Смешанные частные производные второго порядка для непрерывной функции равны. Аналогично, равные смешанные частные производные 3, 4 и т.д.

Теорема.Пусть ф-я диф к-раз в точке х0,то в этой точке значение любой смешанной частной производной к-го порядка(последовательности), где происходят последовательное диф, т.е. ∂²u/∂x_i∂x_j =∂²u/∂x_i∂x_j

12. Локальный экстремум. Необходимые условия.

Пусть функция u = f (х) f(x1^0,x2^0,...,хn^0)

Определение. Функция u= f(x) определена в окрестной точке х0 имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки xo, такая что в её пределах значение f(x) явл наиб(наим) среди всех значений этой функции.

Определение ф-я u=f(x) имеет в точке ч0 локальный экстремум если она имеет в этой точке либо лок макс, либо лок мин

Теорема (необходимое условие)

Если функция u = f(x1,x2,...,xn) имеет в точке хo (х1^0, x2^0,...,xn^0) локальный экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю в точке Mo: d''u/d''xilMo=0, i=1,2,…,n.(!)

Доказательство. Зафиксируем все значения переменных xi, кро­ме переменной хk положив их равными x1^0. Тогда получим, что функция u = f(x1^0, х2^0, ...,x(k-1)^0,xk,x(k+1)^0,...,x(n)^0) зависит от одной переменной хk и в точке хk = хk^0 имеет локальный экстремум. Но тогда производная этой функции, которая и является частной производной d''u/d''xк в точке Mo,равна нулю, что и требовалось доказать. а

Заметим, что необходимые условия локального экстремума (!) определяют, что в точке локального экстремума d''ulMo=0.(*). Обратное утверждение также верно: если в точке Мo первый дифференциал функции тождественно равен нулю (как функция относительно ), то все частные производные этой функции в указанной точке равны нулю в силу произвольности d''xi.

Замечание Данное условие явл.необходимым,но не достаточным

Определение.Точки которорые обращаются в ноль все частные производные первого порядка,назыв стационарными точками или точками возможного экстремума ,он может существовать,а может не сущ его наличие можно установить только достаточным условием

Следствие.Если u=f(x) имеет в точке х0 диф и имеет лок экстр то диф в точке х0 тождественно равен 0 относительно диф dxj

13. Достаточные условия локального экстремума функции N переменных.

Пусть функция u=f(M) один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки Мо и два раза дифференцируема в самой точке Мо, пусть кроме того Мо – стационарная точка. Тогда:

1. Если d''^²u в точке Мо положительно определенная квадратичная форма относительно переменных d''x1,d''x2,…,d''xn, то Мо – точка локального минимума

2. Если d'^²u в точке Мо отрицательно определенная квадратичная форма, то Мо – точка локального Максимума.

3. Если d'^²u в точке Мо знакопеременная квадратичная форма, то экстремум в точке Мо не существует.

Частный случай:

[Т] пусть функция u=f(x,y) один раз дифференцируема в окрестности точки Мо с координатами (хо,уо) и два раза дифференцируема в самой точке Мо и пусть Мо – стационарная точка, тогда если в точке Мо выполнено условие:

---

, (d'^2u/d'x^2*(M0))* (d'^2u/d'y^2*(M0))-(d'^2u/d'xd'y)^2>0 то функция имеет в точке Мо локальный экстремум, причем если d'^2u/d'x^2в точке Мо>0 , то Мо точка локального минимума.

Если d'^2u/d'x^2 (Мо)<0 то Мо точка локального Max

Если же (d'^2u/d'x^2*(M0))* (d'^2u/d'y^2*(M0))-(d'^2u/d'xd'y)^2<0 то экстремум в точке Мо не существует.

Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.

Рассмотрим функцию специального вида. Квадратичная форма:

Функция Ф(t1,t2,…,tk)= E(i=1,k)E(k=1,n)aiktitk называется квадратичной формой, где Аik коэффициенты квадратичной формы, t1,t2,…,tn- переменные квадратичные формы, d''^²u квадратичная форма относительно d''x1, ….,d''xn c коэффициентом Aik=.d''^2/ud''xid''xk Если Aik=Aki, то квадратичная форма называется симметричной. Данной квадратичной форме ставится в соответствие матрица коэффициентов квадратичной формы.

Матрицей А размера mXn называется прямоугольная таблица чисел содержащая m строк и n столбцов.

Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов.

Симметричной: Aik=Aki

Определителем матрицы называется число характеризующее матрицу d'etA

Существуют способы вычисления d'et:

Минор- некоторый фрагмент матрицы.

