Т.к. v’(x)d'x=d'v, u’(x)d'x=d'u, то ее можно записать в виде ud'v=uv-vd'u.

За u выбирают ту часть подынтегральной функции, которая упрощается дифференцированием, а за d'v ту часть, интеграл от которой существует

Основные типы интегралов берущихся по частям.

Общие рекомендации: Практика показывает, что большая часть интегралов берущихся по частям может быть выделена в следующие группы:

1. Подынтегральная функция содержит в виде множителя одну из следующих функций: arctgx, arcctgx, arcsinx, arccosx, степени этих функций, а также lnx- их полагают за u, а оставшаяся часть это производные известных функций, т.е. интеграл от оставшейся части подынтегрального выражения существует.

2. Интегралы вида (ax+b)ⁿ sinkx, (ax+b)ⁿ coskx, (ax+b)ⁿ е^кх, где а,b,к=const, n- натуральное число. Эти интегралы берутся n- кратным интегрированием по частям. U=(ax+b)ⁿ 1kn, d'v- оставшаяся часть выражения.

3. Интегралы вида: е^хasin(bx)d'x, е^axcos(bx)d'x, sin(lnx)d'x, cos(lnx)d'x. Исходный интеграл обозначается за I, берется 2 раза по частям и получаем в правой части выражение, содержащее исходный интеграл I, т.е. мы получаем уравнение относительно исходного интеграла, решаем его относительно I.

Рекуррентная формула

Ik=89…….Ik-1

Рекуррентная формула доказывается с помощью интегрирования по частям

Ik=1/2a²(k-1) (t/(t²a²)^k+(2k-3) dt/(t²a²)^k-1 ) (K>2)

Сущ. интегралы, берущиеся по частям и не относящиеся ни к какой из вышеперечисленных групп.

20. Интегрирование рациональных функций

Важным классом функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции,образуют класс рациональных функций,т.е. функций кот. Моно представить в виде Р(х)/Q(х), где Р,Q-многочлены в некоторой степени х

Р(х)=а_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+a₀-общий вид

Р(х)=ах²+bx+c=a₂x²+a₁x+a₀

P(х)=ax+c= a₁x+a₀

Если степень многочлена в числители равна и больше степени многочлена в знаменателе, то выполнить деление можно,выделив верхнюю часть P(x)/Q(x)=V(x)+R(x)/Q(x) Степень R(x)<Q(x), a V(x)-многочлен некоторой степени.

[Т1] Каждый многочлен может быть представлен в виде Q(x)=A(x-a₁)^₁ (x-a₂)^_2….. (x-a_k)^_k Или Q(x)=(x²+p₁x+q₁)^1 (x²+p₂x+q₂)^2……… (x²+p_lx+q_l)^l (*)

А-коэффициент при старшей степени х

[Т2-о разложении рац функции на элементар множители] Если рациональная функция имеет степень многочлена числителя n меньше, чем степень многочлена знаменателя m и многочлен Q(x) имеет вид (*), то эту функцию можно единственным образом представить в виде:

= … … … …+ … (**)

Метод неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

Он заключается в том, чтобы следовать алгоритму: Записать представление 1, привести правую часть к общему знаменателю и группировать при степенях Х, получим дроби с равными знаменателями, присваиваем числители. Получим 2 многочлена, они равны если равны коэффициенты при соответствующих степенях Я, следовательно составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях Х.

---

Вычисление интегралов 1-4типов.

Основные типы интегралов, берущихся по частям.

1. А/х-а dx= Ad(x-a)/x-a=Aln|x-a|+C

2. Аdx/(х-а)^k=A (х-а)^-kd(x-a)=A(x-a)^1-k/1-k+C (k1)

3. dx=M/2+N =M/22x+p/x²+px+q dx +(N-MP/2)dx/ x²+px+q=M/2ln| x²+px+q|+(N-MP/2)dt/t²+a²

x²+px+q=( x²+2p/2x+p²/4)+q-p²/4=(x+p/2)²+(q-p/4)=т.е. dx=M/2(x²+px+q)^-kd(x²+px+q)+(N-Mp/2)

dt/(t²a²)^k=M/2(x²+px+q)^1-k/1-k +(N-MP/2)Ik

21. Интегрирование иррац. и трансцендентных функций.

Предварительно введем обозначение рац. Функции от двух переменных u v, т.е. функции получающиеся из двух переменных u v и некоторых постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления

1. Интеграл вида ,где a,b,c,d числа R рац. Функция от х и от Такой интеграл рационализируется подстановкой t=

2. Интеграл вида ,где a,b,c,d некоторые числа а не рвно 0 R рац. Функция от х и от

3. Интеграл вида SR(sin, cos)dx, где Rрац функция от SIN и от COS. Интеграл рационализируется подстановкой t=tgx/2

4. Интеграл вида SR(e^x)dt рац подстановкой t=e^х.

22. Понятие определенного интеграла.

Пусть λ=max∆I – длина наиб. Частичнго отрезка λ→0.

