зависимой переменной Y при изменении на единицу объясняющей переменной
в чистом виде, независимо от . В случае парной регрессии учитывает воздействие на У не только переменной , но н косвенно корреляционно связанной с ней переменной . На практике часто бывает необходимо сравнение влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии
и коэффициенты эластичности (j = 1, 2, … p): (13. 30)
(13. 31)
Стандартизованный коэффициент регрессии
показывает, на сколько величин изменится в среднем зависимая переменная Y при увеличении только j-й объясняющей переменной на , а коэффициент эластичности , - на сколько процентов (от средней) изменится в среднем У при увеличении только Х на 1%.Пример 13.5. По данным примера 13.4
сравнить раздельное влияние на сменную добычу угля двух факторов - мощности пласта и уровня механизации работ.
Р е ш е н и е. Для сравнения влияния каждой из объясняющих переменных по формуле (13.30) вычислим стандартизованные коэффициенты регрессии:
= 0,8539.13 = 0,728; = 0,3670 =0,285, а по формуле (13.31) - коэффициенты эластичности:
, = 0,8539 = 1,180; = 0,3670 = 0,340.(Здесь мы опустили расчет необходимых характеристик переменных:
9,4; = 6,3; = 6,8; = 1,56; = 1,42; =1,83.) Таким образом, увеличение мощности пласта и уровня механизации работ только на одно
или на одно увеличивает в среднем сменную добычу угля на одного рабочего соответственно на 0,728 , или на 0,285 , а увеличение этих переменных на 1% (от своих средних значений) приводит в среднем к росту добычи угля соответственно на 1,18% и 0,34%. Итак, по обоим показателям на сменнуюТеперь