Главными минормаи матрицы А называются следующие определители:

А1=А1.1

А2=а1.1*А2.2-А2.1*А1.2

А3=А1.1*А2.2*А3.3+А2.1*А2.2*А1.3+А3.1.*А2.2*А1.3-А3.2.А2.3А1.1-А2.1А12А33

Аm=d'etA

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любых значений t1,t2,…,tn одновременно не равных 0 она принимает строго положительные значения.

Квадратичная форма называется отрицательно определенной если для любых значений неравенств t1,t2,…tn она принимает строго отрицательные значения.

Квадратичная форма называется знакопеременной если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения при разлиынх наборах t1,t2,…tn

Критерий Сильвестра знакопеременной квадратичной формы:

1. Для того, чтобы квадратичная форма или матрица была положительно определнной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительными.

2. Для того чтобы квадратичная форма или мтарица была отрицательно определнной необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем первый был отрицательный.

Замечание: если хоть одно из условий не выполняется, то форма знакопеременная

14. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.

Дано:система функциональных уравнении т.е. пусть m-ф-ции

/y1=g1(x1,x2,…,xn)

(1) <y2=g2(x1,x2,…xn)

\ym=gm(x1,x2,…xn)

ищутся как решение системы m функциональных уравнении.

/F1(y1,y2…ym,x1,x2,…xn)=0

(2) <F2(y1,y2,…ym,x1,x2,…,xn)=0

\Fm(y1,y2…ym,x1,x2,…xn)=0

(1):yi=gi(x1,x2,…xn),i=1;n

(2):Fi=(u1,u2,…um,x1,x2,…xn)=0, i=1;m

Определение:Решение системы(2) называется совокупностью m ф-ции системы(1) таких,что при их подстановки в систему(2) все уравнения системы(2) обращаются верными тождествами.Это решение называется непрерывным и дифференцируемым на некотором открытом множестве Д изменение переменных х1.х2.,,,хт,если каждая из функции системы (1)непрерывна и дифференцируема на Д

---

(gradF1 )

F= (gradF2 ) (3)-матрица Якоби для ф-ции Fi по переменной ui и обозначает Д(F1,F2,…Fm) /( Д(u1,u2,…um)

( gradF3 )

Определитель матрицы F называется якобианом

Теорема: пусть m ф-ции стоящеи в левои части системы (2) в некоторой окрестности точки М0ЄЕ причем частные производные этих ф-ции Fi по переменным ui непрерывны в точке М0.Пусть все эти ф-ции Fi обращаются в точке М0 в 0 ,а якобиан D(F1,…Fm)/D(u1,…um)≠0 тогда для любых ε>0 существует окрестность в точке М’0ЄЕ' в пределах которой существуют единственные М ф-ции gi системы(1) такие что они удовлетворяют условию | gi-gi° |<εi i=1,m и является решением системы (2) причем это решение непрерывно и дифференцируемо в этои окрестности точки М'0

Замечание:При m=1 эта теорема становится теоремой о дифференциале неявных ф-ции.

15. Условный экстремум

Задача отыскания экстремума функции аргументы которой удовлетворяют дополнительному условию связи называется задачей отыскания условного экстремума.

Рассмотрим вопрос отыскания экстремума функции z=f(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn)

Будем говорить, что эта функция при наличии условий связи

/F1(u1,...um,x1...,xn)=0

/F2(u1,...um,x1...,xn)=0

\...

\Fm(u1,...um,x1...,xn)=0

(2)имеет условный максимум (минимум) в точке Мо, координаты которой удовлетворяют этим условиям связи, если существует окрестность точки Мо, для которой значение этой функции в точке Мо является наибольшим (наименьшим) среди всех точек координаты которых удовлетворяют эти условиям связи.

Первый способ решения задачи условного экстремума:

Основная его идея – переход от задачи условного экстремума к задаче безусловного экстремума.

Пусть у функции F1, F2, …Fm дифференцируема в окрестности точки Mо и непрерывны в окрестности точки Мо. Пусть, кроме того, ЯкобианD'(F1,F2,...Fn)/D'(u1...,un) неравен 0 в точке Мо. Тогда система (2) имеет непрерывное дифференцируемое решение

/u1=ф1(x1,x2,xn)

/u2=ф2(x1,x2,xn)

\...

\un=фn(x1,x2,xn)

Подставим это решение в функцию 2: z= f(ф1(х1,х2,...,хn), ф2(х1,х2,...,хn)... фn(х1,х2,...,хn)

16. Метод множителей Лагранжа.