Если существует конечный предел I интегральных сумм  при 0, то этот предел называется определенным интегралом Римана для функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается I= = (**)

D'ef функция f(x) называется интегрируемой на [a,b] если для любой последовательности разбиений {Xk}, у которой соответствующая последовательность интегральных сумм {k} стремится к одному и тому же числу I.

D'ef Число I называется определенным интегралом по Риману для функции f(x) оп отрезку [a,b], если для любого >0 сущесвтует такое >0, что при  (т.е. если отрезок [a,b] разбит на части с длинами Xi<) независимо от выбора точек I выполняется неравенство , или же

Замечание.Число I называется определенным интегралом Римана от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается так: I= , где а- нижний предел, b- верхний предел

Следует отметить, что = =

23. Услоловия сущ-ия опр интеграла.Суммы Дарбу.Необход и достат условия.

24. Основные свойства определенного интеграла.

1. 1. =0

Если а>b, то по определению = - (4), т.е. когда отрезок [a,b] при a<b пробегает в направлении от b к а, имеем b=X0, а=Xn, Xi=Xi-Xi-1<0

2. 2. = + (здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входящие в доказываемые формулы существуют)

Доказательство: Допустим сначала, что а<c<b, т.к. предел интегральной суммы  не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], то будем проводить разбиение так, чтобы точка с всегда была бы точкой разбиения [a,b]. Если например с=х_m, то  можно разбить на две суммы: = = + . Переходя в последнем равенстве к пределу при  мы и получим искомое равенство.

Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Доказательство для другого расположения точек a, b, c легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а<b<c, тогда по доказанному, имеем: = + , откуда учитывая (4) получаем = - = + , ч.т.д.

---

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. =к . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a,b] и любого выбора точек _I =k

Переходя к пределу при 0 имеем = = =к = к ., ч.т.д.

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.  . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a.b] и любого выбора точек _{I =}Так как = и = , то получаем что ₌ =

25. Оценки интегралов. Формула среднего значения.

[Т] Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] то существует т С, принадлежащая этому сегменту, такая что =f(c)(b-a). Эта формула называется формулой среднего значения.

Замечание: теорема о среднем имеет четкий геометрический смысл: величина определенного интеграла при f(x)>=0 равна площади прямоугольника имеющего высоту f(c) и основание b-a.

[Т] Пусть а<в.

• Если f(x)≥0 для любого х€[a,b]→∫от а до в f(x)≥0

• Если f(x) ≥g(x) для любого х€[a,b]→∫f(x)dx≥∫g(x)dx

• Если f(x) опред на [a,b]→|∫f(x)dx|≤∫f(x)dx

• Если |f(x)|≤k для любого х€[a,b]→|∫f(x)dx|≤k*(b-a)

• Пусть m,M соответств наим и наиб значения ф-ии f(x) на [a,b],тогда справедлива ф-ла m(b-a)=∫f(x)dx≤M(b-a)

26. Интеграл с переменным верхним пределом.

Интеграл с переменным верхним пределом.

x  [a,b]

Это интеграл у которого нижний предел а=const а верхний предел х переменный. Величина этого интеграла представляет собой функцию верхнего предела х

(х)= , где х принадлежит сегменту [a,b] и ф(х)= интеграл с переменным верхним пределом. Геометрически интеграл с переменным верхним пределом представляет собой S криволинейной трапеции.

[Т] Производная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. Ф’(x)=( )’_x=f(x)

Ф’(x)=( )’=f(x)

Ф’(x)=

Замечание. Т.о., любая непрер на отрезке функция f(х) имеет на этом отрезке первообр, которой явл интергал с перемен верхним пределом Ф(х),т.к. любая др первообр может отлич на константу,то сущ связь между опр и неопр интегралом.

27. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть Ф^’(х)=f(x) и F’(х)=f(х) - др первообр.

Ф(х)=F(x)+C, =F(x)+C, где С- некоторое число, axb. Подставляя в это равенство значение х=а и используя свойство 1, имеем: =0, получим: 0= , F(a)+C, C=-F(a)

Т.е. для любого х[a,b] Полагая здесь х=b получим искомую формулу.

Замечание 1.В качестве F(х) можно взять любую первообр для f(х) на отрезке [a,b].

Замечание 2. Ф-ла Ньютона-Лейбница явл методом вычисления опр интеграла.

28. Замена переменных в определенном интеграле.

[T] пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и пусть выполнены следующие условия:

1. функцию х=(t) дифференцируема на [,] и ’(t) непрерывна на [,]

2. Множеством значений функции х=(t) является отрезок [a,b]

3. ()=a и ()=b, то справедлива формула

Доказательство: По формуле Ньютона- Лейбница:

---

Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на [a,b].

Рассмотрим сложную функцию Ф(t)=F((t)) Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим: Ф’(t)=F’((t))*’(t)=f((t))’(t). Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f((t))’(t), непрерывной на [,] и поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем, = Ф()-Ф()=F(())-F(())=F(b)-F(a)=

Замечание1. При исп-нии данной ф-лы не надо возвращ от новой переем-ной t к старой х.