Метод неопределенных множителей Лагранжа. Если система функций уравнений (2) неразрешима, либо ее решение затруднительно для вас, используют более универсальный способ – метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея та же – переход от условного экстремума к безусловному.

L=f+л1F1+л2F2+…+лmFm (4)

Функция Лагранжа.

Теперь находим экстремум этой функции. Здесь л1, л2,…лn –множители Лагранжа.

Предположим, что функция дифференцируема

L(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn,1,2,…n)

Необходимые условия экстремума:

/d'L/d'u1=0...

/d'L/d'um=0

/d'L/d'x1=0... необходимые условия экстремума

\d'L/d'xn=0

\F1=0

\Fn=0

Эта система содержит u+2m уравнений и u+2m переменных.

Мо( u10,...,um0,x10,...,xn0)

о( k10,...,лm0)

Для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.

Достаточное условие экстремума

Пусть ф. u-f(x₁…..x_n) один раз дифференцируема в некоторой окрестн. (.) M₀ и 2 раза дифференцируема в самой (.)M₀. пусть кроме того M₀-стационарная (.) Тогда если d²u положительно определённая квадратичн. форма от переменных dx₁…..dx_n, то ф. имеет в (.)M₀ локальный минимум

---

Если d²u отриц. определённая квадратичн. форма, то ф. имеет в (.)M₀ локальный максимум

Если d²u знакопеременная квадратичная форма, то M₀ не явл. (.) экстремума

Замечание: при проверке критерия знакоопределённости квадратичной формы d²u мы анализируем матрицу А

d²u/dx₁² d²u/dx₂dx₁ ….. d²u/dx₁dx_n

А= d²u/dx₂dx₁ d²u/dx₂² ….. d²u/dx₂dx_n

…………………………………………

d²u/dx_ndx₁ …………………. d²u/dx_n²

Теор. Пусть ф. u=f(x,y) 1 раз дифференцруема в окрестности (.) M₀(x₀,y₀) и 2 раза в самой (.) M₀ , тогда если в (.) M₀ выполняется условие d²u/dx² * d²u/dy² - d²u/dxdy * d²u/dydx >0, то экстрем. В (.) M₀ существует , причём если d²u/dx² > 0, то M₀ (.) минимума; если

d²u/dx² < 0 , то M₀ (.) максимума

Если d²u/dx² * d²u/dy² - d²u/dxdy * d²u/dydx <0, то экстрем. ф. в (.)M₀ не существует.

17. Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)

ФункцияF(x) называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке Х, если для любого х Х выполняется условие F’(x)=f(x). Например, функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=cosx на всей прямой, т.к. при любом значении x(sinx)’=cosx

Замечание.Задача нахождения первообразной решается неоднозначно.Действительно,если F(х) первообразная,то F(х)+с,где с-const,также явл первообразной,т.к. (F(х)+с)′=F′(х)+0=f(х) для всех х€Х.

Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна 0 постоянна на этом промежутке. f’(x)=0(xX), то f(x)=c для всех х€Х.

Доказательство:Рассмотрим 2точки .Пусть х1<х2,тогда по Т. Лагранжа, f(x2)-f(x1)=f’(х0)(x2-x1), где х0€ (x1;x2). Т.к. f’(х0)=0, то f(x2)=f(x1)=0, т.е. f(x)=С, где С- некоторое число.

[Т] Если F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C.

Доказательство: Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, т.е. F’(x)=f(x). Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для функции f(x) на промежутке Х, т.е. Ф’(x)=f(x). Тогда для любого хХ (Ф(x)-F(x))’=Ф’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 Т.о. мы получили, что производная функции равна 0, а это означает по лемме, что функция Ф(х)-F(x) постоянна, т.е. Ф(х)-F(x)=С, на промежутке Х, где С- некоторое число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+C.

Следствие 1: множество функций F(x)+C исчерпывает все множество первообразных функций для f(x).

23. Услоловия сущ-ия опр интеграла.Суммы Дарбу.Необход и достат условия.

[Т](необход усл) Если ф-ия f(x) интегрир на отрезке [a,b],то она непрерывна на этом отрезке.

Замечание. Данное усл-е не явл достаточным.

Ф-я Дарбу [a,b]

F(x)= 0,x-иррац

1,х-рац

[0,1]-разбиением τ1 в качестве точек α_i¹ – иррац.

Разбиением τ2 α_i² - рац.

σ= ∑f(α_i¹)∆₀¹=0

σ= ∑f(α_i²⁾∆²₀=|b-a|=1 при i=1

Т.о. посл-ть интеграл сумм не имеет предела при λ→0.

Замечание. Сущ. Необходимые и достат усл-я,которые устанавливаются при помощи понятия суммы Дарбу.

18. Понятие неопределенного интеграла.

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке Х, то множество функций {F(x)+C} называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f(x)dx=F(x)+C. При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, а переменная х- переменная интегрирования. f(x)dx- выражает множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х.

---

Восстановление функции по ее производной,т.е. отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции, т.к. F’(x)=f(x) F’(x)dx=F(x)+C

Интегрирование- операция обратная дифференцированию.

Замечание1.Чтобы проверить правильное интегрирование достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Замечание2.Далее будет доказано,что любая непрер функция имеет на этом отрезке первообразную,сл-но неопр интеграл.

Таблица основных интегралов:

1. 0dx=C

2. dx=x+C

3. х^ dx=

4. а^хdx=а^х/lna+C

5. dx/x=ln|x|+C

6. e^хdx=e^х+C

7. sinxdx=-cosx+C

8. cosxd'x=sinx+C

9. dx/cos²x=tgx+C

10. dx/sin²x=-ctgx+C

11. dx/ =arcsinx +C=-arccosx+c

12. dx/1+x²=arctgx+C=-arcctgx+C

13. dx/x²+ a² =1/a arctgx/a+C

14. dx/x²-a² =1/2a ln|x-a/x+a|+C

15. dx/ =arcsin x/a +C

16. dx/

Основные свойства неопр интеграла:

1. (f(x)dx)’=f(x) и d'( f(x)dx)=f(x)dx Доказательство: (f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x) и df(x)dx=(f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. dF(x)=F(x)+C. Доказательство: т.к. d'F(x)=F’(x)d'x, то по определению F'(x)d'x=F(x)+C

3. kf(x)dx=kf(x)dx. Доказательство: (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). Из определения следует, что kf(x)dx=k[F(x)+C]=kF(x)+C1=kf(x)dx, где С1=кС, ч.т.д.

4. (f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx. Доказательство: пусть F(x) и G(x) являются первообразными для функций f(x) и g(x) на промежутке Х, т.е. хХ F’(x)=f(x), G'(x)=g(x). Тогда функции F(x)G(x) являются первообразными для функция f(x)g(x). Следовательно, f(x)dxg(x)dx=(F(x)+C1)(G(x)+C2)=(F(x)G(x))+(C1C2)=[F(x)G(x)]+C=(f(x)g(x))dx

19. Основные методы интегрирования.Рекурентные формулы.

1. Непосредственное интегрирование.

Это вычисление интеграла с помощью непосредственного исп-ия таблиц простейших интегралов и основных св-в неопред интегралов.

2. Метод подстановки или метод замены переменных.

Достаточно часто введение новой переменой позволяет свести интеграл к табличному

[Т] Пусть функция х=(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х- множество значений этой функции, на котором определена функция y=f(x), т.е. на T определена сложная функция y=f[(t)]. Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную F(x), то справедлива формула f(x)d'x|_x=(t)= f[(t)]’(t)d't. Доказательство: Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x). Рассмотрим на множестве T сложную функцию F[(t)]. Продифференцируем ее по правилам дифференцирования сложной функции: F’[(t)]*’(t)=f’[(t)]*’(t)

мы получили что эта функция имеет на множестве Т первообразную F[(t)]. f[(t)]*’(t)d't=F[(t)]+C=F(x)+C|_x=(t)= f(x)d'x|_x=(t). Получили искомую формулу.

3. Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

[Т] Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’(x)*v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т.е. существует v(x)u’(x)d'x. Тогда на промежутке Х функция имеет u(x)v’(x) также имеет первообразную и справедлива формула: u(x)v’(x)d'x=u(x)v(x)- v(x)u’(x)d'x. Доказательство: Из равенства [u(x)*v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) следует u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x). Первообразной функции [u(x)v(x)]’ на промежутке Х является функция u(x)v(x). Функция u’(x)v(x) имеет первообразную на Х по условию теоремы. Следовательно, и функция u(x)v’(x) имеет первообразную на промежутке Х (как разность интегрируемых функций). Интегрируя последнее равенство, получим формулу u(x)v’(x)d'x=u(x)v(x)- v(x)u’(x)d'x (формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле).

---

Смотрите также файлы

• ОТЗЫВЫ ОБУЧАВШИХСЯ НА ФОТОКУРСАХ.doc

• Voprosy_k_ekzamenu_fiz_2014-15.doc

• языкознание.doc

• Письм перевод_ЗАНЯТИЕ 1_0 (1).doc

• 93_lekcionnyh_voprosa_po_kursu_politologiya.doc