Замечание 2. При исп-нии ф-лы надо проверять соблюдение всех условий.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

[T] Если функция u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a,b] то справедлива формула

Доказательство Так как функция u(x) и v(x) по условию имеют производные, то по правилу дифференцирования произведения [u(x)v(x)]’=u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Откуда следует, что функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Отсюда , ч т.д.

29. Приложение определенного интеграла: площадь криволин трапеции,длина дуги плоской кривой,объем тела вращения и площадь поверхности.

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную [a,b] оси Ох, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [a,b]. S=

Геометрический смысл определнного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) на [a,b] численно равен площади криволинейной трапеции.

30. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [a; +) и интегрируема на любом отрезке [a,R], R>0, так что интеграл имеет смысл, Предел этого интеграла при R называется несобственным интегралом первого рода и обозначается (1). В случае, если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [a, +), если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку (-, b]. . Наконец, несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму несобственных интегралов , где с- любое число.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода состоит в том,что несобств интеграл первого рода-это площадь соотв заштрих бесконечной области.

31. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Определение1.Пусть f(x), определенную на отрезке(a,b],иограниченна на на любом отрезке [a+,b], 0< <b-a,. В таком случае х=а называется особой точкой.

Определение2. Пусть функция f(x) определена на промежутке (a,b], если особой является точка х=а, и сущ. конечный предел то несобственных интеграл второго рода определяется как При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если же предел не сущ или равен бесконечности, то говорят что несобствен. интеграл расходится

---

Определение3.Точка х=в явл. особой точкой для f(х), если f(x) неогран. В любой окрестности данной точки, но огран на любом отрезке [а.b-] для всех >0 таких что a<b-<b

Определение4. Пусть х=в особая точка для f(x) определенной на[a,b) тогда если сущ конечный предел то он называется несобствен интегралом второго родап и обознач.

Определение5. Если а и b особые точки, т.е. функция С ограничена и интегрируема на интервале (a,b), то несобственный интеграл второго рода определяется в виде суммы , где с- произвольная точка на (a,b), а несобственные интегралы второго рода в правой части этого равенства определяются соответственно по формулам.

Определение6. f(x) определена на отрезке (a,b) за искл. точки d которая назыв особой опред. Как сумма двух несобственных интегралов.При условии что оба интграла сущ.

32. Признаки сходимости несобственных интегралов.Примеры.

Теорема (признак сравнения несобственных интегралов). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на промежутке [a , ∞) и удовлетворяют на нём условию 0 ≤ f(x) ≤ g(x). Тогда из сходимости интеграла a ∫ ∞g(x) dx (1) следует сходимость интеграла a∫∞f(x)dx (2) и наоборот, из расходимости интеграла(2) следует расходимость интеграла (1).Доказательство: Введём обозначения F(R)=a∫Rf(x)dx, G(R)=a∫Rg(x)dx, причём 0≤F(R)≤G(R).

Функции F(R) и G(R) являются неубывающими; в самом деле, если a≤R1≤R2, то R1∫R2f(x)dx≥0 и тогда F(R2)=a∫R2 f(x)dx=a∫R1f(x)dx+R1∫R2f(x)dx≥a∫R1f(x)dx=F(R1).

Возьмём последовательность значений {Rn}→∞; тогда соответствующая последлвательность значений функции {F(Rn)} является монотонной и неубывающей. Пусть интеграл (1) сходится, тогда последовательность {G(Rn)} ограничена, но тогда ограничена и последовательность {F(Rn)}, а значит в силу теоремы(монотонная ограниченная последовательность сходится)она сходится. Следоавтельно, существует предел F(R) при R→∞, т.е. интеграл (2) сходится.

Теперь докажем вторую часть теоремы: пусть интеграл(2) расходится. Если предположить, что интеграл (1) сходится, то по доказанному выше интеграл(2) также должен сходится, что противоречит условию. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичный признак сравнения справедлив и для несобственных интегралов второго рода. Если функция f(x) и g(x) непрерывны на полуинтервале [a,b) и для всех точек в окресности особо точки b выполняются условия0≤f(x)≤ g(x), то из сходимости интеграла a∫b g(x)dx следует сходимость интеграла a∫b f(x)dx, а из сходимости интеграла a∫bf(x)dx следует расходимость интеграла a∫bg(x)dx.

ТЕОРЕМА (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла(2) необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 можно было найти такое A>0, что для любых R' и R'', больших, чем A, выполняется неравенство |F(R'')-F(R')=|R’∫R’’ f(x)dx|<ε

33. Определние и услвия сущ-ния двойных интегралов.Геом смысл.Св-ва.

Пусть G – замкнутая (содержит все свои точки) и ограниченная область.

Ф-я z=f(x,y) на этой области определена и ограничена.

---

Смотрите также файлы

• ОТЗЫВЫ ОБУЧАВШИХСЯ НА ФОТОКУРСАХ.doc

• Voprosy_k_ekzamenu_fiz_2014-15.doc

• языкознание.doc

• Письм перевод_ЗАНЯТИЕ 1_0 (1).doc

• 93_lekcionnyh_voprosa_po_kursu_politologiya.doc